第03讲 直线与平面间的位置关系(考点定位精讲讲练)-2021-2022学年高二数学上学期期中考试满分全攻略（沪教版2020）教师版

第03讲直线与平面间的位置关系考点定位精讲讲练

考点三判断线面平行

考点二：证明线面平行

考点三：判断线面垂直

【例题解析】

考虚理注明线面垂直

直线与平面间的位置关系考点五:刹巨离

考点六：直线和平面所成角

【易错题分析】对H线5¥面相交的概念理解不透彻致设

聚焦考点

一、空间中直线与平面的位置关系

1.直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系有且只有「三____种：

①直线在平面内一一有——无数一个公共点；

②直线与平面相交一一有且只有一个公共点；

③一直线与平面平行——一没有公共点.

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外

2.直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示

位置关系图形表示符号表示公共点

直线Q在平面

aCa有无数个公共点

a内2

直线Q与平面有且只有一个公

aDa=.4

a相交\共点

直线a与平面--a

a//a没有公共点

。平行//

3.直线和平面位置关系的分类

(1)按公共点个数分类：

'直线和平面相交一有且只有一个公共点

・直线和平面平行一没有公共点

直线在平面内一有无数个公共点

（2）按是否平行分类:

「直线与平面平行

直线与平面相交;

直线与平面不平行

直线在平面内

（3）按直线是否在平面内分类：

,直线在平面内

'直线不在平面内（直线在平面外）［彗TH鬟

［直线和平面平仃

二、线面平行

（1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和

这个平面平行.

（2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这

条直线和交线平行.

三、线面垂直

（1）判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这

个平面.

（2）性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

推论】过一点有且只行一个平面与给定的1*（线垂位

推论2过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直.

四.距离定义：

（1）点M和平面a的距离：过点M作平面a的垂线，垂足为N，我们把点M到垂足

N之间的距离叫做点M和平面a的距离.

（2）直线/和平面a的距离：设直线/平行于.平面a.在直线/上任取一点M,我们把

点M到平面a的距离叫做直线/和平面a的距离.

（3）设平面a平行平面尸，在平面a上任取一点M,我们把点M到平面〃的距离叫

做平面a和平面6的距离.

（4）异面直线。和〃的距离：设直线。和b是异面直线，当点M、N分别在。和8上,

且直线MN既垂直于直线a,又垂直于直线〃时，我们把直线MN叫做异面直线。和力公垂

线，，垂足M、N之间的距离叫做异面直线。和b的距离.

五.平面的斜线

当直线/与平面a相交且不垂直时，叫做直线/与平面a斜交，/叫做平面a的斜线.

斜线/与平面a的交点M叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的

斜线段.

六.射影

设直线/与平面a斜交于点〃，过/上任意点A,作平面a的垂线，垂足为O,我

们把点。叫做点A在平面a上的射影，直线OM叫做直线I在平面a上的射影.

射影长定理；

从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：

（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；

（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；

（3）垂线段比任何一条斜线段都短.

五、直线和平面所成角

如图，/是平面a的一条斜线，点。是斜足，A是/上任意一点，是a的垂线，点8是垂

足，所以直线0B（记作是/在a内的射影，NAOB（记作。）是/与a所成的角.

（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条斜线和平面所成的角.

【规定】

（1）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角；

（2）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是0。的角.

【注意】

（1）直线/与平面a所成的角的大小与点A在I上的取法无关；

（2）直线和平面所成角的范围是［0,二,7T］;

2

（3）斜线和平面所成角的范围是（0,乙）.

2

（2）直线与平面所成角求解方法:

第一步：作出斜线在平面上的射影，找到斜线与射影所成的角氏

第二步：解含。的三角形，求出其大小.

三垂线定理平面上的一条I*［线和这个平而的一条斜

线垂克的充要条件•是它和这条斜线在平面上的射影垂1*1.

名师点睛

【例题解析】

考点一：判断线面平行

例1.（2020•重庆万州纯阳中学校高二月考）在以下四个命题中：①直线与平面没有公共点,

则直线与平面平行；②直线与平面内的任意一条直线都不相交，则直线与平面平行；③直线

与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；④平面外的一条直线与平面内的一条直

线平行，则直线与平面不相交.正确的命题是（）

A.①②B.①②③C.①③④D.①②④

【答案】D

【分析】根据线面平行的定义及判定定理可判断.

