中考数学二轮复习练习（下）几何问题-翻折问题新人教版

7.翻折问题

1.在ABC中，AB=AC,ZBAC<60°,。为BC延长线上一点，E为ZACD

内部一点，且石+N£CZ)=90°.

(1)若ZABE=60°,如图1,直接写出AC、3石间的数量关系：；

(2)若NABE=45°,如图2,求证：BE=42AC

(3)在(2)的条件下，如图3,将线段A4沿BE翻折，翻折后的点A落在点"处，且

MC1.BC,连接交3c的延长线于N,若CN=2,求AN的长.

解析：(1)A.C=BE

提示：作。于/,BG_LCE交EC延长线于G

图1

'：AB=AC,

：.BF=FC=LBC

2

vZABE+ZECD=90°,ZAB石=60。

ZECD=30°,

ZBCG=30°

••.NC8G=60。，BG=-BC

2

；.ZABF=NEBG,BF=BG

RtfABF^RtEBG,

AB^BE

AC=BE

(2)作AbJ.BC于F,3G_LCE交EC延长线于G

G

图2

•••AB=AC,

BF=FC=-BC

2

■：ZABE+ZECD=90°,/ABE=45。

ZECD=45°,

ZfiCG=45°

:.NCBG=45°,BG=—BC=41BF

2

:.ZABF=/EBG,

RtfABF^RtEBG

:.匣=里=卮

ABBD

BE=42AB

：.BE=4IAC

(3)作AP_L3C于F\MHLBE于H

则ZABF+NBA/=90°,BF=FC=-BC

2

由题意，/MBE=NABE=45°,AB=BM

ZABM=90°,

AABF-\~ZMBC=90°

/BAF=/MBC

•••MC±BC,

ZBCM=ZAFB=90°

fABF^BMC,

AF=BC=2BF,BF=MC

BC=2MC

由(2)知，BE—yf2AB,

BE=42BM

•••NMBH=45。,

Bi

ZBMH=45°,BH=MH=—BM=-BE

22

BH=EH=MH,

ZMEH^ZEMH=45°

ZBME=90。,

R#BMCsRtMNC

MC=2CN=4,

FC=4,FN=6,Ab=8

AN=\IFN2+AF2=A/62+82=10

2.如图，在RrABC中，NC=90°,翻折NC,使点。落在斜边AB上某一点。处,

折痕为砂(点£、厂分别在边AC、BC±)

⑴若CEF与ABC相似.

①当AC=3C=2时，求AQ的长；

②当AC=3,3C=4时，求AD的长；

(2)当点。是A6的中点时，CEF与A3。相似吗？请说明理由.

C

E,

R

解析：(1)若CEF与ABC相似.

①当AC=BC=2时，A3c为等腰直角三角形，如答图1所示.

j2

此时D为AB边中点，AD=—AC=5/2.

2

②当AC=3,3C=4时，有两种情况：

(I)若C石：C/=3：4,如答图2所示.

•••CE：CF=AC：BC,

C.EF//BC.

由折叠性质可知，CDA.EF,

CDLAB,即此时CD为AB边上的高.

在RtABC中，AC=3,BC=4,

AB=5,

AC3

，cosA-

~AB5

AD=AC*cosA=3x-=1.8；

5

(ii)若C「：CE=3:4,如答图3所示.

:CEFsCAB,

NCEF=/B.

由折叠性质可知，Z.CEF+ZECD=90°,

又•.•NA+N3=90。，

:.ZA=/ECD,

AD=CD.

同理可得：/B=/FCD,CD=BD,

此时AD--AB=Lx5=2.5.

22

综上所述，当AC=3,BC=4时，AD的长为1.8或2.5.

(2)当点。是AB的中点时，CEF与A3C相似.理由如下:

如答图3所示，连接CD,与EF交于点、Q.

•••CO是RfABC的中线，

CD=DB—AB,

:.ZDCB=ZB.

由折叠性质可知，ZCQF=Z.DQF-90°,

:.ZDCB+ZCFE=90°,

•••N3+ZA=90°,

NCFE=ZA,

又zc=zc,

CEFsCBA.

AB

3.在矩形ABC。中，——二a,点G,“分别在边AB,DCk,且HA=HG.点

AD

E为AB边上的一个动点，连接HE,把沿直线"E翻折得到FHE.

