高考数学一轮复习：二次函数与幂函数

二次函数与幂函数高考数学一轮复习1.二次函数2.幂函数教材研读考点一幂函数的图象和性质考点二求二次函数的解析式考点三二次函数的图象与性质考点突破考点四三个“二次”间的转化1.二次函数(1)二次函数的定义形如①

f(x)=ax2+bx+c(a≠0)

的函数叫做二次函数.(2)二次函数的三种表示形式(i)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);(ii)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0);教材研读(iii)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质▶提醒

注意二次项系数对函数性质的影响,经常对二次项系数分大于

零与小于零两种情况讨论.2.幂函数(1)幂函数的定义形如⑦

y=xα

的函数称为幂函数,其中x是⑧

自变量

,α为⑨

常数

.(2)五种常见幂函数的图象(3)幂函数的性质(i)当α>0时,幂函数y=xα有下列性质:a.图象都经过点⑩

(0,0)

、(1,1).b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大.(ii)当α<0时,幂函数y=xα有下列性质:a.图象都经过点

(1,1)

.b.在第一象限内,函数值随x的增大而减小.(4)五种常见幂函数的性质知识拓展一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”.(2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数y=2

是幂函数.

(✕)(2)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.

(√)(3)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.

(✕)(4)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),x∈[a,b]的最值一定是

.

(✕)(5)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),x∈R不可能是偶函数.

(✕)答案(1)✕(2)√(3)✕(4)✕(5)✕

2.(教材习题改编)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点

,则k+α=(

C)A.

B.1

C.

D.2答案

C因为f(x)=k·xα是幂函数,所以k=1.又f(x)的图象过点

,所以

=

,所以α=

,所以k+α=1+

=

.

3.幂函数f(x)=xα(α是有理数)的图象过点

,则f(x)的一个单调递减区间是

(B)A.[0,+∞)

B.(0,+∞)C.(-∞,0]

D.(-∞,0)答案

B由题意得

=2α,解得α=-2,所以f(x)=x-2,单调递减区间为(0,+∞).

4.(教材习题改编)下图是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限的图象,则a,b,c

的大小关系为

(D)A.c<b<a

B.a<b<cC.b<c<a

D.a<c<b答案

D

5.函数y=x2+ax+6在

上是增函数,则a的取值范围为

.答案[-5,+∞)解析

y=x2+ax+6在

上是增函数,由题意得-

≤

,∴a≥-5.6.函数g(x)=x2-2x(x∈[0,3])的值域为

.答案[-1,3]解析由g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],得g(x)在[0,1]上是减函数,在[1,3]上

是增函数.所以g(x)min=g(1)=-1,因为g(0)=0,g(3)=3.所以g(x)在x∈[0,3]上的值域为[-1,3].典例1(1)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是

(

C)幂函数的图象和性质考点突破

(2)当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2+m-1)x-5m-3为减函数,则实数m的值为

(B)A.-2

B.1C.1或-2

D.m≠

(3)若a=

,b=

,c=

,则a,b,c的大小关系是

(D)A.a<b<c

B.c<a<bC.b<c<a

D.b<a<c

答案(1)C(2)B(3)D解析(1)设幂函数的解析式为y=f(x)=xα,∵幂函数f(x)的图象过点(4,2),∴2=4α,解得α=

.∴f(x)=

,其定义域为[0,+∞),且是增函数,当0<x<1时,其图象在直线y=x的上方,对照选项,知选C.(2)因为函数y=(m2+m-1)x-5m-3既是幂函数又是(0,+∞)上的减函数,所以

解得m=1.(3)因为y=

的图象在第一象限内是上升的,所以a=

>b=

,因为y=

是减函数,所以a=

<c=

,所以b<a<c.规律总结幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件

即可确定其解析式.(2)若幂函数y=xα(α∈R)是偶函数,则α必为偶数.当α是分数时,一般先将

其化为根式,再判断.(3)若幂函数y=xα(α∈R)在(0,+∞)上单调递增,则α>0;若在(0,+∞)上单调

递减,则α<0.1-1幂函数y=f(x)的图象经过点(3,

),则f(x)是

(C)A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数C.奇函数,且在(0,+∞)上是增函数D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是减函数答案

C设幂函数为f(x)=xα,把点(3,

)代入,得

=3α,解得α=

,所以f(x)=

,可知函数为奇函数,在(0,+∞)上单调递增.

