整式的乘法学案

整式的乘法学案

一、同底数嘉的乘法

一、新知探究

问题1：an的意义是,我们把这种运算叫

做.运算的结果叫;a叫做,n叫做.

a"读作又读作

问题2：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多

少次运算？

问题3

计算下列各式：

(1)25X22(2)a3-a2(3)5m.5n(m,n都是正整数)

问题4：问题3中的这三个算式的共性是：

相乘结果的与原来的相同，是原来两个基的的

和.

二、归纳与总结

(1)探究am、。(m、n都是正整数)

(2)通过以上探究我们得到同底数幕相乘法则

同底数幕相乘，___________________________

公式为_____________________

三、例题解析

例1：计算：(1)x2-x5(2)a-a6(3)xm-x3m+1

例2：(1)2X24X23(2)am-an-ap

四、巩固提升

1计算：

(1)IO7X104=______；(2)x2•x5=______・

(3)23X24X25=____.(4)y-y2-y3=________

(5)105X106=_____(6)a7-a3=________

(7)x5x5=_______(8)1b5-b=_______

(9)x10-x=________(10)10xio2xio4=________

(11)X5Xx3=______.(12)=______

(13)xn-xn+1=______(14)(x+y)3-(x+y)4=________

2.下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？

(1)b5-b5=2b5()(2)b5+b5=b10()

(3)x5-x5=x25()(4)y5-y5=2y10()

(5)c-c3=c3()(6)m+m3=m4()

3填空：

(1)x5-()=:X8(2)a-()=a6

(3)x-x3()=X7(4)xm-()=X3m

4思考题

(1)8=2X,贝ijx=_

(2)8X4=2X,则X=_____________；

(3)3X27X9=3X,则x=

5计算

(1)35(—3)3(—3)2(2)—a(—a)4(—a)3

(3)xp(一x)2p(—x)2p+1(p为正整数)(4)32X(-2)%—2)(n为正整数)

2、计算

(1)(2a+b)3(2a+b)m-4(2a+b严+i

(2)(x一y)2(y一x)5

二、寨的乘方

一、新知探究

问题1:计算

(1)(x+y)2•(x+y)3(2)x2•x2•x+x4•x

(3)(0.75a)3•(-a)4(4)x3,xn-1—xn'2,x4

4

问题2

6'表示个相乘.

(67表示个相乘.

表示_____个相乘.

(a?)3表示——个—相乘.

问题3

(am)n表示个相乘

/.(am)n=am,am•am••••••am

V____________________/

7

个am相乘

=a•a•a....................••••a

个a相乘

()

=a

即(am)吐(其中m、n都是正整数)

问题4计算：

(1)(103)3(2)(x2)5(3),2)2,

问题5：问题4中的这三个算式的共性是:

相乘结果的与原来的相同，是原来两个基

的的.

二、归纳与总结

通过上面的探索活动,发现了幕的乘方法则

募的乘方，底数__________(指数_

公式为_____________________

三、例题解析

2

例1计算：(1)(103)5(2)[(-)3]4(3)[(-6)3]4

3

(4)(x2)5(5)-(a2)7(6)-(as)3

例2计算：

(1)(x3)4•x2(2)2(x2)n-(xn)2(3)[(x2)3]7

(4)23X42X83(x3)4•x2

例3比较大小：355,444,533

四、巩固提升

1.判断题，错误的予以改正。

(1)a5+a5=2a10()

(2)(x3)3=x6()

(3)(-3)2.(-3)4=(-3)6=—36()

(4)x3+y3=(x+y)3()

(5)[(m—n)3]4—[(m—n)2]6=0()

2、计算

(1)[-(x+y)3]4(2)(an+1)2x(a2n+1)3(-32)3(3)a3Xa4Xa+(a2)4+2(a4)2

(4)(xm+n)2x(-xm-n)3+x2m-nx(-x3)m

(5)(P3)4•(-P2)3+2[(-P)2]4・(-P5)2

3.解答下列各题

(1)若(x2)n=x8,贝ljn二.

(2)若[(x3)叫2=x%则m=.

(3)若X01•x2m=2,求X9m的值

(4)若a2n=3,求(a3n)4的值。

mn2m+3n

(5)已知a=2/a=3/^a的值.