(1)如图1,当。H=D4时，

①填空：ZHGAF=度；

②%EF//HG,求NAttE的度数，并求此时a的最小值；

(2)如图3,NA£”=60°,EG=23G,连接FG,交边0c于点尸，且Q用

G为垂足，求a的值.

图2（备用）

解析：（1）①45。

②分两种情况:

第一种情况（如图1）

ZHAG=/HGA=45。,

ZAHG=\80o-45°-45o=90°

由折叠可知：NHAE=NF=45。,ZAHE=ZFHE

又•：EF〃HG,

/FHg/F=45。

ZAHF=ZAHG-Z/7/G=90o-45°=45°

即ZAHE+/FHE=45。,

NA"石=22.5。

此时，当8与G重合时，a的值最小，最小值是2

第二种情况（如图2）

vEF//HG,

ZHGA=ZFEA=45°

即ZAEH-\-ZFEH=45°

由折叠可知：ZAEH=ZFEH,

ZAEH=NFEH=225。

•・•EF//HG,

ZGHE=ZFEH=22.5°

ZAHE=900+22.5°=l12.5°

此时，当8与E重合时，a的值最小

设DH=DA=x,则

在RtA//G中，ZAHG-=90°,

AG=y[2AH=2x

■：ZAEH=ZFEH,/GHE=NFEH,

ZAEH=NGHE

GH=GE=42x,

AB=AE=2jcJi-42x

a=2=2x+瓜=2+6

ADx

(2)过点H作"Q交AB于Q,

则ZAQH=ZGQH=90°

在矩形ABC。中，ZD=ZDAQ=90°

ZD=ZDAQ=AAQH=9Q°

...四边形ZX4Q”为矩形,

AD=HQ

设A£)=%,GB=y,则”Q=x,EG=2y

由折叠可知：ZAEH—ZFEH=60°

ZFEG=180o-60°-60o=60°

在RtEFG中,EG=EF-cos60°,EF=4y

HO

在RtHQE中，EQ—

tan6003

QG=QE+EG=^x+2y

vHA=HG,HQA.AB,

AQ=GQ=^-x+2y

由折叠可知：AE=EF

.・.竽%+2工分,

c、7

%+2y+y=~

7

AD3

4.如图，ABC为等边三角形，D为ABC内一点，且NAZ)B=120°,ADB沿

80翻折，点A落在点E处，连接CE.

(1)求证：BD~\-CE=AD；

(2)连接CQ,若AD=8,CD=7,求CE的长.

D

BC

E

解析：（1）将A3。绕点A逆时针旋转60°得ACF,连接。尸、CF、EF

则AD户'是等边三角形，

AD=DF,ZADF=ZAFD=60°

vZADg20°，:.Z.ADB+/ADF=180°

；.B、D、歹三点在同一直线上

­：ZAFC^ZADB=120°,AZ£)FC=60°

由题意，NEDF=ZADF=60。,DE=AD

DE=DF,

。斯是等边三角形

EF=DE=AD,NO匹£=60°

:.E、C、尸三点在同一直线上

BD+CE=CF+CE=EF=AD

(2)过C作CGJLDE于G

•••DEF是等边三角形，：.NDEF=60°

ihI

设CE=x,则GE=—x,CG=—x,DG=S—x

222

(iY(ny

在RtCDG中，8—x+—%=7一

I2)[2)

解得F=3,%2=5

..•C£的长为3或5

5.已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠，使顶点B落在CO边上的

P点处.

(1)如图1,已知折痕与边3c交于点O,连结AP、OP、OA.

①求证：OCPsPDA；

②若0C0与PD4的面积比为1:4,求边A6的长；

(2)若图1中的点P恰好是C£＞边的中点，求NOA3的度数；

(3)如图2,在(1)的条件下，擦去折痕AO、线段。尸，连结5P.动点Af在线段AP

上(点M与点夕、A不重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM,连结MN

交PB于点F,作产于点E.试问当点"、N在移动过程中，线段用的长

度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段族的长度.

