高中数学必修2高考题单元试卷：第1章 立体几何初步(03)(含解析)

高中数学必修2高考题单元试卷：第1章立体几何初步（03）

一、单选题（本大题共11小题，共55.0分）

1.半径为5的球内有一个高为8的内接正四棱锥，则这个球与该内接正四棱锥的体积之比为（）

A125口1257rC.乎c1257r

A・嬴■6447r,4

2.将一张边长为12c7〃的纸片按如图1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚

线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型,

如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3）,则正四棱锥的体积是（）

A.yV2cm3B,左遍cnr3C,^V6cm3D,

3.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入圆柱形桶中，”是圆锥形漏斗中液面下

降的距离，则”与下降时间t（分钟）的函数关系用图象表示只可能是（）

4.7.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）

A.6

B.9

C.12

D.18

5.某多面体是一个四棱锥被一平面截去一部分后得到，它的三视图如图所示，此多面体的体积是

（）

A.2B.3C.4D.5

6.如图所示，网格纸上小正方形的边长为|,粗实线及粗虚线画出的是某几何体的三视图，则两个

这样的几何体拼接而成的几何体表面积最小值为（）

A.5+2应B.6+2V2C.5D.6

7.设。为坐标原点，直线x=a与双曲线1他>0/>0）的两条渐近线分别交于。、E两

点，若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

8.用长为4,宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（）.

A.8B.-C.-D.

9.一个圆柱内接于一个底面半径为2,高为3的圆锥，如下图是圆锥的轴截面

图，则内接圆柱侧面积最大值是（

A.%

B.

C.

D.

10.为了方便向窄口容器中注入液体，某单位设计一种圆锥形的漏斗，设计要求如下：该圆锥形漏

斗的高为10cm，且当窄口容器的容器口是半径为1。”的圆时，漏斗顶点处伸入容器部分的高为

2cm,则制造该漏斗所需材料面积的大小约为（）（假设材料没有浪费）

A.IsVSncm2B.20>j5ncm2C.25yj5ncm2D.30y/5itcm

11.如图是某几何体的三视图，俯视图是边长6的正方形，则此几何体

的体积是（）1

A.36

B.108

C.72

D.180

二、单空题（本大题共9小题，共45.0分）

12.已知某正三棱锥的高为I,体积峙则该正三棱锥的侧面积为

13.若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面

积是

已知△丽的三个内角A,8,C的对边依次为…外接圆半径为I，且满足黑

14.

则44BC面积的最大值为

15.四面体A8C。，设4B=2,CD=3异面直线AB与CO间的距离为1且相垂直，则四面体ABC。

的体积为.

16.已知正方体4BCD-4B1GD1的棱长为2,则三棱锥B-4的。的

体积是.

17.己知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为兀，若正方形A8C。内接于底面圆。，则四棱锥P-

ABCD侧面积为.

18.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为

用就9

19.某几何体的三视图是如图所示的直角三角形、半圆和等腰三角形，各6_______

4叱D

边的长度如图所示，则此几何体的体积是,表面积是

正视图侧视图

俯视图

20.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则该三棱柱的表面积为

14圆/+J-2x=0与圆x?+y2+4y=0的位置关系是.

15已知。＞0,若平面内三点4（1,一。），8（2,。2）,C（3〃3）共线，则〃=.

16已知直线2:2X一丁一1=0和圆C：x2+J-2y-1=0相交于A、B两点，弦长M却

三、解答题（本大题共10小题，共120.（）分）

21.如图，在三棱锥E-ABC中，平面E4B1平面A8C,三角形EABE

为等边三角形，AC1BCS.AC=BC=y[2,O,M分别为AB、EA

中点.

(1)求证：EB〃平面MOC；

(2)求证：平面MOC1平面EAB；

(3)求三棱锥E-ABC的体积.

22.如图，在△408中，乙4。81血。屋，4B=4,力为线段BA的中点.△40C由△力08绕

直线40旋转而成，记NBOC=。，6G(O.J.