三、积的乘方

一、新知探究

问题1

若已知一个正方体的棱长为1.1X103cm,

(1)它的体积是多少？

(2)这个结果还是累的乘方形式吗？

问题2填空

(1)(ab)2=(ab)-(ab)=(a-a)-(b-b)=a()

(2)(ab)3===a()

问题3：计算

(1)(2b)6(2)(-ay)5(3xy)4

问题4：探究（ab）。（n是正整数）=

问题5问题（3）、（4）中的这各个算式的共性都是的乘方

结果等于各因式的积

二、归纳与总结

通过上面的探索活动,发现了积的乘方法则

积的乘方等于把分别乘方，再把所得塞_

公式为________________________

注1.积的乘方法则简单的说成积的乘方等于乘方的积

注2.应注意公式（ab）〜11♦注的逆用,BPan-bn（=ab）n

其意义可说成同指数幕相乘等于指数不变，底数相乘

三、例题解析

［例1］计算

(1)(2a)3(2)(-5b)3(3)(xy2)2.(4)(-2x3)4

例2已知xn=5,y"=3,求（x，）2n的值。

例3(0.125)(-8)2皿

四、巩固提升

1、下列计算对吗？如果不对，请改正。

①(3a2)3=27a5

②(-a2b)4=-a8b4

③(ab4)4=ab8

④(-3pq)2=-6p2q2

4

⑤(23)4=23

2.选择题

1)(-3x2y3)2的值是()

45

A.-6xyB.C.为少D.Y%4y

2).下列计算错误的个数是()

①叱)=6%2②卜5q43)=-25〃"%'°

③=④卜龙？)=81兀'/

A.1个B.2个C.3个D.4个

3).若%7"可=初射成立，则()

A.m=3,n=2B.m=n=3C.m=6,n=2D.m=3,n=5

4).［(-if等于()

2n2nn+2

A.PB.-pC.—pD.无法确定

5).计算13.丁2.(_孙3］的结果是(

A510D58G5J8Dx6y12

A-xyB.xyC.-Xy.

6).若N=(a-a2l3)4,那么N等于()

A.01blB.a吁c.a'2b'2D.a,2b7

7).已矢口“'=5,"'=3,贝1］。'+'的值为()

A.15B.|C.a1D.以上都不对

8).若产R/K则m+n的值为()

A.1B.2C.3D.-3

2/、2

9).2y•㈠尸・卜?》2y3j的结果等于()

AQ1010R1010rn1010Dnn10-10

A.3xyB.-3xy&9xy--9xy

10).如果单项式-3f"-&y2与gdy"}是同类项，那么这两个单项式的

积是()

A6、,4o3、,283.2n6,4

A.xy-xyrc.--xyD--Xy

3、填空题

1)•(一3/时.(-2加]=。

2).(-0.125)2=

m232

3){-2[-(a)]}J

"已知(x3)5=-a15b15,

贝x=_______

5).

6).化简(a*a"T・(-2aT所得的结果为—.

7).()5=(8X8X8X8X8)(a•a•a•a,a)

8).(3a2)3+(a2)2-a2=.

9).如果aWb,且(ap)3•bfa%'成立，贝Up=,q=。

4.计算下列各题

1).(-5ab)22)、-(3x2y)23)、-(l|a/?c3)34),(0.2x4y3)2

5).(-l.lxmy3m)26)、(-0.25严X4"7)>-81994X(-0.125)1995

8)、0.5x3,--2xn9)、(-0.125)3X29

10(-a2)2,(-2a3)211)>(-a3b6)2-(-a2b4)312)、-(-xmy)3,(xyn+1)2

13)、2(anbn)2+(a2b2)n14),(-2x2y)3+8(x2)2•(-x2)•(-y3)

15)、-2100X0.5100X(-1)1994+216)2(x3)2-x3-(3x3)3+(5x)2-x7

⑺⑶心".河)⑶⑦3吗"

19)(-x2y)3+7(x2)2-(-x)2-(-y)320)[(m-n)3]p-[(m-n)(m-n)p]5

5.已知（9"）［；［=4,求/的值

6.已知10。=5,1(/=6,求102a*3#的值

7.比较大小:218X310与210X315

一、单项式乘以单项式

（一）新知探究

问题1：光的速度约为3X10,千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大

约是5XIO?秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？

问题2：如果将上式中的数字改为字母，即:3C"5C2,如何计算？

问题3：如果将上式中的数字改为字母，即ac5.bc?,如何计算？

问题4：类似地，请你试着计算：：(-5a2b3)(4b2c)