DCDC

图1图2

解析：

(1)①：四边形45CD是矩形，，NC=ND=90°

，AAPD+ZDAP=90°

•••AO0是由A5O沿AO折叠，

ZAPO=ZB=90°

，ZAPD+ZCPO=90°

•：ZDAP=ZCPO,

:：'OCRsPDA

②OCPsPDA,OCP与PD4的面积比为1:4

/△。“/町j,

S^PDAIA。J4

CP1

"AF"2

AD=8,

CP=4r

设AB=%,则。P=L4

在火，PDA中，AP2=AD2+DP2

x.82+(L4)2，,尸10

即边AB的长为10

(2)•..折叠后AOB与AOP重合,

AP=AB,ZOAB=ZOAP

\AB=CD,

AP=CD

•••P是CO的中点，

DP=-AP

2

vZD=90°,

ZPAD=30°

又/OAB=/OAP,

NQ4B=30。

(3)线段石尸的长度不变

作MH〃BN交PB于点、H

•••AP=AB,

ZAPB=ZABP

ZMHP^ZABP,ZMHF=ZNBF

ZMHP=ZAPB,

MP=MH

•••MP=BN,

BN=MH

；NNFB=NMFH,

.•.「NBF9MHF

FH=FB

•••EF=EH+FH，

EF=EP+FB=-PB

2

由（i）得：AB=10,AD=8,

/.DP=6

PC=4,

PB=4V5,

EF=2y/5

6.如图1,在平行四边形A3CD中，点E是3c边的中点，连接AE并延长，交。。的

延长线于点E,且NAEC=2NA3石.连接AC.

(1)求证：四边形是矩形；

(2)在图1中，若点”是5方上一点，沿AM折叠ABM,使点8恰好落在线段。F

上的点3'处(如图2),图=B方，求的长.

图1

解析：（1）•••四边形A3CD是平行四边形,

，AB//DF

ZABE=ZFCE,ZBAE=ZCFE

•/E是BC的中点，；.BE=CE

...AEB咨FEC,:.AB=FC

四边形ABFC是平行四边形

AF=2AE,BC=2BE

•・•ZAEC=2AABE,ZAEC=/ABE+/BAE

:.ZABE=ZBAE,

AE=BE,

AF=BC

：.四边形ABFC是矩形

(2)

•..四边形ABR?是矩形，AB=13,AC=12

ACF=AB=13,BF^AC=12,ZACF=NMFB'=90°

•：AB'M是由ABM折叠得到的

AB'=AB=13,B'M=BM

在RtAB'C中，B'C=y/AB'2-AC2=V132-122=5

B'CF~B'C=13-5=8

设加/二工,则3'M=3A/=12—%

在RtB'MF中,B'F2+MF2=B'M2

即8?+%2=（12—x）2,解得％=此

3

7.在直角梯形A3CZ)中，AD//BC,Z5=90°,ZC=60°,4)=8,点后在射

线上，将ABE沿AE翻折，点8落到点尸处，射线石尸与射线CO交于点

(1)如图1,当点M在CD边上时，求证：FM—DM=——AB.

3

(2)如图2,当点E在3c边的延长线上时，线段EM、DM、A3的数量关系是:

(3)在(2)的条件下，过A点作AGJLCM,垂足为点G,设直线3G与直线AM交

于点N,若AD=6,F70=l,求GN的长.

M

图2图2

解析：（1）过A作AG，C。，交CD的延长线于G,连接40、AC

AD//BC,

ZACB=ZDAC

•・•AD=CD,

ZACD^ZDAC

ZACB=ZACD,

AB=AG

vAB=AF,

AF^AG

又AM=AM,NAFM=NG=90。

IAMF^AMG,

...FM=GM

FM~DM=DG

vZADg/BCD=6U°,

DG=@AG=@AB

33

n

FM~DM=—AB

3

(2)DM-FM^—AB

3

提示：过A作AG_LCM于G,连接AM、AC

BCE

同(1)可证：AB=AG=AF,FM=GM

vDM~GM=DG,DG=-—AG^—AB

33

:.DM-FM^—AB

3

(3)连接AC,作于”，DKLBC于K

N

vAD=6,FM=l,ZBCD=60°

CD=6,KC=3,AB=DK=38,3c=9

'：DM-FM^—AB,

3

Ax3^+l=4

3

/.CM=iO,HC=5,MH=S6BH=4

设BE=x,则ME=x-l,HE=x-4

'：MH2-\~HE2=ME2,

2

(5后+(L4『=(x-1)

解得x=15,

:.BE=15,CE=6

vZBCGt=60°,

ZECG=120°

ZACB=ZACD^30°,ZBAG=120°

vIAMF^AMG,

...ZMAF^ZMAG

ZMAE^ZGAC-ZEAC+ZMAG=-ZBAF-ZEAC

2

=ZBAE-ZEAC=ZBAC=60°

又NG4C=60。，

/GAN=/CAE

•••AB=AG,ZBAG=120°,

ZABG=30°

/AGN=150o=/ACE,

:.lAGNsACE

■：AG=-AC,

2

:.GN==CE=3

2

8.如图1,等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABC。的顶点A重合，将此三角板绕

点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边8C、DC于点E、/，连结

EF.

