高中数学课堂讲义：立体几何与空间向量温习课

高中数学课堂讲义：立体几何与空间向量温习课

目录

1.教学内容分析................................................................2

1.1.理论依据与指导思想.....................................................2

1.2.教材内容.................................................................2

1.3.教学内容分析............................................................4

2.教学目标设置...............................................................5

3.空间向量与立体几何的关系...................................................6

3.1.空间向量的基本概念......................................................6

3.1.1.空间向量的概念：....................................................6

3.1.2.空间向量的运算：....................................................7

3.1.3.共线向量：..........................................................7

3.1.4.共面向量：..........................................................7

3.1.5.空间向量基本定理:..................................................8

3.1.6.空间向量的数量积：..................................................8

3.1.7.空间向量的直角坐标系：.............................................8

3.2.立体几何在空间向量中的应用..............................................9

3.2.1.法相量.............................................................9

3.2.2.用向量法解决立体几何平行问题.....................................10

3.2.3.用向量法解决立体几何垂直问题.....................................10

3.2.4.用向量法解决立体几何空间角问题...................................10

4.教学策略分析...............................................................12

5.教学过程设计...............................................................12

5.1.【引入活动】...........................................................12

5.2.【设计意图】...........................................................13

5.3.【师生活动一】.........................................................14

5.4.【预设答案】...........................................................15

5.5.【设计意图】...........................................................15

5.6.【师生活动二】.........................................................15

5.7.【预设答案】...........................................................15

5.8.【设计意图】...........................................................15

5.9.【师生活动三】.........................................................16

5.10.【预设答案】..........................................................16

第1页共18页

5.11.【设计意图】..........................................................16

5.12.【课堂小结】..........................................................16

5.13.【预设答案】..........................................................16

5.14.【课后作业】.........................................................16

6.附录1前测试题立体几何与空间向量小测试................................17

7.附录2访谈问题...........................................................18

1.教学内容分析

1.1.理论依据与指导思想

(1)课程标准要求

新课程标准中提到，教师在教学活动中既要重视教，更要重视学，促进学

生学会学习。教师要加强学习方法指导，帮助学生建立知识之间的联系。教师

要在教学活动中勇于创新，包括指导学生学习方式的创新，也包括对数学结构

的梳理。

(2)信息加工理论

知识可以看作信息，信息可以以多种形式输入，但只有经过编码后才能存

储。存储失败或缺失，对信息的提取以及再次加工，就会形成阻碍。这个信息

加工模式说明，仅仅靠做题，而不注意数学知识体系结构，是无法学好数学的。

1.2.教材内容

本节课是高三立体几何与空间向量的章节温习课，即本章复习的起始课。关

注的学习内容是本章节所有知识内容之间的关系，特别是知识之间的结构。在

新授课教学阶段立体几何初步属于必修内容，空间向量与立体几何属于选择性

必修内容。它们同属于几何与代数主题，在高三复习中有必要对两部分知识内

容重新建立关系，如综合几何方法和向量方法解决一些立体几何中的推理论证,

度量计算问题的知识结构整合。学生通过本节课的学习，对本章知识建立结构

性认识，为后续复习打下基础。

表1立体几何与空间向量知识要素

N9教学内容所属科目

1柱、锥、台、球概念D立体几何初步

2平行六面体、直四棱柱、长方体的关系D立体几何初步