二、归纳与总结

通过上面的探索活动,我们发现单项式与单项式相乘法则：

由于单项式是数字与字母的积，因此单项式乘以单项式可以利用乘法的

_______律

先把与相乘，再把相乘，对于只在一个单项式里含有

的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

三、例题解析

例：计算：(1)(-5a/)•(-3a)(2)(2x)3•(-5xy2)

四、巩固提升

训练1

1.小民的步长为a米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的

面积有多少平方米？

2.计算

(1)2a3he2-(-2ab2)(2)(-3x3)2-x3

(4)(2xy2)(3xV,(xy)

(3)(-10xy3)(2xy4z)--4

(5)(a3b)2(a2b)3(6)3a2b)2+(-2ab)(-4a3b)

43

3.计算：3(x-y)2•(y-x)3][--(x-y)

152

4.判断：单项式乘以单项式，结果一定是单项式（）

两个单项式相乘，积的系数是两个单项式系数的积（）

两个单项式相乘，积的次数是两个单项式次数的积（）

两个单项式相乘，每一个因式所含的字母都在结果里出现（）

5若（-5am+1b2n力（2a"bm）=-10a4b%则m-n的值为

6.计算:0.4x2y（-xy）2-（-2x）3-xy3

7.已知am=2,an=3,求用巾+叶的值

8.求证:52-32n+1-2n-3n-6n+2能被13整除

训练2

一'选择题

1.计算/.y2（_^3）2的结果是（）

5105612

A.xyB./武C.-x/D.xy

2.（—3/丁＞+勺/丁了.匚/）,）计算结果为（）

as

A.--x6y3B.0C.-x6/D.--x6y3

1612

3.(2.5xl()3)3x(_o8x102)2计算结果是()

A.6xl013B.-6xl013C.2xl013D.1014

4.计算2刈•(-gx2y2z).(_3/y3)的结果是()

A.3x6y6zB.-3X6/ZC.3X5/ZD.-3X5/Z

5.计算-(a?》)'+2a2b•(-3。2b尸的结果为()

A.-17a%3B.一18a6b3C.D.18/7/

6.x的加次方的5倍与/的7倍的积为()

m+2

A.121"'B.35”"C.35X"*2D.i2x

7.(-2/y4)3.(_x2y32等于()

A.-8/y%2B.8/y%2Q—8/y24c2D18尤36y24c2

8.V/T.xE.婷+2=%力9,则痴一3〃=()

A.8B,9C.10D.无法确定

9.计算(—3/).(—(%3,".)”)(_3；,“)的结果是()

A.3x4,ny,n"B.-yx2m+2yn,C.-2x3m+2ym+nD.

-敬+y严"

io.下列计算错误的是()

A.(«2)3-(-a3)2=«12B.(一油.(一。2b3)=0％7

C.(2xyn)-(-3xny)2=18x2n+I^n+2D.(-xy2)(-yz2)(.-zx2)=-x3y3z3

二'填空题：

1.(ax2)(a2x')=.

2.()(x2y)2=-x5y3

3.(-3x3y)-(-x4)-(-/)=.

4.一6。%•(gabc)2=.

5.(-31/)2.4(—a%2)5=

6.I5x"y-2xn-'-yn-'=.

7.2m■(-2mn)•mn)3—.

8.(1.2x103)(2.5x10")(4x1()9)=

三'解答题

1.计算下列各题

Q1

(1)4xy2•(一一x2yz3)(2)(-«3&2)(-2^CZ3/73C)

8

223

(3)3.2zm2(-0.125/n2n3)(4)(-^xyz)-|xy-(-|yz)

(5)5x-(-ax)"(-2.25a^)•(1.2x2y2)

2

(6)-x2y•(—0.5孙＞一(-2x)3.

7

2

(7)(一5孙)T/y-lZd.(――y)

4

(8)5a3b-(-3b)2+(-6ab)2-(-ab)-ab3■(~4a)2

2、已知：x=4,y=-[,求代数式g孙2.]4(.产的值.