(1)猜想跳:、EF、OE三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；

(2)在图1中，过点A作AA/_L£/于点请直掾写出AM和AB的数量关系；

(3)如图2,将口肛沿斜边AC翻折得到R,ADC,E./分别是BC、CD边

上的点，ZEAF=-ZBAD,连接过点A作/M，E厂于点M.试猜想AM

2

与A8之间的数量关系，并证明你的猜想.

答案：见解析

解析：(1)猜想：BE+DF=EF

证明：延长C8到G，使BG=DF,连接AG

；四边形ABC。是正方形

AB^AD,ZABC^ZD=90°

ZABG=90°,

ZABG=/D

FABG%ADF

AG^AF,ZGAB^ZFAD

•••Z£AF=45°,AFAD+ABAE=ABAD-ZE4F=90°—45°=45°

•••NG4£=NG4B+NBA石=45。

/GAE=/EAF

又•••4G=Af；AE=AE,

AEG^AEF

EG^EF

即BE+DF=EF

(2)AM=AB

(3)猜想：AM—AB

证明：延长CB到G,使BG=DF,连接AG

vRtABC沿斜边AC翻折得到RrADC

AB=AD,ZABC^ZD=90°

ZABG=90°,

ZABG=ND

ABGgADF

/.AG^AF,ZGAB=ZFAD

ZEAF^-ZBAD,

2

ZE4D+NBAE=-ZBAD

2

NGAE=ZGAB+NBAE=ZFAD+ZBAE^-ABAD

2

NGAE=NEAF

又•••AG=A尸，AE=AE,

••JAEG乌AEF

EG^EF,

5^5=5AL

:.-EGAB=-EFAM

22

，AM=AB

9.(i)如图i,将矩形纸片A3CD沿对角线8。折叠，使点C落在点E处，BE交AD

于点F.

求证：BF=DF；

(2)若矩形纸片A3c。中，AB=4,BC=10,将矩形A3GD沿过6点的直线折叠，

使点C,D落在点、E,G处，折痕交线段AP(不含端点)于点”，线段交直线AD

于点尸.图2是该矩形折叠后的一种情况.请探究并解决以下问题：

①当BEH为直角三角形时,求士归的长；

②当V10时，求tanNBEH的取值范围.

图1图2

E

解析：(1)

由题意，Z1=Z2

•；AD//BC,

Z1=Z3

N2=N3,

/.BF=DF

(2)①

...“不与端点A,。重合

ZBEH<90°,/EBH<90。

...当BEH为直角三角形时，只能/跳汨=90°

连接

vBC^BE,NCBH=NEBH,BH=BH

BCHWBEH

NBHC=NBHE》O。

DHCsABH,

DH_AB

~DC~~AH

即生=一1一，解得"7=2或QH=8

410-DH

...当BEH为直角三角形时,DH的长为2或8

②

'：BE//HG,

ZBEH=/EHG

EG4

tan/BEH=tanZEHG=——=——

GHGH

•：1<DH<10,

.,.0.4<tanZBEH<4

IO.己知矩形A3QD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠，使得顶点6落在CO边上

的尸点处.

(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OP、OA.

①图中NCOP=N_

②若OC尸与尸D4的面积比为1：4,求边AB的长为.；

(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点，求NOAB的度数为度；

(3)如图2,在(1)的条件下，擦去折痕AO、线段0P,连结5P.动点〃在线段AP

上(点M与点p、A不重合)，动点N在线段A5的延长线上，且BN=PM,连结MN

交PB于点、F,作ME1.BP于点E.试问当点M、N在移动过程中，线段稗的长

度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段族的长度.

解析：(1)如图1,

①...四边形ABCD是矩形，

:.AD=BC,DC=AB,ZDAB=ZB=ZC=ZD=90°.