(1)证明：当。=]时，平面CODJL平面AOB；

(2)当三棱锥。-BOC的体积为1时，求三棱锥4-BOC的全面积.

23.在边长为5的菱形ABCQ中，AC=8.现沿对角线把△48。折起，折起后使N4DC的余弦值

为2.

25

⑴求证：平面4BD，平面CBD；

(2)若M是AB的中点，求三棱锥。的体积.

A

24.如图，在底面为菱形的四棱锥P-48C0中，24_1平面4/。，E为PD

的中点，AB=2,2BC=泉

(1)求证：PB〃平面AEC；

(2)若三棱锥P-4EC的体积为1,求点A到平面P8C的距离.

25.如图，矩形A8C£>中，AD1平面ABE,AE=EB=BC=2,BF1

面AEC.

(1)求证：ZE〃平面BF。；

(2)求AC与平面BCE所成角的正弦值.

26.在四棱锥P-ABC。中，PAl¥ffiABCD,底面四边形A8CD为

直角梯形，AD//BC,ADLAB,PA=AD=2,AB=BC=1,

Q为PD中点.

(I)求证：PD1BQ；

(n)求异面直线PC与BQ所成角的余弦值.

27.如图，在四棱锥P-4BC0中，已知4B=1,BC=2,CD=4,AB//CD,BC1CD,平面P4B_L

平面ABC。，PAIAB,

(1)求证：BD_L平面PAC

(2)已知点F在棱PO上，且PB〃平面E4C,若PA=5,求三棱锥。一FAC的体积/_曰女・

28.如图，在三棱柱4BC-41&G中,CA=CB,CDLAB,AB=AA^ABAA1=60°.

(1)求证：平面ABC_L平面力iCD；

(2)若平面ABC1平面A4iB$,AB=CB=2,求三棱柱4BC-4止停母的体积.

29.如图，已知四棱锥尸一ABCD中，底面ABC。为菱形，P41平面ABC。，/.ABC=60°,E,尸分

别是BC,PC的中点.

(1)证明：4?_1平面24。；

(2)取4B=2,在线段PO上是否存在点H,使得E/7与平面PA。所成最大角的正切值为日,若存在，

请求出”点的位置，若不存在，请说明理由.

30.已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯

视图为直角梯形.

(1)证明：8N1平面GN/：

(2)求二面角C-NBi-B的正切值的大小.

【答案与解析】

1.答案：B

解析：

本题考查多面体与旋转体体积的求法，考查数形结合的解题思想

方法，是中档题.

由题意画出图形，求出球内接正四棱锥的底面边长，然后分别求

出球与该内接正四棱锥的体积，则答案可求.

解：如图，

设4c的中点为E,连接PE并延长交球于G,则PE=8,PG=10,

PA2=PEPG=80,则H4=4V5.

AC=2AE=2V80-64=8,

:.AB=8X^=46

•••%=［兀x125,VP_ABCD=|x(4位产x8=华.

・••球与该内接正四棱锥的体积之比为：等.

64

故选：B.

2.答案：C

解析：解：•・・图1中的虚线长为图2正四棱锥的底面边长，设为x,

又正四棱链的正视图是正三角形，・•・正四棱锥的斜高也为X,

由图1得*+；=6或，

解得x=4鱼，即正四棱锥的底面边长为4位，

四棱锥的高为4x4或=2逐，

四棱锥的体积U=1x32X2V6=yV6,

故选：C.

设正四棱锥的底面边长为x,根据正四棱锥的正视图是正三角形，可得正四棱锥的斜高也为x,利用

图1求得X,再求得四棱锥的高.代入棱锥的体积公式计算.

本题考查了正四棱锥的结构特征及几何体的正视图，熟练掌握正四棱锥的结构特征是解答本题的关

键.

3.答案：B

解析：解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取t时，漏斗中液面下落的高度不会达

到漏斗高度的土对比四个选项的图象可得结果.

故选8

利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的体积相同，当时

间取1.5分钟时，液面下降高度与漏斗高度:的比较.