1-2若(a+1

<(3-2a

,则实数a的取值范围是

.答案

解析易知函数y=

的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,所以

解得-1≤a<

.典例2(1)已知二次函数f(x)的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(0,

0)和(-2,0),且函数有最小值-1,则f(x)=

.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且图象被x轴截得的线段长为2,

并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.求二次函数的解析式答案(1)x2+2x解析(1)设函数的解析式为f(x)=ax(x+2)(a≠0),所以f(x)=ax2+2ax,由题意得

=-1,解得a=1,所以f(x)=x2+2x.(2)∵f(2+x)=f(2-x)对任意x∈R恒成立,∴f(x)图象的对称轴为直线x=2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,∴f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),∵f(x)的图象过点(4,3),∴3a=3,∴a=1,∴所求函数的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.方法技巧求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当

选择二次函数解析式的形式,选择规律如下:

2-1已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=

.答案

x2+2x+1解析设函数f(x)的解析式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a,又f(x)=ax2+bx+1,∴a=1,b=2,故f(x)=x2+2x+1.2-2若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],

则f(x)=

.答案-2x2+4解析由f(x)是偶函数知,f(x)的图象关于y轴对称,∴-a=-

,即b=-2,∴f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域为(-∞,4],∴2a2=4,故f(x)=-2x2+4.命题方向一二次函数的图象二次函数的图象与性质典例3如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对

称轴为x=-1,给出下面四个结论:①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.

其中正确的结论是

(B)A.②④

B.①④

C.②③

D.①③

答案

B解析因为二次函数的图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①

正确;对称轴为x=-1,即-

=-1,所以2a-b=0,②错误;结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误;由对称轴为直线x=-1知b=2a,又函数图象开口向下,

所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确,故选B.命题方向二二次函数的单调性典例4已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].(1)求使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数的实数a的取值范围;(2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.(2)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3=

画出f(|x|)的图象(图略).∴f(|x|)的减区间是[-4,-1)和[0,1),增区间为[-1,0)和[1,6].解析(1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=-

=-a,要使f(x)在[-4,6]上为单调函数,只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6.故a的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).◆探究1

(变条件)若函数f(x)=x2+2ax+3在[-4,+∞)上为增函数,求a的取

值范围.解析∵f(x)=x2+2ax+3在[-4,+∞)上为增函数,∴-a≤-4,即a≥4.◆探究2若函数f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为[-4,+∞),则a为何值?解析∵f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为[-4,+∞),∴-a=-4,即a=4.命题方向三二次函数的最值问题典例5设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数f(x)的最小值.解析

f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,函数图象的对称轴为x=1.当t+1<1,即t<0时,函数图象如图(1)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为减函

数,所以最小值为f(t+1)=t2+1;当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,函数图象如图(2)所示,在x=1处取得最小值,最

小值为f(1)=1;当t>1时,函数图象如图(3)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,所以最

小值为f(t)=t2-2t+2.综上可知,f(x)min=

规律总结1.确定二次函数图象应关注的三个要点:一是看二次项系数的符号,它决定二次函数图象的开口方向;二是看图象的对称轴,它决定二次函数图象的具体位置;三是看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y轴的交点、与x轴的交

点,函数图象的最高点或最低点等.从这三个方向入手,能准确地判断出二次函数的图象.反之,也可以从图

象中得到如上信息.2.对于二次函数的单调性,关键看图象的开口方向与对称轴的位置,若图

象的开口方向或对称轴的位置不确定,则需要分类讨论求解.3.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间

定、轴定区间动.无论哪种类型,解题的关键都是图象的对称轴与区间

的位置关系,当含有参数时,要依据图象的对称轴与区间的位置关系进

行分类讨论.3-1已知abc>0,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是(D)

答案

D

A项,易知a<0,-

<0,∴b<0.又∵abc>0,∴c>0,而f(0)=c<0,故A错.B项,易知a<0,-

>0,∴b>0.又∵abc>0,∴c<0,而f(0)=c>0,故B错.C项,易知a>0,-

<0,∴b>0.又∵abc>0,∴c>0,而f(0)=c<0,故C错.D项,易知a>0,-

>0,∴b<0,∵abc>0,∴c<0,而f(0)=c<0,故选D.3-2已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-1,2]上有最大值4,求实数a的值.解析

f(x)=a(x+1)2+1-a.当a=0时,函数f(x)在区间[-1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去;当a>0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,最大值为f(2)=8a+1=4,解得a=

;当a<0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是减函数,最大值为f(-1)=1-a=4,解得a=-3.综上可知,a的值为

或-3.典例6已知函数f(x)=x2-x+1,在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,求

实数m的取值范围.三个“二次”间的转化解析

f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,令g(x)=x2-3x+1-