二单项式与多项式相乘

(一)新知探究

235

问题1：计算-12X(---+-)

问题2.上题你用了什么运算律？公式是什么？

问题3.如图用两种方法求大长方形的面积

问题4.你能用乘法分配律计算吗？

(—2a2)•(3ab2—5ab3)

(二)归纳总结

通过上面的问题4我们发现：

单项式与多项式相乘：______________________________________________

(三)例题解析

21

计算(1)(-4x2)-(3x4-1);(2)(―ab2-2ab)•—ab)

32

(四)巩固提升

练习一

1.若(-5am+ib2n")(2anbm)=-10a4b%贝ijm-n的值为

2.计算：(a3b)2(a2b尸

3.计算：(3a2b)2+(-2ab)(-4a3b)

524

4.计算：(-—xy)>(—Ay2-2xy-^—y)

7

5.计算：(-3孙)(5/y)+6/孙2-2y2)

6.已知。=2/=3,求+-ab)-ab2(2a2+3ab-2a)的值

7.解不等式：2x(x+1)—(3x—2)x+2工〜〉x〜—1

练习二

一、选择题

1.化简x(2x—1)—x?(2—%)的结果是()

A.-V—xB.d-xC.-f—1D.X，—1

2.化简aS-c)-/?(c-a)+c(a-Z?)的结果是()

A.2ab4-2bc+2acB.2ab-2bc

C.2ahD.-2hc

3.如图14—2是L形钢条截面，它的面积为()

A.ac+bc

B.ac+(b-c)c

C.(a-c)c+(b-c)c

D.a+b+2c+(a-c)+(b-c)

4.下列各式中计算错误的是()

A.2x—(2/+3x—1)—4x"+6x?—2x

B.从y—b+l)=b3-*+b

1a

C.——x(2x9—2)=­x—x

23?

D.—x(—x3-3x+l)=x4—2x2+—x

323

5.一;—6H).(_6M)的结果为()

A.36a2/?2B.5a3尸+36。2b2

C.—3/63+2/62+36/〃口.-a2/73+36a2b2

二、填空题

1.(-3元2)(一尤2+2x-1)=o

3.l(crb1-ab+l)+3ab(l-ah')=。

4.(-3x2)(x2-2x-3)+3x(x3-2x2-5)=。

5.Sm(m2-3m+4)-/n2(/n-3)=。

6.7x(2x-1)-3x(4x-1)-2x(x+3)+1=

7.(-2。%)2(加-+/)=。

8.—(—%)',(—2x*y)'5+2r(彳6,3_])=°

9.当t=l时;代数式/-242『-3f(2f+2)]的值为

10.若2x+y=0,则代数式4d+2孙(x+y)+y3的值为

三、解答题

1.计算下列各题

(1)a-—(a+b)+—(a-b)-—(a-2b)

326

(2)-xyy2-(~2xy2)+(~2x2y)-(--^)•3x2y2z

42

i2i

(3)(3x2+—y-—y2)t(--xy)3

(4)I2ab[2a-3^(a-b)+2-b]

(5)(-a)3•(—)3-4ah2-(7a5b4~^h3-5)

2.己知而2=6,求出?(///-483一力)的值。

3.若x=；,>=1,求％(/+冲+y与一丁a2+型+y2)+为勺子)

的值。

4.某地有一块梯形实验田，它的上底为加m,下底为高是〃m。

(1)写出这块梯形的面积公式；

(2)当加=8m,n=14m,/z=7m时，求它的面积。

5.已知：a+2b=0,求证：/+2Q〃(Q+〃)+4〃3=0。

四、探索题：

1.先化简，再求值

.1

x(x2-6x-9)-x(x~0-8x-15)+2x(3-x),其中％=——。

2.已知|2加一5|+(2加一5〃+20)2=0,

求(~2m2)-2m(5n-2m)+3n(6m-5n)-3〃(4〃?-5n)的值。

3.解方程：x(2x-5)-x(x+2)=x2-6

4.己知：单项式M、N满足2x（M+3x）=6fy2+N,求M、N。

五、应用题

1、某商家为了给新产品作宣传，向全社会征集广告用语及商标图案，结

果下图商标（图中阴影部分）中标，求此商标图案的面积。

I-——2a

图14—3

三、多项式与多项式相乘

（一）、新知探究

问题1：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，

宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米（课件展示街心花

园实景，而后抽象成数学图形，并用不同的色彩表示出原

有部分及其新增部分）.提出问题：请你用两种方法表示扩

大后绿地的面积？

问题2.问题1中的两种不同的表示方法之间有什么关系?