【详解】定义：•条直线与一个平面无公共点（不相交），称为直线与平面平行.

可知①②正确：

线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

可知④正确；

当线在面内时，直线与平面内的无数条直线不相交（平行时），所以③不正确.

故选：D.

例2.（2020•黑龙江哈尔滨市•哈九中高二期中（理））已知直线”和平面a,那么能得出

a〃a的一个条件是（）

A.存在一条直线。，“〃8且bua

B.存在一条直线匕，aHb支baa

C.存在一个平面/，au£且a〃力

D.存在一个平面夕，。〃月且a〃/

【答案】C

【分析】根据线面平行的判定定理，可得结果.

【详解】在选项A,B,D中，

均有可能。在平面a内，错误；

在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线

都平行于另一个平面，故C正确

故选：C

【点睛】本题考查线面平行的判定，属基础题.

例3.（2020•福建三明市•高二期中）如图，在正方体4?（笫B'CD'中，E,一分别为平

面/切力和平面4B'CD'的中心，则正方体的六个面中与哥平行的平面有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【详解】分析：由直线与平面平行的判定定理即可.

详解：山直线与平面平行的判定定理知."与平面47',平面8C',平面切'，平面4/均平

行.故与所平行的平面有4个.

点睛：考查直线与平面平行的判定，对定理的熟悉是解题关键，属于基础题.

例4.（2019•江西赣州市•南康中学高二月考）已知四棱锥尸4比优勺底面为平行四边形，E,

F,所别为双，PD,勿的中点，则6片平面切矽的位置关系为.

【答案】平行

【分析】由£,F是PA,如的中点，根据三角形中位线定理可得所〃A。，根据ABCD为平行四

边形，可得仞〃3C,由平行公理可得瓦'〃8C,利用线面平行的判定定理可知BC与平面价'G

的位置关系为平行.

【详解】因为反F是PA,领中点，所以所〃A£>,又因为4及为为平行四边形，所以AO〃BC,

因此瓦1〃8C,乂因为EFu平面EFG,平面EFG,所以BC〃平面EFG.

【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质、

平行公理.

例5.（2020•四川省仁寿第一中学校北校区高二期中）正方体A3CO—48©。中，E为

的中点，则8R与过A,C,E三点的平面的位置关系是—

【答案】平行

【分析】连接30交AC于点。，根据线面平行的判定定理，即可得出结果.

【详解】

连接交AC于点。，

在正方体中容易得到点。为8D的中点.

又因为E为。2的中点，所以0E〃BR.

又因为OEu平面ACE,8。平面ACE,

所以BR〃平面ACE.

故答案为：平行.

【点睛】本题主要考查判定线面位置关系，熟记线面平行的判定定理即可，属于基础题型.

例6.（广东佛山市•高二月考）下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、

N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB〃平面MNP的图形序号是.

【答案】①④

试题分析：如图1，。是所在棱中点，AEr>OM=Q,则。是AE中点，AB//PQ,因此有

AB//平面MNPO,如图2,。是底面中心，可知48//ON,而Nw平面MNP,

O任平面MNP,因此AB与平面MNP不平行，如图3,平面尸AW就是平面尸N8E,显然AB

与平面MNP不平行，如图4,AB//EF//PN,则有AB//平面MNPO,故填①④.

考点：直线与平面平行的判断.

【名师点睛】直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,

则该直线与此平面平行（线线平行二线面平行），性质定理：一条直线与一个平面平行，则

过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简记为“线面平行今线线平行”）.直

线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件.

考点二：证明线面平行

例1.（2020•进贤县第二中学）已知正方体A3CO-44GA,

（1）证明：0A〃平面QB。；

（2）求异面直线与5。所成的角.

TT

【答案】（1）证明见解析；（2）

3

【分析】（1）证明D\A//C\B,再根据线面平行的判定定理即可证明结论;

（2）NGB。即为异面直线乌4与BD所成的角，求出即可.

