高中数学习题2：高中数学人教A版2019 选择性必修 第一册 空间向量的数量积运算

二空间向量的数量积运算

一、选择题（每小题5分,共20分）

1.已知ebe2为单位向量,且ei±e2,若a=2ei+3e2,b=ke-4e2,a±b,则实数k的值为

（）

A.~6B.6C.3D.-3

2.如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC

的中点，则下列向量的数量积等于a?的是（）

A.2BA•ACB.2AD•BD

C.2FG•CAD.2EF•CB

1

3.已知两异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=b=1,a•b=-,则两直线所成的

2

角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

4.如图，已知PAJL平面ABC,ZABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于（）

B

A.6V2B.6C.12D.144

二、填空题（每小题5分，共10分）

5.如图，已知四棱柱ABCD-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=4,AAI=3,ZBAA,=60°,E

为棱CD的中点,则AB-AE=.

6.如图，已知正三棱柱ABC-A,B,C,的各条棱长都相等,M是侧棱CG的中点，则异面直

线AB.和BM所成的角的大小是.

三、解答题（每小题10分,共20分）

7.已知长方体ABCD-ABCD中,AB=AA产2,AD=4,E为侧面AABB的中心,F为AD的

中点.求下列向量的数量积：（1）BC-ED,;（2）BF-AB,.

8.如图,在三棱柱ABC-ABG中,M,N分别是ABBC上的点,且BM=2A1M,CN=2BN设

AB=a,AC=b,AA,=C.

（1）试用a,b,c表示向量MN；

(2)若NBAC=90°，/BAA尸NCAA尸60°,AB=AC=AAE,求MN的长.

1.(5分)设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)•(旗-A4)=0,则

△ABC是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

2.（5分）（多选题）在正方体ABCD-ABCD中，下列命题中正确的是（）

A.（AA.+AD+AB）2=3AB2

B.A,C•(A,R-A,A)=0

C.A0与A山的夹角为60。

D.正方体的体积为|•AA,•AD

3.(5分)如图,已知平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,ND=60°,PAJ_平面ABCD,且

PA=6,则PC=.

4.(5分)已知a|=3V2,|b|=4,m=a+b,n=a+入b,<a,b>=135°,m_Ln,则入

5.（10分）BBi_L平面ABC,且AABC是NB=90°的等腰直角三角形，口ABBA、°BB,C,C

的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BAi与AC所成的角.

1.已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点,若直线CF上

CN

有一点N,使MN1AE,则孱：=.

2.如图，正四面体V-ABC的高VD的中点为0,VC的中点为M.

（1）求证:AO,BO,C0两两垂直;

(2)求<DM,AO>.

二空间向量的数量积运算

一、选择题（每小题5分，共20分）

1.已知ebe2为单位向量，且e）±e2,若a=2ei+3e2,b=ke-4e2,a_Lb,则实数k的值为

A.-6B.6C.3D.-3

【解析】选B.由题意可得a•b=0,ei•e2=0,

降|=将2|=1,所以(2.+3e2),(ke,-4e2)=0,

所以2k-12=0,所以k=6.

2.如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC

的中点，则下列向量的数量积等于a?的是()

A.2BA•ACB.2AD•BD

C.2FG•CAD.2EF•CB

n..■3n

【解析】选B.2BA•AC=2a"cos120°=-a,2AD•BD=2DA•DB=2acos60

---->—■■■■ts---->----*----*“..----*1■)

=a-,2FG•CA=AC•CA="a",2EF•CB=BD•CB=-BD•BC=一一a\

2

3.已知两异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=l,a•b=~~,则两直线所成的

2

角为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【解析】选B.设向量a,b的夹角为。,则cos。唱卷V，所以0=120°,则两

直线所成的角为180°-120°=60°.

4.如图，已知PA,平面ABC,ZABC=120°,PA=AB=BC=6,贝IPC等于()

B

A.6A/2B.6C.12D.144

【解析】选仁因为无=麻+福+前,所以无2=下*!+荏2+无2+2麻・AB+2PA•BC

+2AB•BC=36+36+36+2X36COS600=144,所以PC=12.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5.如图，已知四棱柱ABCD-AECD的底面ABCD是矩形,AB=4,AAI=3,ZBAA,=60°,E

为棱CD的中点,则AB-AE=.

【解析】AE=AAI+AD+-AB,AB•AE=AB•AA)+AB•AD+-ABJ=4X3X

22

1

cos60°+0+-X42=14.

2

答案：14

6.如图，已知正三棱柱ABC-ABG的各条棱长都相等,M是侧棱CG的中点，则异面直

线AB.和BM所成的角的大小是.

_a_a]_*

【解析】不妨设棱长为2,则AB,=BR,-BA,BM=BC+-BR,,则

万BBJ=0_2+2.OR,所以AB,±BM.

AB,•BM=(BBt-BA)•

答案：90。

三、解答题(每小题10分，共20分)

7.已知长方体ABCD-ABCD中，AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AA,B,B的中心,F为AD的

中点.求下列向量的数量积：⑴BC-ED,;(2)BF-AB,.