本题考查函数图象，还可以正面分析得出结论：圆柱液面上升速度是常量，则V（这里的丫是漏斗中

剩下液体的体积）与，成正比（一次项），根据圆锥体积公式^=［仃2八，可以得出“=矶2+尻中，a

为正数，另外，/与r成反比，可以得出"=砒2+从中，b为正数.所以选择第二个答案.

4.答案：B

解析：

本题考查了空间几何体的三视图，考查了棱锥的体积公式，由三视图可以判断出空间几何体为三棱

锥，然后由棱锥的体积公式求解.

解：由三视图可知几何体为三棱锥，且高为3,

故棱锥的体积为、L6X3X3=9,

32

故选8.

5.答案：B

解析：解：根据三视图得，

该几何体是过BD且平行于PA的平面截四棱锥P-力BCD所得的几何体,

且241底面ABC。，底面A8CZ）为正方形，24=3、AB=AD=2,

E是尸C的中点，则EF=|P4=|,

截取的部分为三棱锥E-BCD的体积为:

&棱解E-BCD=9X：X2X2X|=1,

二多面体的体积卜=V四极轴_ABCD一V三棱锥E_BCD

=ix2x2x3-l=3,

故选：B.

根据三视图画出几何体，由三视图求出几何元素的长度，由分割法和锥体的体积公式求出几何体的

体积.

本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力.

6.答案：D

解析：解：由三视图可知：该几何体为两个全等的直三棱柱组成的.

则两个这样的几何体拼接而成的几何体表面积最小值时为正方体:

因此最小表面积=I2x6=6.

故选：D.

由三视图可知：该几何体为两个三棱柱组成的.则两个这样的几何体拼

接而成的几何体表面积最小值时为正方体.

本题考查了直三棱柱、正方体的三视图、面积计算公式，考查了推理能

力与计算能力，属于中档题.

7.答案：B

解析:

本题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.

根据题意得到SAODE=ab=8,再利用基本不等式即可求解.

解：双曲线C的两条渐近线分别为y=±3%，

由于直线x=a与双曲线的两条渐近线分别交于D、E两点，

则易得到|DE|=2b,

则S^ODE=ah=8,c2=a24-h2>2ab=16,即c>4,当且仅当a=b时取等号,

所以焦距2c>8.

故选B.

8.答案：B

解析：试题分析：若以4作为圆柱的高、2作为底面圆的周长，则圆柱轴截面面积为反；若以2作

为圆柱的高、4作为底面圆的周长，则圆柱轴截面面积为电，所以此圆柱轴截面面积为色。故选以

町球

考点：圆柱

点评：本题要明确矩形相邻的两边长都可以作为底面圆的周长。

9.答案：B

解析：

本题考查圆柱的侧面积，基本不等式.属于基础题.

由三角形相似得到rh的关系，再由基本不等式求解即可.

解：设圆柱的底面半径为岁，高为搬，利用相似形的知识可得;=”，

即3r+2%=6,由基本不等式可得3r+2九=622,3r•2h，

.•・&£[（当且仅当翻•■=蛰即h=:V医=2时取等号）,

s兽

=27rxr/iW27rx—=’如.

故选&

10.答案：C

解析：解：如图，

圆锥的高P。=10cm,PO]=2cm,O1A1=1cm,

由△P。4sAp。送1，可得鬻=詈，则CM=P°pfi=等=5cm,

xx

OAPOP012

则PA=7P02+op2="00+25=5V5cm，

沿母线PA剪开，可得一扇形，则扇形面积即为所需材料的面积，

展开后扇形的半径为PZ=5而，弧长为2兀X5=107T,

扇形的面积S=|xIOTTx56=25V57icm2,

故选：C.

由题意画出图形，由已知利用三角形相似求得圆锥底面半径，然后求解展开后扇形的面积即可.

本题考查圆锥及其截面性质，考查剪展问题的求解方法，考查运算求解能力，是中档题.