【详解】（1）证：在正方体A8CO—44G2中，

AB//C]Dl,且AB=CQ,

...四边形ABGR为平行四边形，

D\A/IC\B,

又RAZ平面G8O,。/匚平面。啰。；

AA〃平面G8。；

（2）解：•；XAgB,

NQBD即为异面直线AA与3。所成的角，

设正方体A8CO—44G2的边长为。，

则易得JB=BD=CQ=Ei,

AC,BD为等边三角形，

71

：.4C、BD=—,

TT

故异面直线。9与5。所成的角为g.

【点睛】本题主要考查线面平行的判定与异面直线所成的角，属于基础题.

考点三：判断线面垂直

例1.（2020•浙江高二期末）若直线A。,平面a,点°、P和直线/在平面a内，则命题

“AP_U,则°PL”的真假性及否命题为（）

A.真命题，若APU,则。P与/不垂直

B.假命题，若则OP与/不垂直

C.真命题，若AP与/不垂直，则OP与/不垂直

D.假命题，若AP与/不垂直，则。P与/不垂直

【答案】C

【分析】根据AP_L/，40，/可证明/，面4。，进而可得OP，/,可说明真命题；另外

利用否命题的书写规则，将条件和结论均否定来选择答案.

【详解】解：若直线AO_L平面。，点。、尸和直线/在平面a内，则命题“AP，/,则OP_L/”

为真命题，因为当直线AO_L平面a,又直线/u平面a,则AO，/,又APJJ,且

AOC\AP=A,所以/_1_面4。「，所以OP，/,故为真命题，

其否命题为：若AP与/不垂直，则。PH/不垂直.

故选：C.

【点睛】本题考查线面垂直的判定及性质，考查否命题的概念，是基础题.

例2.（2021•安徽马鞍山市•马鞍山二中高二开学考试（理））在长方体ABC。—4MGR

中，必，A为线段AB上的两个不同的点，P,。为线段CG上的两个不同的点，则下列结论正

确的是（）

A.直线,"与可能平行B.直线他）与人河能相交

C.直线扬可能垂直于平面ADRAD.直线小阿能平行于平面A。。A

【答案】I）

【分析】根据直线AB与直线C£是异面直线，判断MR与监卜一的位置关系；用反证法判断C错

选项；由/V在点8处判断D选项.

【详解】如图所示：

因为直线4B与直线CG是异面直线，

所以MP,N,加U点不共面，

所以游与/V。上不可能平行或相交，故AB错误；

假设直线M唾直于平面ADRA，因为MPu平面4BP,则平面ABP,平面AOAA，而平

面4B/JL平面AOR4,矛盾，故C错误；

当点八在点现时，因为平面BCC/J/平面AO〃A，而NQu平面平面BCG4，所以总有

直线M用行于平面AORA，故D正确；

故选：D

例3.（2021•江西南昌市•南昌十中高二月考（文））设a,6是不同的平面，机，”两

条直线，下列选项中正确的是（）.

A.mua,nu0,则加、〃是异面直线

B.mJla,nila,则mlIn

C.mVn,mVa,则“〃c

D.mlln,mA.a,a〃/?,则〃_L£

【答案】D

【分析】根据空间中的线面关系逐一判断即可.

【详解】若用ua,nu/3,则机、〃可以平行、相交、异面，故A错误

若m〃a,nila,则〃八〃可以平行、相交、异面，故B错误

若m_L〃，则〃〃a或〃ua,故C错误

若mlln,mA-a-all0,则〃_L£,故D正确

故选：D

例4.（2020•怀仁市第一中学校云东校区高二月考（理））已知直线/《平面a,直线mu

平面a,下面四个结论：①若/_La,则/_!_，“；②若〃/a,则〃//〃；③若/_!_〃?，贝!!/_La；

④若〃/机，则〃/a.其中正确的结论是（）

A.①②④B.③④C.②③D.①④

【答案】D

【分析】根据空间中的线面位置关系逐一判断即可.

【详解】直线/仁平面。，直线机u平面a,知：

在①中，若/_La,则由线面垂直的性质得/_Lm,故①正确；

在②中，若〃/a,贝廿与评行或异面，故②错误；

在③中，若/_L根，则/与a不一定垂直，故③错误；

在④中，若IHm,则由线面平行的判定定理得〃/a,故④正确.