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N。教学内容所属科目

3球、柱、锥的表面积计算公式D立体几何初步

4球、柱、锥的体积的计算公式D立体几何初步

5斜二测画法D立体几何初步

6三视图与直观图的概念D立体几何初步

7利用三视图还原直观图的基本方法D立体几何初步

8空间点、直线、平面的概念D立体几何初步

9空间中点、线、面的位置关系D立体几何初步

10确定一个平面的条件D立体几何初步

11线在面内的判断条件D立体几何初步

12两平面有一个公共点，则有公共直线D立体几何初步

13平行于同一直线的两条直线平行D立体几何初步

14线面平行推直线与交线平行D立体几何初步

15面面平行推第三面的两交线平行D立体几何初步

16一个平面的两条垂线平行D立体几何初步

17垂直于同一平面的两条直线平行D立体几何初步

18直线垂直平面内两条相交直线推线面垂直D立体几何初步

19面面垂直及面内直线垂直交线推线面垂直D立体几何初步

20面外线与面内线平行推线面平行D立体几何初步

21面内交线与面平行推面面平行D立体儿何初步

22面经过面的垂线推两个平面垂直D立体几何初步

23异面直线的夹角及范围D立体几何初步

24异面直线的垂直D立体几何初步

25直线与平面垂直D立体几何初步

26直线在平面上的射影D立体几何初步

27直线与平面所成角及范围D立体几何初步

28二面角D立体几何初步

29二面角的平面角及范围D立体几何初步

30两个平面互相垂直D立体几何初步

31空间直角坐标系（右手系）F空间向量及应用

32空间两点间的距离公式F空间向量及应用

33空间中中点坐标公式F空间向量及应用

34空间向量的概念F空间向量及应用

35空间向量的模F空间向量及应用

36空间两向量的夹角F空间向量及应用

37空间向量的线性运算法则F空间向量及应用

38空间向量的线性运算的坐标表示F空间向量及应用

39空间向量的数量积法则F空间向量及应用

40空间向量的数量积的坐标表示F空间向量及应用

41利用向量求n等分点坐标的方法F空间向量及应用

42直线的方向向量F空间向量及应用

43平面的法向量F空间向量及应用

44求平面法向量的基本步骤F空间向量及应用

45用向量方法证明空间中的平行垂直关系F空间向量及应用

46求空间中的角的向量方法F空间向量及应用

47异面直线成角与其向量成角的关系式F空间向量及应用

48线面角与其向量成角的关系式F空间向量及应用

49二面角与其向量成角的关系式F空间向量及应用

50判断二面角余弦值的正负F空间向量及应用

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N。教学内容所属科目

51向量方法解决立体几何问题的程序F空间向量及应用

知识结构图:

基本立体用形

角度

垂直

图1立体几何与空间向量知识结构图

1.3.教学内容分析

由教育目标分类学，知识类型可以分为四类，事实类、概念类、程序类、

元认知类。

而概念类中包含一类结构性知识，这类知识最为抽象。因此，要获得此类

知识，需要更为高级的认知加工方式。从认知过程分类的角度来说，想要获得

结构性知识，学生需要具有一定的分析能力、评价能力、创造能力。

孰

最

抽

象

畦

图2知识分类结构图

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图3认知过程分类结构图

因此本节课的教学重点是建立优化知识结构图的评价标准。教学难点在于

如何使通过教学活动发展学生的分析、评价、创造能力。让学生真正获得结构

性认识。

2.教学目标设置

根据教学内容，我设置本节课的教学目标如下：

在《普通高中数学课程标准（2020年修订版）》的指导下，基于教育目标分

类学理论，本节课作为本章节复习起始课，教学目标设置为：

1.以立体几何与空间向量为问题情境，通过创造、评价、分析、优化等认知

活动，温习本章基本知识和知识之间的关系；

2.在不断思考、交流、展示的过程中，获得优化知识结构图方法的共识。初

步获得自主建立知识结构体系的能力；

3.通过探索式、合作式的课堂活动，获得积极的情感体验，在小组讨论和

交流的过程中更好地了解他人，认识自己。

以上目标达成的标准：

1.能够简要说明本章节的知识的关系，可以绘制知识结构图；

2.能够说出评价结构图的若干要素和优化结构图的标准；

第5页共18页

3.能通过小组合作，发展合作交流意识。

学生学情分析

图4学生前测试题得分率统计图

授课班级为清华附中将台路校区高三4班，在本章复习前，通过前测题目

答题情况发现大部分同学对本章知识有所遗忘，缺乏对立体几何与空间向量章

节知识内容和结构的完整理解。如前测题2题中，大部分同学在求异面直线成

角时不能想到更方便的综合几何方法；又如前测题3题中，对于相对冷门的知

识点斜二测画法，大部分同学不能得分。因此在复习的起始课，有必要帮助学

生建立对本章节知识的结构性认识。

关于绘制知识结构图的教学活动，通过课前的问卷调查和与学生谈话交流

我得出这样两个结论：

1.学生不缺乏绘制知识结构图的活动经验；

2.学生绘制知识结构图的水平有待提高，对绘制知识结构图意义认识不够明

确。

这说明，绘制知识结构图和能够获得结构性认知是两件不同的事，教师有

必要通过设计教学活动，促进学生获得结构性认知。

3.空间向量与立体几何的关系

3.1.空间向量的基本概念

3.1.1.空间向量的概念：

定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

第6页共18页

模长：向量的大小叫做向量的模，a的模长记作|a|

备注：文中加粗的小写字母均代表向量。

3.1.2.空间向量的运算：

运算法则：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法符合三角形法则

跟平行四边形法则

运算率：

加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）

数乘分配率：入（a+b）=入a+入b

3.1.3,共线向量：

定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或者重合，那么这些

向量也叫共线向量或者平行向量

共线向量定理：空间任意两个向量a,b,且aWO,a//b,存在实数入，使

b=入a

三点共线：此部分的内容与平面向量的三点共线是一致的，A,B,C三点

共线能得到以下两个等式。

AB=XAC

OC=xOA+yOB,（O为空间内任意点），其中x+y=l

3.1.4.共面向量：

定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量

备注：空间内任意的两个向量肯定是共面的，因为向量可以进行平移

共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是

存在实数x,y使p=xa+yb

四点共面：若A,B,C,D四点共面也可以得到以下两个等式

>>>

AB=xAC+yAD

OD=xOA+yOB+zOC,（O为空间内任意点），

其中x+y+z=l

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3.1.5.空间向量基本定理:

定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯

一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc

备注：若三向量a,b,c不共面，我们把｛a,b,c｝叫做空间的一个基底，a,

b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设0,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的

三个有序实数x,y,z,使3=G+y6i+zd8

3.1.6.空间向量的数量积:

向量的数量积：此部分内容也与平面向量相同，a•b=|a|•|b|•cos<a,b>

备注：

①a2二|a|2

②0向量与任何向量的数量积均为。

空间向量数量积运算率：

(入a)b=入(a•b)=a(入b)

a-b=b•a

a,(b+c]=a•b+a•c

3.1.7.空间向量的直角坐标系:

空间直角坐标系：在空间直角坐标系0-xyz中，对空间任一点A,存在唯一

的有序实数组(x,y,z),使0A=xi+yj+zk,有序实数组(x,y,z)叫作向量A

在空间直角坐标系0-xyz中的坐标，记作A(x,y,z),x叫横坐标，y叫纵坐标，

z叫竖坐标。

备注：向量i，j，k作为空间直角坐标系的基底，是三个互相垂直的向量,

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长度为1,这样的基底叫单位正交基底。

建立空间直角坐标系的右手定则：

伸出右手的大拇指、食指和中指，并互为90°,则大拇指代表X坐标，食

指代表丫坐标，中指代表Z坐标；大拇指的指向为X坐标正方向，食指的指向

为丫坐标的正方向，中指的指向为Z坐标的正方向。

空间向量的坐标运算：

a=(xl,yl,zl),b=(x2,y2,z2)

a+b=(xl+x2,yl+y2,zl+z2)

a-b=(xl-x2,yl-y2,zl-z2)

入a=(入xl,Xyl,Xzl)

a•b=xlx2+yly2+zlz2

a/7b：xl=Xx2,yl=人y2,zl=人z2

a±b：xlx2+yly2+zlz2=0

|a|=Jx：+y：+z：

,——.xix2+yiy2+ziz2

a与b的夹角:cos<a,b>=-jj

设A点坐标(xi,yi,zi),B点坐标(X2,y2,z*

AB=(X2-XI,y2-yi,z2-zi)这个要与两个向量相减区分开

|AB|=J(X2-X1)2+&-yi)2+(Z2-Z1)2

AB的中点M的坐标为：白*,红"，卫士也)

222

3.2.立体几何在空间向量中的应用

3.2.1.法相量

定义：如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面a,则称这个向量

垂直于平面a，记作n±a,那么向量n叫做平面a的法向量.

注意：

①法向量一定是非零向量；

②一个平面的法向量不唯一，但所有的法向量都互相平行；

第9页共18页

③向量n是平面的法向量，向量m是与平面平行或在平面内，则有n-m=0

求平面法相量的步骤：

①设一个平面的法向量为n=(x,y,z)

②找出平面内两个不共线的向量,并求出其坐标a=(al,bl,cl)和

b=(a2,b2,c2)