由折叠可得：AP=AB,PO=BO,ZPAO=ZBAO.ZAPO=ZB.

・•.ZAPO=90°.

/.ZAPD=900-ZCPO=ZPOC.

NQ=NC,ZAPD^ZPOC.

.-.IOCPsPDA.

②OCP与PZM的面积比为1:4,

.ocOP_CP_fT_i_

,PF-PA-ZA-V4-2

:.PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.

AD=8,，CP=4,BC=8.

设OP-x,则OB-x,CO-S-x.

在RtPCO中，

ZC=90°,CP=4,OP=x,CO=8-x,

/.x2=(8>+42.

解得：x=5.

二AB=AP=2O0=10.

...边AB的长为10.

(2)如图1,

P是CO边的中点，

:.DP=-DC.

2

DC=AB,AB=AP,

DP^-AP.

2

NO=90。，

./onDP1

sinZ.DAP==—.

AP2

:.ZDAP=30°.

ZDAB=90°,/PAO=/BAO,NDA尸=30。,

/.ZQ4B=30°.

...NQ43的度数为30°.

(3)作用。〃AN,交PB于点、Q,如图2.

AP=AB,MQ//AN,

;NAPB=NABP,NABP=NMQP.

.NAPB=NMQP.

.MP=MQ.

MP=MQ,ME1PQ,

.PE=EQ=；PQ.

BN=PM,MP=MQ,

.BN=QM.

MQ//AN,

/.ZQMF=/BNF.

在和NFB中,

ZQMF=ZBNF

<ZQFM=/BFN.

QM=BN

MFQ会NFB.

QF=BF.

：.QF=；QB.

EF=EQ+QF=^PQ+^QB=.

由（1）中的结论可得：

PC=4,BC=S,ZC=90°.

.-.PB=782+42=4^5.

EF=-PB=245.

2

.•.在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段斯的长度不变，长度为2石.

11.问题解决

如图(1),将正方形纸片A3C。折叠，使点B落在CD边上一点E(不与点C,D

重合)，压平后得到折痕MN.

CE1AM

当=一时，求的值为

~CD2~BN

\D

B

图⑴

类比归纳

CE1AM

在图（1）中，若——=一则——的值等于；（注：若答案不是整数，请化为

CD3BN

CE1AMCE1AM

小数）；若——=一则——的值等于；若——=-（〃为整数），则——的值等

CD4BNCDnBN

于—.（用含九的式子表示）

联系拓广

如图（2）,将矩形纸片A3CD折叠，使点8落在C£）边上一点E（不与点C、。重合）,

AB1CE1AM

压平后得到折痕MN设——=—（zm>l1X）,——=一，则——的值等于.（用含

BCmCDnBN

机,八的式子表示）

解析：方法一：如图(1-1),连接3M、EM、BE

由题设，得四边形A8NM和四边形EENM关于直线对称.

MN垂直平分BE.BM=EM,BN=EN

•.•四边形ABC。是正方形，

/A=/。=/C=90。,AB=BC=CD=DA=2

CE1

v——=—,;.CE=DE=T

CD2

设BN=x，则NE-x,NC-2-x

在RfCNE中,NE2=CN2+CE2.

%2=(2—%解得％=2,即BN=?

44

在RtABM和在RtDEM中,

AM2+AB2=BM2,

DM2+DE2=EM2,

AM2+AB2=DM2+DE2

设AM—y则DM=2—y

y2+22=(2-y)2+l2

1…1

解得y=―即AM

44

AM_1

方法二：同方法一，BN=-

4

如图(1—2),过点、N做.NG//CD交.AD子效G,连接BE

图（1-2）

AD//BC

/.四边形GDCN是平行四边形.

..NG=CD=BC

同理，四边形A3NG也是平行四边形.AG=BN=*

4

•/MN±BE,:.ZEBC+ZBNM=90°

NG±BC,/MNG+ZBNM=90°,二.ZEBC=NMNG

在BCE与NGM中

"EBC=4MNG

<BC=NG

ZC=NNGM=90°

BCE出NGM,EC=MG.

AM=AG-MG,AM=--1=-.

44

AM1

•••一——.

BN5

类比归纳

联系拓广

n2m2-2n+l

n2m2+1

12.ABC中，A5=AC>/区4。<60°,。为BC延长线上一点，E为NACD内

部一点，且NA8E+N石CZ)=90°.