故选：D

例5.（2020•北京市平谷区第五中学高二期中）在长方体ABC。—A4GR中，M、N分

别是4田和AC的中点，则（）

A.MN//平面BBCCB.肠V//平面CCQQ

C.MNL平面ABC。D.MN是异面直线A/和AC的公垂线

【答案】A

【分析】根据线面平行垂直关系逐一判断.

【详解】如图，M、N分别是4出和AC的中点，因为长方体ABCO-AgGR,

所以M、N也分别是AB,和BD的中点；

MNHB.C,所以A正确;

耳。与平面CG。。相交，所以MN与平面CCA。相交，所以B错；

8c与平面ABCD所成角为45。，所以MN与平面ABCD所成角为45°,所以C错；

AB//RC,MN不垂直于平面ACQ,则MN不是异面直线48和AC的公垂线，

所以D错.

故选A

考点四：证明线面垂直

例1.（2019•浙江高二学业考试）已知两条直线机，〃，两个平面a,4，给出下面四个命题:

①a///7,机//a,L/?=>〃？_La；

②a_L£,/ua,inc/?=>/±m

③a///?,m//〃，机_La=〃_L4；

④aJ_/?,/_L///?n/_L〃2.

其中正确命题的序号是（）

A.①③B.②④C.①④D.②③

【答案】A

【分析】对于①，根据线面平行、线面垂直的性质，可得①正确：

对于②，由条件可得/与评行、相交或异面，即②不正确；

对于③，由空间线面关系可得③正确；

对于④，由条件可得/与m平行、相交或异面，即④不正确，得解.

【详解】对于①，过加做平面/与a交于a,

因为〃z〃a,所以m//a,乂。//夕,〃_1_夕，

所以“_La,aua,nla,所以〃故①正确；

对于②，aip,lua,mu0,则/与评■行、相交或异面，故②不正确；

对于③，若加//〃,〃?_La,则〃_La,又a/〃？，则〃J_£,故③正确；

对于④，若a1/3,1La,ml/，贝以与评行、相交或异面，故④不正确,

综上，正确命题的序号为①③，

故选：A.

【点睛】本题考查了空间直线与平面的位置关系.重点考查了空间想象能力，属基础题.

例2.（2019•河北高二学业考试）在正方体中，A"与平面所成

角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】通过证明AO_L平面BBRD可得NAD0是直线AD,与平面54Ao所成的角，在

直角三角形中计算可得结果.

【详解】

如图：连AC,3。交于0,连OQ,

因为Bg,平面48CD，所以8旦，A。，

又AOL8O,BDcBB、=B,

所以AO,平面BBQQ,

则ZADp是直线ADi与平面BBQQ所成的角，

设AB=a,则AD|=V^a,AO=—a-

'2

0

---n

所以sinZAD.O=至=

AD,72a2

所以NAO。=30°.

故选：A

【点睛】思路点睛：用定义求线面角的思路如下：

一、利用直线与平面垂直找到线面角；

二、证明线面角；

三、计算线面角.

例3.（2020•江西九江市•高二期中（文））在空间中，下列命题正确的是（）

①平行于同一条直线的两条直线平行；

②直线直线a,直线/，直线6,a,6之平面a,所以/，平面a；

③垂直于同一个平面的两条直线平行.

A.①③B.①②C.①D.①②③

【答案】A

【分析】根据平行公理，线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理判断.

【详解】①该命题就是平行公理的推论，即基本性质，因此该命题是正确的；

②少了直线。力相交的条件，故②是错误的；

③该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的.综上，①③正确，

故选：A.

例4.（2020•吉林高二学业考试）如图，在正方体ABCO-A4GR中，E、F分别为

、CG的中点.

（1）求证：AC1BDt.

（2）求证：AE〃平面B正。.

【分析】（1）连结50,证寓AC，A。，AC±BD,利用线面垂直的判定定理可得AC_L

平面8。，，进而可得AC_LB，.

（2）连结EF,证;IJAE//8F,再利用线面平行的判定定理即可证明.

【详解】证明：（1）连结50，由正方体ABC。—44GA得，

DtD1平面ABCD.又ACu平面ABCD,；.AC1D.D

又四边形ABCD是正方形，AC_L8D,

又Blu平面BDD-：.AC1BD,.