问题3：计算(2x-3)(x+4)若把(2x-3)看成一个单项式则：

(2x-3)(x+4)=(2x-3)•+(2x-3)•

问题4：仿照问题3计算：(a+b)(m+n)

(2)归纳总结

多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式

的乘,

再.

(3)例题解析

计算：(1)(3x+l)(x+2)(2)(x-8y)(x-y)(3)(x+y)(x2-xy+y2)

(4)巩固提升

训练一

1.计算

⑴(x?+l)(x-2)(2)(x+l)(x+4)

(3)(-2m-2)(m+3)(4)(x+y)(x2-xy)

(5)(x+3y+4)(2x-y)(6)5X(X2+2X+1)-(2X+3)(X-5)

2.计算

1、(3m-n)(m-2n)2、(2x-3)(x+4)3、(x+y)2

4、(-x+3y+4)(x-y)5、(m-2)(m+2m-3)

6、(3a-2)(a-l)+(a+l)(a+2)

3、判断，并纠正错误

(1)(x+l)(x+4)=x2+5x+4；()

(2)(m-2)(m+3)=m2+m-6；()

(3)(y+4)(y-5)=y2+9y-20；()

(4)(x-3)(x-6)=x2-9x+18.()

4.解方程3x(x+2)+(x+l)(x-l)=4(x2+8)

训练2

1.(a+b)(m+n)=;(x+2)(x-1)=

(a-3)(a-4)=;(2x+5)(x-3)=;

(x-3y)(x-5y)=；2x-3y)(3x-5y)=

2.计算(2xT)(5x+2)的结果是()

A.10x-2B.10x-5x-2C.10x2+4x-2D.10x2-x-2

3.下列各式中，结果错误的是（）.

zAX

\(/)(x+2)(x-3)=x2-x-6

/ZB\

\J/)(x-4)(x+4)=xz-16

zc\

\(/)(2x+3)(2x-6)=2x2-3x-18

/D\

\(7(2x-l)(2x+2)=4x2+2x-2

4.两式相乘得x2-5x-6的是（）

A.(x-2)(x-3)B.(x-l)(x+6)C.(x-6)(x+1)D.(x+2)(x+3)

5.计算题：

①(x+y)(2a+b)②(a+b)(a~b)③(a-b)(a--);

3

④(3x—2y)(2x—3y);⑤(3x+2)(-x-2);⑥(-2a-3)(3a-2);

⑦(4x-y)(4x+y)⑧(m-n)?⑨(-4x+3)

"先化简，再求值：⑵T)-2x+D,其中A-；

二.提高题：

1.若xy=2,x+y=3,则(x+1)(y+l)=

2.若多项式(x+p)(x-3)的积中不含x的一次项,则p=_________「

3.已知三角形的底边是(6a+2b)cm,高是(2b-6a)cm,则这个三角形的面

积是.

4.计算m2-(m+1)(m-5)的结果正确的是()

A.—4m—5B.4m+5C.m'_4m+5D.mJ+4m—5

5.(1+x)(2x?+ax+l)的结果中x2项的系数为一2,则a的值为

()

A.-2B.1C.-4D.以上都不对

6.设多项式A是一个三项式,B是五项式,则AXB的结果中，多项式的项数

一定是()

A.多于8项B.不多于8项C.多于15项D.不多于15

项

7.计算：

①(x+3)(xT)-x(x-2)+l；②(x?-1)(x+1)—(X2—2)(x—4)；

8.先化简，再求值：(x—y)(x—2y)—J(2x—3y)(x+2y),

其中x=-2,y=|-.

9.已知(2x-a)(5x+2)=10x-6x+b,求a,b的值。

训练3

一、选择题

1.计算(2a—3b)(2a+3b)的正确结果是()

A.4a2+9b2B.4a2—9b2

C.4a2+12ab+9b2D.4a2—12ab+9b2

2.若(x+a)(x+b)=x?—kx+ab,则k的值为()

A.a+bB.—a—bC.a—bD.b—a

3.计算(2x—3y)(4x?+6xy+9y2)的正确结果是()

A.(2x-3y)2B.(2x+3y)2C.8x3-27y3D.8x3+27y3

4.(x?—px+3)(x—q)的乘积中不含x2项，则()