(1)若ZABE=60°，如图1,直接写出AC.间的数量关系：AC=BE；

(2)若NAB石=45°,如图2,求证：BE=4^AC；

(3)在(2)的条件下，如图3,将线段BA沿3E翻折，翻折后的点A落在点M处，且

MC1BC,连接七M,交的延长线于N,若CN=2,求AN的长为.

CDCD

解析：

(1)AC=BE

提示：作4尸_1_3。于3G_LCE1交£C延长线于G

B\F八D

h

G

图1

AB=AC,BF=FC=1BC

ZAB石+N石8=90。，乙钻石二60。

ZECD=30°,/.NBCG=30。

ZCBG=60°,BG^-BC

:.ZABF=/EBG,BF=BG

Rt|ABF^RtEBG,:.AB=BE

:.AC=BE

(2)作AF_LBC于/，BGJ_C石交EC延长线于G

ZA6石+N£CD=90°,ZAB£=45°

ZECD=45°,...ZBCG=45°

AABF=/EBG,:.Rt|A5F^RtEBG

器嘿s.•印,

/.BE=y/2AC

(3)作A尸，3c于尸，MHLBE于H

A

E

H

图3

则AABF+/BA/=90°,BF=FC=-BC

2

由题意，NMBE=NABE=45。,AB=BM

ZABM=90°,ZABF+ZMBC=90°

/BAF=/MBC

MC_LBC,/BCM=ZAFB=90。

ABF"BMC,AF=BC=2BF,BF=MC

BC=2MC

由⑵知，BE=4IAB,

BE=42BM

ZMBH=45°,NBMH=45。,BH=MH=—BM=-BE

22

BH=EH=MH,/MEH=/EMH=45。

ZBME=90°,RtjBMC^RtMNC

•NC—MC_1

NC=2,:.MC=4,BC=8

:.FN=6,A尸=8

/.AN=y]FN2+AF2=V62+82=10

13.如图1,四边形ABC。是一张正方形纸片，先将正方形A3CD对折，使与AD

重合，折痕为所，把这个正方形展平，然后沿直线CG折叠，使B点落在斯上，对应

点为8'.

(1)求NCB'/的度数为度；

(2)如图2,在图1的基础上，连接AB',试判断/8'A石与NGC3'的大小关系，并

说明理由；

(3)如图3,按以下步骤进行操作：

第一步：先将正方形A5C。对折，使3。与AQ重合，折痕为Eb,把这个正方形展平，

然后继续对折，使A6与OC重合，折痕为MN,再把这个正方形展平，设和脑V

相交于点O；

第二步：沿直线CG折叠，使8点落在斯上，对应点为B'；再沿直线AH折叠，使。

点落在石尸上，对应点为

第三步：设CGA”分别与MN相交于点P,Q,连接夕尸，PD,D'Q,QB'.

试判断四边形B'PD'Q的形状为，并证明你的结论.

解析：(1)如图1,由对折可知,

/EFC=90°,CF=-CD

2

四边形ABCD为正方形，；.CD=CB,:.CF=-CB

2

又由折叠可知，CB'=CB,CF=—CB'

2

CF1

在RtB'FC中,sinZOTF=—=-

CB、2

NCBE=30。

解法二：如图1,连接D,.

(2)N3'A£：=NGC3'理由如下：

如图2,连接3'。

由对折知，EF垂直平分CD,B'C=B'D

由折叠知，B'C=BC

•.•四边形ABC。为正方形，」.BCMCD

B，C=CD=B，D,;.B'CD为等边三角形

/.NCZ）H=60。

...四边形ABC。为正方形

ZCDA^ZDAB=90°,NB'0A=3O0

DB』DA,ZDAB'=ZDB'A

/。5/=3（180°—/夕。4）=75°

ZB1AE^ZDAB-ZDAB'=900-J5o=i5°

由（1）知NCB'/7：?。。

EF/IBC,:.ZB'CB=ZCB'F=30°

由折叠知，ZGCB,=-Z5,CB=-x30°=15°

22

/.ZB'AE^ZGCB'

（3）四边形8'P。'。为正方形

如图3,连接A3'

图3

由（2）知，/B'AE=/GCB'