(2)连结E/L由E、F分别为A8CQ—A4G。、

ABC。—45GA的中点得，EFUABREF=AB

；.四边形A3EE是平行四边形，；.AE//8尸

又AE.平面8尸匚平面8/;'。，，4七//平面8尸。.

例5.(2020•重庆市朝阳中学高二期中)正方体4吠4耳G4中.求证:

(1)4G〃平面力位;

(2)初JL平面四C

【分析】(1)根据线面平行的判定定理，只要证出4G"AC即可；

(2)根据题意可证得BQ±AC,BDt14C,由线面垂直的判定定理即得证.

【详解】

(1)如图所示:

连接AC，由正方体的结构特征可知，AA〃CG，且A4i=CG，所以四边形A/CG为平

行四边形，即有AG//AC,而AG。平面4C%人。匚平面4^,故A£〃平面AC4.

（2）因为2。_L平面ABC。，ACu平面488,所以RCAC,由四边形ABC。为正

方形可知，AC1.BD，而BDcDQ=D,所以AC,平面5OR,又BRu平面

AC1BD,.同理可证，B.CA.BD,,而ACcqC=C,故8。，平面A^C.

【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理的应用，以及三垂线定理

的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.

考点五：求距离

例1.（2020•贵溪市实验中学高二月考（理））从平面a外一点P引直线与a相交，使P点

与交点的距离等于1,这样的直线（）

A.仅可作2条B.可作无数条

C.仅可作1条D.可作1条或无数条或不存在

【答案】D

【分析】将题目转化为点尸与面a的距离问题，分距离大于1,距离等于1,距离小于1讨论，

可得答案.

【详解】当点尸与面a的距离大于1时，不存在这样的直线，使尸点与交点的距离等于1；

当点尸与面a的距离等于1时，有且仅有一条这样的直线，使尸点与交点的距离等于1；

当点P与面a的距离小于1时，有无数条这样的直线，使P点与交点的距离等于1；

故选：D.

【点睛】本题考查了点到平面的距离、直线与平面相交时点与交点的距离情况，考查了分类

讨论和推理能力，考查了空间想象能力，属于中档题.

例2.（2020•重庆市第三十七中学校高二期中）在正方体中，£是的

中点，若AB=6,则点/IJ平面力◎的距离等于（）

「3m

A.>/5B.V6L-•-----D.3

2

【答案】B

【分析】由已知求得三角形ACE的面积，再由等积法求点B到平面ACE的距离.

【详解】如图，在正方体ABCD-中，A8=6,E是8所的中点，

则8£=3，AE=CE=后+32=3/，AC=6^-

S.=；x6后&3府-（3夜）2=976.

设点B到平面ACE的距离为h,

由％-ABC=%_ACE，得;xgx6x6x3=gx9"x〃，

解得〃=布.

故选：B.

【点睛】本题主要考查空间中点到面的距离，训练了利用等积法求多面体的体积，意在考查

学生对这些知识的理解掌握水平.

例3.（2021•江苏扬州市•高二期末）已知正方体A8CD-A4GR的棱长为2,则点力到平

面4片。。的距离为（）

A.芈B.V2C.2D.2&

【答案】B

【分析】由垂直关系可知阴，平面A4CD,根据边长关系直接求点到平面的距离.

【详解】连结AR,与4。交于点M，AtDLAD},且4g_L平面

/.AiB1±ADX,且4。n44=A，

A。J,平面4ACO,

•••点A到平面\B,CD的距离为卜;MR|=V2.

故选：B

例4.（2020•全国高二课时练习）已知般△£?石的直角顶点£在平面。内，斜边人6〃。，且6G

=6cm,EF,砥与平面。分别成30°和45°角，则/到平面。的距离是（）

A.5/5cmB.瓜cm

C.25/3cmD.2遥cm

【答案】B

【分析】过凡冽别作用，。，GBLa,A,6分别为垂足，连接属EB,设&冽平面。的距

离为"，分别在Rt△川环口RI△颂中把边长用猿示，建立方程，求出d.

【详解】解析：如图所示，

过其的别作为J_“，GBLa,A,粉别为垂足，连接力£EB,在Rt△的钟，FE=2FA；在

Rt△仍网」，EG=五BG.设展到平面a的距离为，则4=科=而在Rl△做冲，欧+%=36,

即4（/+2（/=36,才=6,所以d=«cm.