【解析】如图所示，设A展a,AD=b,AA产c,

则|a|=|c|=2,|b|=4,a•b=b,c=c,a=0.

⑴BC-EDj=BC,(EAi+A)Dj)=b,o)+/；=b2=42=16.

(2)BF•AB,=(BA,+A,F)•(AB+AA,)

=(C-a+J/?)•(a+c)=c：2-1a12=2'-22=0.

8.如图，在三棱柱ABC-ABC中,M,N分别是A,B,BC上的点,且BM=2A1M,CIN=2B,N.设

AB=a,AC=b,AA|=C.

(1)试用a,b,c表示向量MN；

(2)若NBAC=90°，/BAAI=NCAAI=60°,AB=AC=AA尸1,求MN的长.

__r1_„_]_„111L1

—-

【解析】(1)MN—MA1+A(Bj+B)N=-BAj+ABH■—B)Ci=—(ca)^3,^■一(b-a)=—a~*b*C.

3333333

(2)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a-b+2b-c+2a-c=l+l+l+0+2X1X1X匕2X1X1X匕5,

22

所以Ia+b+c|=V5,所以|MNI|a+b+c=—,即MN=—.

333

1.(5分)设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)•(AB-AC)=0,则

△ABC是()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

【解析】选B.因为DB+DC-2DA=(DB-DA)+(DC-DA)=AB+AC.所以

(DB+DC-2DA)•(AB-AC)=(AB+AC)・(AB-AC)=AB2-AC2=0,

所以|福1=1hI,因此4ABC是等腰三角形.

2.（5分）（多选题）在正方体ABCD-ABCD中，下列命题中正确的是（）

A.（AA.+AD+AB）2=3AB2

B.A,C•（A,B,-A,A）=Q

C.A0与A「B的夹角为60°

D.正方体的体积为|•AA,•AD|

【解析】选AB.如图所示，（AA,+AD+AB）2=（AA,+A,D,+D,C,）2=AC,2=3A》,故A正

确；A£・（人向-A7）=A£•A*=0,B正确；A山与A》的夹角是D七与D7夹角的

补角，而DZ与D｝的夹角为60°，故A山与A；B的夹角为120°,C错误;正方体的

体积为IAB|IAA,IIAb|,D不正确.

3.（5分）如图，已知平行四边形ABCD中，AD=4,CD=3,ND=呼。，PA_L平面ABCD,且

PA=6,则PC=.

【解析】IPC|2=(PA+AD+DC)2=|PA|2+|AD|2+|CD|2+2PA•AD+2AD,DC+2PA•DC

=62+42+32+21AD|IDCjcos120°=49.所以|PC|=7.

答案：7

4.(5分)已知|a|=3y/2,|b|=4,m=a+b,n=a+入b,<a,b>=135°,m_Ln,则入

【解析】由mJ_n，得（a+b）•（a+Xb）=0,

所以a2+3（l+入）a•b+入b-0,

所以18+（入+1）•3或X4cos135°+16入=0,

3

即4入+6=0,所以入=—.

2

答案:一

2

5.（10分）BBi_L平面ABC,KAABC是NB=90°的等腰直角三角形，口ABBA、口BBCC

的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA.与AC所成的角.

【解析】如图所示，由题意知,QABBA、QBBCC均为正方形.

因为BA尸BA+RR,,AC=AB+BC,

所以BA,•AC=(BA+RR,)•(AB+BC)=BA•AB+BA-BC+RR.•AB+BB|•BC.

因为AB1BC,BB.1AB,BB^BC,

所以BA•BC=0,BRi•AB=0,BRi•BC=0

且BA•AB=-a2.所以BR】•AC="a2.

又BA,•AC=|BAj•jAC|cOS<BA,,AC>,

1

所以COS<BAJ,AC>=-----—:

xi2a•\]2a2

2

又因为<BA,,Ad>G[0,Jl],所以<BA,,AC>=-Ji,

3

又因为异面直线所成的角是锐角或直角，

TT

所以异面直线BA,与AC所成的角为一.

3

1.已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点,若直线CF上

CN

有一点N,使MN1AE,则一,

CF--------------

CN-►—.—>.

【解析】设万初，则CN=mCF^mAb,因为M为BC的中点,

所以MN=MC+CN=iBC+mAD,

2

又因为AE=AB+BE,AE•MN=O,

所以

’‘♦.’.'.、('—|-YnAD|1'—・‘’・’’‘・.・’•‘’•.1

AE,MN=(AB+BE)八2/=-AB•BC+mBE•AD=AB•BM+mBE•AD=—+4m=0,

24

所以解得

16

答案」1

16

2.如图，正四面体V-ABC的高VD的中点为0,VC的中点为M.

(1)求证：AO,BO,C0两两垂直；

⑵求<DM,AO>.

【解析】⑴设求=a,VB=b,正=c，正四面体的棱长为1,则

_1_