A.p=qB.p=±qC.p——qD.无法确定

5.若OVxVl,那么代数式(l—x)(2+x)的值是()

A.一定为正B.一定为负

C.一定为非负数D.不能确定

6.计算(a2+2)(a4-2a2+4)+(a2-2)(a4+2a2+4)的正确结果

是()

A.2(a2+2)B.2(a2-2)C.2a3D.2a6

7.方程(x+4)(x—5)=x2—20的解是()

A.x=0B.x=—4C.x=5D.x=40

8,若2x2+5x+l=a(x+l)2+b(x+l)+c,那么a,b,c应为()

A.a=2,b=—2,c=-1B.a=2,b=2,c=-1

C.o=2,b=l,c=-2D.a=2,b——1,c—2

9.若6*2—I9x+15=(ax+b)(cx+b),则oc+bd等于()

A.36B.15C.19D.21

10.(x+1)(x—l)与(/+x2+l)的积是()

A.x6+lB.x6+2x3+lC.X6-1D.x6-2x3+l

二'填空题

1.(3x—1)(4x+5)=.

2.(—4x—y)(—5x+2y)=.

3.(x+3)(x+4)—(x—1)(x—2)=.

4.(y—1)(y—2)(y-3)=.

5.(x3+3x2+4x-l)G—2x+3)的展开式中，x4的系数是

6.若(x+a)(x+2)=x2—5x+b,则a=,b

7,若出+。+1=2,则（5—a）（6+a）=.

8.当k=时，多项式x—l与2-kx的乘积不含一次

项.

9.若(x2+ax+8)(x2—3x+b)的乘积中不含x?和x?项，则a=

,b=.

10.如果三角形的底边为(3a+2b),高为(9果-6ab+4b2),则面

积=.

三'解答题

1、计算下列各式

(1)(2x+3y)(3x—2y)

⑵(x+2)(x+3)—(x+6)(x—1)

(3)(3X2+2X+1)(2X2+3X-1)

（4）（3x+2y）（2x+3y）—（x—3y）（3x+4y）

2、求（a+b）2—（a—b）2—4ab的值,其中a=2002,6=2001.

3、2（2x—1）（2x+l）—5x（—x+3y）+4x（—4x2—1y）,

其中x=-1,y=2.

4、解方程组

(x-l)(2y+l)=2(x+l)(y-l)

x(2+y)—6=y(x—4)

四、探究创新乐园

1、若(x2+ax—b)(2x2—3x+l)的积中，x?的系数为5,x?的系数

为一6,求a,b.

2、根据(x+a)(x+b)=K+(a+b)x+ab,直接计算下列题

(1)(X—4)(X—9)(2)(xy—8a)(xy+2a)

五、教学生活实践

一块长am,宽bm的玻璃，长、宽各裁掉cm后恰好能铺盖

一张办公桌台面（玻璃与台面一样大小），问台面面积是多少？

四.乘法公式L平方差公式

一、新知探究

问题1：边长为a的正方形木板缺了一个边长为b的正方形角，经裁剪后

拼成了一个长方形。

（1）你能分别表示出裁剪前后的的纸板的面积吗？

（2）你能得到怎样的一个结论？

问题2：你能用简便方法计算下列彳裁剪前

（1）2001X1999（2）998/MUUZ,

问题3：计算：

(1)(x+1)(x-1)

(2)(m+2)(m-2)

(3)(2x+l)(2x-l)

(4)(x+5y)(x-5y)

问题4：观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么

规律？再举两例验证你的发现.

二、归纳总结

两个数的与这两个数的的积，等于O

公式为：__________________

理解公式应注意

1.公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数

式.

2.用这个公式就要符和公式的结构特征

3.注意公式的逆用

三例题解析

例1运用平方差公式计算

(1)(3x+2)(3x-2)(2)(b+2a)(2a-b)(3)(-x+2y)(-x-2y)

例2：用简便方法计算

(1)2001X1999(2)998X1002

例3计算

(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

(2)(-x+1)2-(-X-1)2

22

例4.判断下列算式是否符合平方差公式

(1)(x+3y)(3y-x)()

(2)(-x+2y)(~x-2y)()

(3)(x+2y)(-x-2y)()

(4)(-x+2y)(2y-x)()

(5)(a+b+c)(a-b+c)()

(6)(a-b+c)(a+b-c)()

(7)[(x-y)3+(x-3y)2][(y-x)3+(3y-x)"]()