【点睛】方法点睛：

距离的计算方法有两类：

（1）几何法：利用几何图形求值；

（2）向量法：把距离用向量表示出来，转化为代数计算.

例5（2020•湖北省汉川市第二中学高二月考）如图，在棱长为2的正方体A3CD-45c。中,

E为8C的中点，点尸为线段中点，点P到平面OCC2的距离为_____.

【分析】可得点P到平面DCCQ的距离为E到平面OCCQ的距离的一半.

【详解】•••£为3C的中点，到平面DCC|A的距离为1,

•••点P为线段中点，，点P到平面DCCR的距离为1.

故答案为：!.

2

例6.（2020•河北保定市•高二期末）已知正方体ABCO-450。的棱长为2,则点B到平

面4旦8的距离为_____.

【答案】叵

【分析】连接3G交旦C于M,通过线面垂直的判定，得到平面4片。＞,根据正方

体的棱长，得到点B到平面A,B,CD的距离.

【详解】连接3G交用C于M,

因为正方体A3CD-4用£与，所以面B£CB为正方形，

所以BCJ.8G，

在正方体ABCD-^QD,中，2.平面BgCB,

而BQu平面用GC8，

所以44L8G

B|C，44U平面A/C。，

所以3GJ•平面ABC。，

所以为点8到平面ABCD的距离，

又因为正方体ABCD-A/C。的棱长为2,

所以8到平面ABC。的距离为V2.

故答案为：72.

【点睛】本题考查线面垂直的判定，求点到平面的距离，属于简单题.

例7.（2020•河北省尚义县第一中学高二期中）如图所示，在长方体A8CD-A1中,

AB=BC=2,M=4,尸为线段4。上一点.

（1）求证：ACLBP；

（2）当P为线段用，的中点时，求点A到平面P8C的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）M2.

17

【分析】（1）利用线面垂直推导出线线垂直即可

（2）利用等体积法％-PBC=%-A8C，进而求解即可

【详解】（1）证明：连接60,

因为43CO-是长方体，且AB=3C=2,所以四边形ABC。是正方形，所以

AC1BD.因为在长方体ABC。-A4GA中，平面ABC。，ACu平面ABC。，

所以ACLB5,因为a）u平面S4R。，BB]u平面，且B,所以AC_L

平面BBiRD,因为BPu平面84。。，所以AC_L8P.

（2）点P到平面ABC的距离A4?=4,AA5c的面积SAMC=[.A8/C=2,

11Q

所以^p-ABC~S4ABC•AAj=-x2x4=-,

在RtZsBBf中，BB[=4,BF=板,所以BP=3拒，

同理CP=30.又BC=2,所以的面积亚『一F=J万.

1Q

设三棱锥A—P3C的高为力，则因为匕“BC=%-A8C，所以3s“Be.力=§，

所以姮力=§,解得〃=鼠咬，即三棱锥A—pg。的高为巴叵.

331717

所以点A到平面A—P8C的距离为殳叵.

17

【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用等体积法匕-PBC=/.ABC，进而得出

力.ABC=：5小叱.朋=yA-PBc=^PBC-h,进而求出三棱锥A—PBC的高〃

例8.（上海市控江中学高二期中）已知长方体ABC。—A4GR.

（1）求证：442平面8片乌。

（2）若AB=4,AZ）=3,求4A和平面B8QQ的距离.

12

【答案】（D证明见解析：（2）y

【分析】（1）在长方体ABC。—中，44〃84，可证44尸平面842。.

（2）由RAP平面542。，直线AA上任意一点到平面84口。的距离都相等，即可以求点

A到平面BBRD的距离,从而可得答案.

【详解】

（1）在长方体ABC。—中，44,HBB]

又8耳1平面8BQQ

所以AAP平面BBQQ

（2）由（1）4Ap平面54。。，

则直线AA上一任意一点到平面BBRD的距离都相等，

所以只需求直线AA上任意一点到平面BBRD的距离，

在长方体A8CO—44G。中，BB]X平面ABCD

且BB]c平面BBQQ,则平面BBQQ±平面ABCD

过点A作47，班＞交BQ于“，

则平面8BQQ,

即AH为直线AA和平面BBRD间的距离

在AABD中，AB=4,A£>=3,则80=5.