11.答案：B

解析：解析：此几何体是一个组合体，下面是一个正四棱柱上面是一个四棱锥.其体积为

12.答案:2^3

解析：解：设正三棱锥的底面三角形的边长为“，侧棱长为乩则

a2xl=—,

343

a=2,

又因为b=J#+(|xJx24=手，

s=3x1x2xJ(夺乃一水

=2V5.

故答案为：2V

首先，求解该正三棱锥的底面边长和侧棱长，然后，借助于体积和高建立关系式，最后，求解其侧

面积.

本题重点考查了三棱锥的结构特征，侧面积和体积的计算公式等知识，属于中档题.

13.答案:37r

解析：略

14.答案:逗

4

解析：

本题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，

三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题.

利用同角三角函数间的基本关系化简己知等式的左边，利用正弦定理化简己知等式的右边，整理后

利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0,可得出cosA的值，然后利用余

弦定理表示出cosA,根据cosA的值，得出尻=炉+°2-。2,再利用正弦定理表示出0,利用特殊

角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出儿的最大值，进而由sinA的值及历的最大值，

利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值.

.sinA八、sinB

解vtanA=-----,tanB=-----

cosAcosB

...由正弦定理得黑=sinAcosB2sinC-sinB

cosAsinBsinB

：・sinAcosB=cosA(2sinC—sinB)=2sinCcosA—sinBcosA,

^VsinAcosB+cosAsinB=sin(4+B)

=sinC=2sinCcosA,

•・•sinCH0,

.1

:*cosA——,

2

又4G(0,7T),

所以

故a=2rsilM=2x苧=6其中「为外接圆半径,

4b2+c2-a21

：•cosA=----------="

2bc2

2

・•・be=b2+c2-a2=b2c2—(V3)

=b24-c2—3>2bc—3,

・•.儿W3（当且仅当b=c时，取等号），

・•.△ABC面积为S=|besinA

入—XJx——,

一224

则当△4BC为等边三角形时面积取最大值为2.

4

故答案为迪.

4

15.答案：2

解析：解：・•・4B垂直于CD,

•••可以过AB作平面a,使平面a与线段CD垂直.

这样a将四面体剖成两个小的四面体.

将截面视为底，CZ）视为两个四面体高的总和，

c

那么两个小四面体的体积之和即为四面体ABCD的体积:

|Z=-x(-x2x3)x2=2

故答案为：2.

由己知中AB1CD,我们可以过A3做一个平面a与CZ）垂直，则四面体48CD的体积可转化为：两

个以“平面a截四面体ABC。所得截面”为底，高之和为C£＞的两个小四面体的和，代入棱锥体积公

式，即可得到答案.

本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积公式，其中过A8做一个平面a与C。垂直，将四面体

A8CD的体积转化为，两个小四面体的体积之和，是解答本题的关键.

16.答案：|

解析：解：如图所示，

由正方体，可得BBi1平面4$iGDi.■•之二----------

三棱锥B-AiGD的体积就是正方体的体积减去4个三棱锥B-\1

41加当的体积\,./

2

2X2X2-4X|-BB1-SAX1B1C1=8-4X|X2X|X2=|.

OK

故答案为：

由正方体可得BBi，平面通过三棱锥的体积公式，即可得出.

本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力,

属于基础题.

17.答案：然

解析：

本题考查四棱锥侧面积的求法，考查圆锥的性质等基础知识，是中档题.

设底面半径为r,则高为2〃母线长/=而r,圆锥的侧面积S=Ttrl=兀xrxV5r=兀，从而r-

AB=V2r,由此能求出四棱锥P-ABCD侧面积.

解：••・圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为7T,

二设底面半径为r,则高为2r,母线长I=7T2+4*=有丁,

二圆锥的侧面积S=nrl=兀xrxV5r=n,

解得r=区，1=隗x区=运，

・・・正方形ABCD内接于底面圆。，

:.AB=V2r,

.・・四棱锥P-/BCD侧面积为：

1.AB

S=4s”河=4x-xABxPA2-(—)2

=2xV2rxJ5r2—^r2=6r2=6x亲=

故答案为：述.