例5.A=(2+l)(22+l)(24+l)(28+l).....例。般+1),则A的末位数是

例6.计算(V2+V3)20"x(V2-V3)2012

例7.(1)已知296；可以被在60至70之间的两个整数整除，这两个整

数是多少？

(2)计算：①20042-20032+20022-20012+…+42-32+22。

四、巩固提升

练习1：

一、选择题：

1.计算(1-m)(-m-1),结果正确的是()

A.m2-2m-lB.m2-lC.1-m2D.m2-2m+l

2.计算(2a+5)(2a-5)的值是)

A.4a2-25B.4a2-5C.2a2-25D.2a2-5

3.下列计算正确的是()

A.(x+5)(x-5)=x2-10B.(x+6)(x-5)=x2-30

C.(3x+2)(3x-2)=3x2-4D.(-5xy-2)(-5xy+2)=25x2y2-4

4.计算（a+b）2-（a-b）2的结果是（）

A.2a2+2b2B.2a2-2b2C.4abD.-4ab

二、填空题：

5.(3x-y),()=9x2-y2；(),(x-1)=l-x2

6.方程(x+6)(x-6)-x(x-9)=0的解是.

7.已知(x+2)(x2-A)(x-2)=x4-16,则A=.

三、解答题：

8.计算

①(3a+b)(3a-b)(2)(—a-b)(—a-b)

22

(3)(5x-3)(5x+3)-3x(3x-7)④(a-b)(a2+b2)(a4+b4)(a+b)

9.利用平方差公式计算

c21

①1003X997②14一X15—

33

练习2：

1、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算

(1)(a+b\a-c)(2)(x+y)(-y+x)

(3)(ab-3A:X_3x-ab)(4)(-tn-n\m+n)

2、判断:

(1)(2a+b^2h-a)=4a2-/?2()

(3)(3x-yX-3x+y)=9x2-y2()

(4)(-2%-yX-2x+y)=4Y_y2()

(5)(〃+2)(〃-3)=〃2-6()

(6)(x+3)(y-3)=孙-9()

3、计算下列各式：

(1)(4a-7/?)(4〃+7人)(2)(—2/篦一〃12加—H)

(3)

32

(4)-(5+2x[5-2x)(5)(2+3a~13a〜-2)

(6)—x—2jf—x+2J+(-3+x)(—x—3)

4、填空：

(1)(2工+3)421-3)，)=

(2)(4a—1)()=16/—1

(3)([畀-3)=也2从一9

(4)(2x+[-3y)=4x2-9y2

提高练习：

1、求(x+y)(x->Xi+J)的值，其中x=5,y=2

2、计算:

(1)(a-b+c)(a-b-c)

(2)X4-(2X2+l)(2x22\x+2)(x2+4)

3、若一一y?=12,x+y=6,求x,y的值。

练习3

一、填空题

l.(a+b)(a—b)=___，公式的条件是_____,结论是_____.

2.(x—l)(x+l)=,(2a+b)(2a—b)=,(；x——y)(；x+y)=.

2222

3.(x+4)(—x+4)=z(x+3y)()=9y—x,(—m—n)()=m~n

4.98X102=()()=()2一()2=.

5.—(2x2+3y)(3y—2x2)=.6.(a-b)(a+b)(a2+b2)=.

7.(_4fa)(+4b)=9a2—16b2,(—2x)(_2x)=4x2—25y2

55

8.(xy—z)(z+xy)=_____,(—x—0.7y)(—x^0.7y)=_____.

66

9.(gx+y2)(___)=y4-Y~x2

416

10.观察下列各式：

(X—1)(X+1)=X2—1(X—1)(X2+X+1)=X3—1

(X-1)(X3+X2+X+1)=X4-1根据前面各式的规律可得

(X—l)(x"+xn1+*,>+X+1)=.