-4rrABxAD4x312

由等面积法得：AH=--------

DB

所以4A和平面BBQQ的距离y.

【点睛】本题考查线面平行的证明和线面距离，将线面距离转化为点面距离，属于基础题.

考点六：直线和平面所成角

例1.（2020•全国高二课时练习）平面的一条斜线和这个平面所成的角。的取值范围是（）

A.（0°,180°）B.[0\900]C.（0\900）D.（0°,901

【答案】C

（分析】由斜线和平面所成的角的定义可得选项.

【详解】由斜线和平面所成的角的定义得：0<^<90，

故选：C.

【点睛】本题考查线和平面所成的角的定义，属于基础题.

例2.（2019•合肥一六八中学高二期中（理））已知四棱锥底面四边形中顺次三个内角的大

小之比为2:3:4,此棱锥的侧棱与底面所成的角相等，则底面四边形的最小角是.

A.幽B.60"C.幽D.无法确定的

1113

【答案】B

【详解】解：因为棱锥的侧棱与底面所成的角相等，所以四棱锥底面四边形内接于一个圆，

因为四棱锥底面四边形顺次三个内角的大小之比为2:3:4,设对应角为

7T

2k,3k,4k:.2k+4k=兀：.2k=},因此此则底面四边形的最小角是60、选B

例3.（2020•全国高二课时练习）若直线/与平面a所成的角为直线〃在平面a内，且

与直线/异面，则直线/与直线。所成角的取值范围是（)

c兀717171717t71

A.0,—B.C.D.

L3J62J63[32

【答案】D

【分析】根据线面角的定义可知/与直线a所成的角的最小值，根据异面直线所成角的定义知

最大角为直角.

【详解】山题可知直线/与直线a所成的角的最小值为直线与平面所成的角，所以/与直线。所

成的角的最小值为又/,a为异面直线，则直线/与。所成角的最大值为彳.

7171

故直线/与直线a所成角的取值范围是,

故选：D

【点睛】本题主要考查了线面角及异面直线所成的角，属于容易题.

例4.（2019♦浙江杭州市•杭州四中高二期中）已知斜线/与平面a所成的角为。，在平面a

内任意作/的异面直线则/'与/成的角

A.有最小值。，最大值二JTB.有最大值三7T，无最小值

22

C.有最小值。，无最大值D.既无最小值，又无最大值

【答案】A

【分析】根据线面角的定义，可求/'与/成的角有最小值，根据异面直线所成角的范围，可求

r与/成的角有最大值，即可.

【详解】因为斜线2与平面a所成的角为。是直线/与平面a内任意一条直线所成角中的最小

值，则/'与/成的角有最小值仇

又因为异面直线所成角的范围为（0,2],所以/‘与/成的角有最大值

22

故选：A

【点睛】本题考查线面角的定义以及两条异面直线所成角的范围，属于较易题.

例5.（2019•邢台市第二中学高二月考）若一条直线于一个平面成72°角，则这条直线与这

个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于

A.72°B.90°C.108°D.180°

【答案】B

【详解】当这个平面内经过斜足的直线/与这条直线在这个平面内射影垂直时，直线/与这条

TT

I'L线忖工,所成分为I'Uij,向两11线所成仙旭:国.所以门：线/叮这条直线所成角最大值

为90°,所以选B.

例6.（2020•云南高二学业考试）如图，在正方体438-4用£2中，对角线A/与平面

ABC。所成角的正弦值为

rR

D-T

【答案】D

【分析】连接AC，可得乙4cA为A,与平面ABC。所成角，在MA4,AC中，即可求解.

【详解】连接AC，则41c4为AC与平面ABC。所成角，

设正方体的边长为。，则=&

在RfAA,AC中，sinZAC4=-^=—

6a3

故选：D

【点睛】本题考查了线面角，解题的关键是作出线面角，属于基础题.