5

“10

18.答案：—

3

解析：

本题主要考查空间几何体的三视图以及组合体的体积问题，属于基础题.

解：由几何体的三视图可以得出此几何体上边是一个底面边长为2,高为1的正四棱锥,

下方是一个底面边长为1,高为2的一个正四棱柱；

因此此几何体的体积为:*2*24-1*1*2=y.

故答案为

19.答案：16乃24+(8+4m)兀

解析：解：由已知可得：该几何体是一个以侧视图为底面的半圆锥，

底面直径为8,故底面半径r=4,故底面面积S=［兀-42=8兀，

高九=6,

故体积u=|s/i=1671,

母线/=V42+62=2V13>

故表面积S=|TT-42+|TT-4X2V134-|x8x6=24+(8+4旧)兀，

故答案为：16兀，24+(8+4VT3)TT.

由已知可得：该儿何体是一个以侧视图为底面的半圆锥，代入锥体体积和表面积公式，可得答案.

本题考查的知识点是圆锥的体积和表面积，简单儿何体的三视图，难度中档.

20.答案：24+8g

请老师补全其他答案及解析。

解析：解：由已知中底面是正三角形的三棱柱,

可得棱柱的底面边长为4,

棱柱的高为2,

故棱柱的底面面积为近x42=4布，

4

侧面的面积为：4x3x2=24,

故棱柱的表面积为：24+8招，

故答案为：24+8g

21.答案：证明：⑴证明：0,M分别为AB,EA的中点，OM//BE,

又EBu平面MOC,OMC平面MOC,

E8〃平面MOC.

(2)•••AC=BC,。为AB中点，OC_L4B,

又•.•平面£\4B_L平面ABC,平面EABn平面ABC=AB,

OC_L平面EAB,又OCU平面MOC,

.♦・平面MOCJ_平面EAB.

(3)连结OE,则。ELAB,

又•.•平面E4B1平面ABC,平面E48n平面4BC=48,OEu平面EAB,

OE_L平面ABC.

■■■AC1BC,AC=BC=V2.AB=2,

•.•三角形EAB为等边三角形，OE=V3.

二三棱锥E—4BC的体积V=[SAABC'E。=|x|xV2xV2xV3=争

解析：(1)由中位线定理可得。M〃BE,故而EB〃平面MOC；

(2)由等腰三角形三线合一可得0C1AB,由平面EAB1平面ABC可得。C_L平面EAB,故而平面

MOC，平面EAB；

(3)连结0E,则0E为棱锥的高，利用等边三角形的性质求出0E,代入体积计算.

本题考查了线面平行，线面垂直的判定，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题.

22.答案：⑴证：当。=1时，4BOC=三,

即0C10B,

又。C1O4,OAC\OB=0,OA、OBu平面AOB,

OC，平面AOB,

OCU平面COD

二平面COD_L平面AOB.

(2)解：在RtzMOB中，48=4,血。=9乙4。」=、

0B——2,0A——2A/3，

取。8的中点E,连接OE,贝ljDE〃AO,

•••DE=炳,

又4。_L平面BOC,

DE_L平面BOC,

111^

KD-BOC=§SABOC.DE=­x—X2x2sin0x遮＞=1

sin9——,。=g

23

•••△BOC是等边三角形，

•••BC=2

等腰三角形ABC的面积为底

△4。8与4AOC的面积都是2g

△BOC的面积为百

；・多面体4-BOC的全面积是5K+ME

解析：本题考查了空间几何体的性质，面积，公式求解，面面垂直的问题，综合性较强，属于中档

题.

(1)运用线面垂直得到面面垂直问题的证明.

(2)运用直角三角形Rt^AOB中，得出DE1平面BOC,利用体积公式得出：ABOC是等边三角形,

分别求出等腰三角形ABC的面积为后，

△40B与AAOC的面积都是28，ABOC的面积为次，即可得出三棱锥4一BOC的全面积.