③根据法相量的定义建立方程组

④解方程组，求出其中的一个解，即得到法向量

3.2.2.用向量法解决立体几何平行问题

设直线L,m的方向向量分别是a,b,平面a,B的法向量分别是nl,n2

线线平行：L〃moa〃b=a=k•b

线面平行：L〃aQa_Lnl=a•nl=O

面面平行：a〃B=nl〃n20nl=k•n2

3.2.3.用向量法解决立体几何垂直问题

设直线L,m的方向向量分别是a,b,平面a,B的法向量分别是nl,n2

线线垂直：L_Lm=>a_Lb=a•b=0

线面垂直：L_La=a〃nl=a=k•nl

面面垂直：a_LB=nl_Ln2Qnl•n2=0

3.2.4.用向量法解决立体几何空间角问题

①两条直线的夹角

两条直线夹角范围为：［0,90。］

设直线L,m的方向向量分别为a,b

则两直线夹角为：

clabl

COS0=------------

|a|-|b|

备注：两条异面直线的夹角范围为(0,90。］,注意两条异面直线的夹角不会

是0°

②直线与平面的夹角

直线与平面夹角的范围：［0,90°］

第10页共18页

设直线L的方向向量为a,平面a的法向量为n

直线L与平面a所成的角为：

③二面角

二面角的范围：［0,180。］

设平面a的法向量为nl,平面8的法向量为n2

则平面a-L-P的二面角为法相量的夹角或者法相量夹角的补角。

如果是法相量的夹角：

八n

COS0=------2-

|nt||n2|

如果是法相量的夹角的补角：

cose=-一也生一

|n1||n2|

那么如何判断二面角是法相量的夹角还是法相量夹角的补角呢？

老师告诉大家一种判断的方法，在a内任意找一点A,B内找一点B,得到

AB

如果彘m与彘m所得结果是同号，那么平面的二面角是两个法向量的夹

角

如果彘m与矗m所得结果是异号，那么平面的二面角是两个法向量的夹

角的补角

具体如下图：

第11页共18页

4.教学策略分析

高级认知加工能力的培养需要足够的时间和活动，因此，本节课采取小组

合作学习方式，学生为主体，教师为主导，积极组织认知活动，以达到发展能

力的目标。

学生的主体地位，体现课程资源，主要来自于学生的表现和创造。活动形

式主要以学生的独立思考，相互交流，汇报展示为主。课堂生成资源如基本要

素、评价标准不由教师给出，而由学生活动生成。

教师的主导作用体现在教师提前布置任务，设计学生活动。课堂上教师负

责说明任务，组织学生有序开展活动。对学生的课堂生成资源进行点评、鼓励。

引导学生在制定标准的过程中关注知识点本身和知识间的关系。

学生为主体教师为主导

课程资源，主要柒

自于学生的表现和

创造。

独立思考，相互交说明任务，组织学

活动

流，汇报展示。突生有序开展活动.

出主体地位.形式

基本要素、评价标引导学生关注知识

准不由教师给出，联系.对学生的课

而由学生活动生成.鼓励处行点

J评.鼓励.

图5教学策略示意图

5.教学过程设计

5.1.【引入活动】

第12页共18页

展示两位同学的知识结构图和学生成绩，让学生猜想成绩和知识结构图的

对应。

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图6学生知识结构图对比图

5.2.【设计意图】

说明结构性知识在学习中的重要性；同时明确本节课的学习目标；激发学

生的学习兴趣.

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图7学生知识结构图1号

1号图的优点是逻辑较为清晰。问题是缺少对空间向量及运算的整理，同时

线面成角向量法的计算公式有误。教师可以引导学生关注知识的准确性，强调

知识结构图的内容完整。

第13页共18页

2号

图8学生知识结构图2号

2号图的优点是对平行垂直之间的相互转化整理的比较清楚，知识点的准确

性较高。问题是缺少空间几何体部分的知识整理，内容不完整。分类不够合理。

结构关系需要调整，如平行、垂直可以调到位置关系的下一层级。

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图9学生知识结构图3号

3号图的特点是按照大题和小题分别整理，这样整理有优点，也有缺点。大

题部分的平行垂直证明和小题部分的平行垂直判定内容重复，但又没有说清证

明的方法。

5.3.【师生活动一】

从三位同学创作的知识结构图中，评选最喜欢的知识结构图，并给出三个

理由。

(1)学生独立思考；

(2)学生然后带着自己的想法进行小组讨论，达成共识，教师在巡视和倾听

第14页共18页

的过程中指导、帮助和启发学生;

(3)选一名代表上台分享本组的选择和评选理由。

5.4.【预设答案】

教师结合张知识结构图的特点，对学生的分享进行点评，引导学生关注知

识导图的知识点完整性、准确性、知识结构是否合理，重点关注知识点和知识

点之间的关系。

5.5.【设计意图】

引导学生关注其他同学的知识结构图的优点，发现优秀的知识结构图应该

具备哪些要素，可以从那些维度来评价，学生在这个过程中通过分析具体的知

识结构图，获得直观的经验。

5.6.【师生活动二】

探讨并制定知识结构图的评价标准。

(1)学生通过独立思考，讨论，展示，确定关键词，派代表将关键词展示在

黑板上；

(2)一名同学将关键词分类，并确定优秀知识结构图的评价维度；

(3)请每个小组将其中一个维度，总结为一句话，作为评价标准。

5.7.【预设答案】

关键词：知识点、完整、准确、精炼、分类明确、层级清晰、结构合理、

关联准确

评价标准：

1.知识结构图的内容应该完整、准确、精炼；

2.知识结构方面应该分类明确、层级清晰、结构合理、关联准确。

教师提示学生写关键词时注意参考上一个任务的活动经验。引导学生对关

键词的分类，合并等。引导学生关注知识内容、与结构关系，帮助学生概括出

评价标准。

5.8.【设计意图】

引导学生结合实例，探索优秀知识结构图的要素，构建优秀知识结构图的

评价标准，作为优化结构图的依据。在这个任务中培养学生总结概括的能力。

第15页共18页

5.9.【师生活动三】

利用初步制定的评价标准对知识结构图提出改进意见。

(1)独立思考，用评价标准评价同学的知识结构图，提出调整、改进、优化

的建议；

(2)小组讨论，交流想法，并最终达成共识；

(3)选一名学生到讲台前，分享本组的优化建议。

5.10.【预设答案】