由折叠知，/GCB'=/PCN,:./B'AE=/PCN

由对折知，NAEB'=/CNP^9。。,AE=LAB,CN=>BC

22

又•.•四边形A3CD是正方形，...A5=3C

:.AE=CN,”AEB&CNP

EB=NP

同理可得，FD'=MQ

由对称性可知，EB'=FD'

EB'=NP=FD'=MQ

由两次对折可知，OE—ON—OF—OM

08'=0尸=0。'=OQ,.•.四边形8'尸。'。为矩形

由对折知，MNLEF于点O,PQ±'于点O

四边形8'尸。'。为正方形

14.如图，在RtA3C中，NC=90P,AG=4BG=51是3c边上一点,

CZ)=3,P是AC边上一动点(不与A、C重合)，过点P作P石〃交A。于点E.

(1)设AP=x,DE=y,求y关于x的函数关系式；

(2)以PE为半径的石与以OB为半径的。能否相切？若能，求tan/OPE的值;

若不能，请说明理由；

(3)将ABO沿直线AD翻折，得到AB'。，连接石C、B'C,当NAE=KB'

时，求AP的长.

解析：（1）在RtACD中，A0=4,CD=3,:.AD=5

5-y

PE〃BY瑟,哈5

y—%+5(0«4)

35

(2)对于E,r=EP——x-,对于D,r=DB=2-,圆心距EQ=--％+5

44

当两圆外切时，rE+rD=ED,

PE/IBC,:./DPE=/PDC

PC5

tanZ£)PE=tanZP£>C=——=—

CD6

35

当两圆内切时，&一心|=七。，2|=一工叶5

71

解得尸一或x=6(舍去)，：.PC=一

22

PC1

tanZDP£=tanZPr)C=——=-

CD6

(3)延长AD交于尸，则AF垂直平分BB'

AC4

在RtBDF中,BD=2,sinZBDF=smZADC^——=-

AD5

/.BF=-,BB'=—

55

ZADC=ZBDF,/CAD=/DBF

当NACE=N3CB'时，CAE^CBB'

ACBC4_564

即

5-y325

5

64256

—%+5=5解得尸

425725

15.如图①，把矩形纸片ABC。沿环、G”同时折叠，B、C两点恰好落在AD边的

P点处，已知NF尸〃=90。，尸尸=8,PH=6.

(1)求图①中矩形ABC。的边3c的长为；

(2)求图①中四边形石FHG的面积为_____：

(3)如图②，点〃是直线石尸上的动点，点N是直线G”上的动点，连接

A'M.MN、ND,求A'〃+MN+N。'的最小值为.

答案:24；57.6；24

解析：（1）由题意，BF=PFW,CH=PH=6

ZFPH=90°，:.FH=y/PF2+PH2=782+62=10

BC=BF+FH+HC=8+10+6=24

(2)连接3石、CG

D'

D

H

ADBC,:.NPEF=NBFE

ZPFE^ZBFE,/PEF=NPFE

PE=PFW

同理，PG=P7/=6

£G=P£+PG=8+6=14

PFPH8x624

作尸QJ.3C于。，则尸Q=

FH10y

izi24288

S四边形EFHG（石G+尸H}PQ=7（14+10）X—

=7了

（3）连接AM、DN

由题意，A'M+MN+ND'=AM-\~MN+ND<AD

当点M、N都落在线段AO上时，A'M+MN+N。'取得最小值

即等于线段AQ的长

A'M+MN+ND'的最小值为24

16.如图1,在梯形A3C7中，AB//CDA490，Aa2CB,

J3C=n。为线段3c上的一动点，且和3、C不重合，连接尸A,过尸作PE_LB4

交CD所在直线于E.设BP=x,CE=y.

(1)求y与％的函数关系式

(2)若点尸在线段3c上运动时，点E总在缱段CQ上，求相的取值范围

(3)如图2,若%=4,将PEC沿PE翻折至PEG位置,NHAG=90°,求3尸

长为.

解析：（1）ABCD,ZB=90°,AZ5=ZC=90°

ZAPB+ZBAP=90°

PE±PA,NAPE=90°

AAPB+ACPE=90°,/./BA—/CPE

在ABP和PCE中,ZB=ZC=90°,ZBAP=ZCPE

ABBP

ABPsPCE,

~PC~^E

BC^m,BP^x,PC=m-x

2x1m

------=—,y——x2H—x

m-xy22

.二y与x的函数关系式为y——5厂+根)