例7.（2019•广西百色市•田东中学高二期中（理））正方体ABCO-4四中，。为侧

面8CG4的中心，则A。与平面ABC。所成角的正弦值为（）

A.—B.-C.—D.—

3262

【答案】C

【分析】取BC中点E，则所求线面角为NCME,利用勾股定理求得OE,O4,作比可求得

结果.

【详解】取中点E,连接OE,AE

。为侧面BCC]耳的中心,OEJ_平面ABCD

：.A0与平面ABC。所成角即为NOAE

设正方体棱长为2。，则AE=J4aN+力=豆々,OA=\j5a2+a2=\[6a

sinZOAE=—==—,即4。与平面ABC。所成角正弦值为逅

OARa66

故选：C

【点睛】

本题考查直线与平面所成角的求解，关键是能够根据线面垂直关系确定所求角，属于基础题.

例8.（2020•山西省古县第一中学高二期中）正方体45GA中直线与平面

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】先由线面垂直的判断和性质得出幺。。就是直线A。与平面AB,C,O所成的角，再

由正方体中的线段间的长度关系，可得选项.

【详解】设与AB1交于点0,连接功,则A。，A旦，又面，所以\°工AD，

乂AOnAq=A,所以40上面A4G。，

所以NAQ。就是直线与平面AB£D所成的角，

设正方体的棱长为2,则在R〃4。。中4。=&，AQ=立,所以NAOO=g,

故选：A.

例9.（2020•全国高二课时练习）若AB与平面a所成的角是30°,且Awa,则A3与a内

过点A的所有直线所成角中的最大角为.

【答案】90

【分析】由线面角的定义和空间中的直线所成的角的定义可得答案.

【详解】在平面a内，过点A且与A5在平面a内的射影垂直的直线与AB所成的角最大，

为90。.

故答案为：90'.

【点睛】本题考查空间中的线线角、线面角的定义，属于基础题.

例10.（2021•全国高二课时练习）设。是直线与平面所成的角，则角，的取值范围是____.

7T

【答案】［0,

2

【分析】当直线在平面内或直线平行于平面时，。取最小值0,当直线与平面垂直时，8取最

7T

大值不，山此能求出角。的取值范围.

【详解】解：。是直线与平面所成的角，

当直线在平面内或直线平行于平面时，。取最小值0,

当直线与平面垂直时，。取最大值三，

2

TT

二角。的取值范围是0,-.

71

故答案为：0,-.

【点睛】本题考查线面角的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等

基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

例11.（2019•上海市金山中学高二月考）正方体A8CD-4瓦£2中，直线与平面

所成的角的大小为________（结果用反三角函数值表示）

【答案】arctan

2

【分析】根据线面角的定义可知所求角为/。声£,根据长度关系可求得tan从而

得到结果.

【详解】

由正方体特点知：G21平面see4

二直线BDI与平面BCC,B,所成角为ZD.BC,

设正方体棱长为“，则3G=夜〃;.tanNDiBCi=a=十

ZD,BC,=arctan*，即直线BR与平面BCC4所成角大小为arctan^

故答案为arctan—乙

2

【点睛】本题考查直线与平面所成角的求解，关键是能够根据线面垂直关系确定线面角的位

置，属于基础题.

例12.（2020•福建三明市•高二期中）如图，长方体-中，AB=AD=\,

例=2,点2为。。的中点.

（1）求证：直线BDt//平面PAC；

（2）求直线8。与平面ABC。所成角的正切值.

【答案】（1）证明见解析；（2）日

【分析】（1）设AC和5。交于点。，则。为3。的中点，连结P。，证明P0//8R,然

后证明直线8，//平面PAC.

（2）说明NRBO直线与平面ABC。所成的角，通过求解三角形推出结果即可.

【详解】（1）证明：设AC和8。交于点。，则。为80的中点，

连结P0,乂因为尸是。。的中点，故P0HBD、

又因为POu平面PAC,平面PAC

所以直线平面PAC

（2）在长方体—中

•；DD、±平面ABCD

NQBD是直线BD,与平面A3CD所成的角

DD、=2,BD=ylAB2+AD2=y[2

,,,tanNRBD="^r~=

直线Bp与平面ABCD所成角的正切值为0

AB

【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空

间想象能力和逻辑推理能力：解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平

面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间

向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

【易错题分析】

对直线与平面相交的概念理解不透彻致误

已知：直线