二、选择题

1L下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是()

A.(x+y)(-x-y)B.(2x+3y)(2x—3z)

C.(—a—b)(a—b)

12.下列计算正确的是()

A.(2x+3)(2x-3)=2x2-9B.(x+4)(x—4)=x2—4

C.(5+X)(X-6)=X2-30D.(—l+4b)(—1—4b)=l_16b2

13.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是()

A.(—Q—b)(—b+a)B.(xy+z)(xy—z)

C.(—2a—fa)(2a+fa)D.(0.5x—y)(—y—0.5x)

14.(4x2—5y)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算()

A.—4x2—5yB.—4x2+5y

C.(4x2-5y)2D.(4x+5y)2

—0)(1+0)(1+02)的计算结果是()

A.-lB.l

C.2a4-1D.l-2a4

16.下列各式运算结果是x2-25y2的是()

A.(x+5y)(—x+5y)B.(—x—5y)(—x+5y)

C.(x-y)(x+25y)D.(x—5y)(5y—x)

三、解答题

17.1.03X0.9718.(-2x2+5)(-2x2-5)

19.a(a—5)—(a+6)(a—6)20.(2x-3y)(3y+2x)-(4y-3x)(3x+4y)

21.(1x+y)(1x-y)([x2+y2)

22.(x+y)(x—y)—x(x+y)

23.3(2x+l)(2x-l)-2(3x+2)(2-3x)24.9982-4

*25.2003X2001-20022

26、计算

(1)(x+2y)(x-2y)+(x+1)(x-1)(2)x(x-1)-(x--)(x+-)

33

(3)(a4+b4)(a2+b2)(a+b)(a-b)

四.乘法公式

2、完全平方公式（1）

一、新知探究

问题1：用两种方法求下列图1与图2中阴影部分的面积

图1）法1：S阴影三.法2：S阴影三

图⑵

图（D

问题2：按多形式与多项式相乘完成下面计算

(1)(p+1)2=(p+1)(P+1)=;

(2)(m+2)2=；

(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=；

(4)(m-2)2=；

(5)(a+b)2=；

(6)(a-b)2=.

问题3：(□+△)2=______________________________

(口-△)2=---------------------------------------------------------------

二、归纳总结

两数和(或差)的平方，等于它们的

公式为____________________________

三、例题解析

［例1］应用完全平方公式计算：

(1)(4m+n)2(2)(y--)2(3)(-a-b)2(4)(b-a)2

［例2］运用完全平方公式计算：

(1)1022(2)992

例3：运用乘法公式计算

(1)(x+2y-3)(x-2y+3)(2)(a+b+c)2

(3)(x+3)2*2(4)(x+5)2-(x-2)(x-3)

四、巩固提升

练习1

1、判断，如有错误，请改正。

(1)(a-b)2=a2-b?()

(2)(-a-b)2=(a+b)2=a;:+2ab+b()

(3)(a-b)2=(b-a)2=bJ-2ab+aJ()

(4)(x+—)2-x2+—x+—()

224

2、计算

(1)(2x+5y)2(2)(-m--n)2(3)(x-3)2

32

2

(4)(-2t-l)⑸([x+'y)2(6)(-cd+—)2

5102

练习2

1、选择

(1)代数式2xy-x2-y2=()

A、B、C、(y-x)~D、-(x-y)2

⑵甘)一三)2等于()

A、xyB、2xyC、现D、0

2

2、利用完全平方公式计算。

(1)962(2)9982(3)1012+992

3、计算

(l)(a-2b)2(a+2b)2(2)(3xa+l)2-(ab-l)

(3)(a-2b+c)(a+2b+c)(4)(--y)2--(x2-y2)

24

(5)1022X982(6)(99-)2

2

(7)(a-2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c)2；(8)(x+y)2(x-y)2；

2、完全平方公式（2）

一、例题解析

例1已知/+/=12,X+J=4,求处的值

例2已知=3，h一=1求/+/的值

例3.化简求值：(2x-l)(x+2)-(x-2)2-(x+2)2,其中x=—

2

例4.解方程:

(1-3x)2+Qx_1尸=13(X-1)(%+1)

例5已知X(X—l)-(/-y)=-2,求孙的值;

92

例6)如果篦+出?=15,万+出?=6求々2_匕2和+人的值

例7已知长方形的周长为14,面积为12,求长方形的长与宽

例8.若代数式M+4xy是完全平方式试把M写出3个含x、y代数式。

例9.若整式4x2-(2m-4)x+9是完全平方式求m的值。

例10.已知。+匕=6,。2+〃=w,求3a的值。

例11.若&,-64+b'+4b+13=0,求出+按的值。

例12求证：不讫x、y为何值，多项式--g+j2-2x+y+2

的值永远大于或等于0。2

例13.已知。二一2000b=1997c=—1995那么