23.答案：(1)证明：在菱形ABC。中，记AC,8。的交点为O,AD=5,

0A=4,0D=3,翻折后变成三棱锥4-BCD,

在44CD中，AC2=AD2+CD2-2AD-CDcosA.ADC

9

=25+25—2x5x5x—=32,

25

在ZiAOC中，。炉+。。2=32=何2,

LAOC=90°,即力。1OC,

y.AO1BD,OCQBD=0,

:.AOJ■平面BCD,

又4。u平面A8£),.•.平面AB。_L平面CBD.

(2)•；4。1平面OBC,40=4,M是48的中点，

M到平面DBC的距离/i=2,

vCOLBD,CO=4,BD=20D=6,

S^DBC=&X4X6=12,

VD-MBC~VM-DBC=,X2X12=8-

解析：(1)由勾股定理得4。IOC,又A。J.BD,从而4。_L平面BCD,由此能证明平面480_L平面

CBD.

(2)由％_MBC=匕/“Be，利用等积法能求出三棱锥。-M8C的体积.

本题考查面面垂直的证明，考查三菱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培

养.

24.答案：解：(I)证明：如右图，连接8。交AC于点。，连接

OE.

•••点O,E分别为BD,PC的中点，.•.OE〃PB.

又PB仁平面AEC,OEu平面AEC,PB〃平面4EC.

(H)解：V一澈脚_AEC=V_：棱做一ACD-V三棱脚_ACD=

Vx5

l^P-ACD=ll-A4CD-PA=；x：X：x2x2xsiW-

PA=1,PA=2技

设点A到平面PBC的距离为d,则匕•移砌_PBC=V三棱锥P-ABC=V三棱锥*_ACD~2.

在Rt△P4B中，PB=^22+(2>/3)2=4，

在Rt△PAC中，pc=J22+(2V3)2=4-

在^PBC中，S3PBe=1x2xV15=V15,•S4PBe-d=2,|xV15d=2,d=|<15,

点4到平面PBC的距离为§6.

解析：(1)利用三角形中位线的来证明线面平行；

(2)在三棱锥中利用等体积法来求点到面的距离；

本题主要考查了空间立体几何体线面平行判定定理、等体积法的应用，属基础题.

25.答案：解：(1)证明：连AC、BD交于G,连GF.

•••BC=EB,BF_L面AEC,：.F是EC中点.二GF//AE

•：AE仁面BFD,FGu面BFD.•••4E//面BFD

(2)4。，面ABE,

BCJL面ABE,

：■BC1AE

BF1®AEC,

■■AE1BF,

AE1®BCE,

•••乙4CE就是AC与平面BCE所成的角

sinz.ACE=­,

3

解析：(1)连AC、BD交于G,连GF,因BC=EB,BF_1_面AEC,则尸是EC中点，根据中位线可

知GF〃AE,AEC面BFD,FGu面BFD,根据线面平行的判定定理可知AE〃面BFD；

(2)根据ZD1面ABE,则BC1面ABE,从而BC1AE,因BF1_面AEC,则AE1BF,从而ZE1面

BCE,根据线面所成角的定义可知〃CE就是AC与平面BCE所成的角，在三角形ACE中求出此角

的正弦值即可.

本题考查直线与平面平行的判断，以及直线与平面所成角等有关知识，考查学生空间想象能力，逻

辑思维能力，是中档题.

26.答案:(1)证明：如图所示,4(0,0,0),8(1,0,0),P(0,0,2),

D(0,2,0),<2(0,1,1),C(l,l,0),

PD=(0,2,-2),丽=(一1,1,1),

由同质=2-2=0.

而1的，

•••PD1BQ-.

(H)解：CP=(-i,-i,2),

cos（而，的>=嬴=率

.•屏面直线PC与8。所成角的余弦值为拳

解析：（/）建立空间直角坐标系，只要证明丽•丽=0，即可证明结论.

（n）cp=（-i，-I,2）,利用向量夹角公式即可得出.

本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属

于基础题.

则4c1BD,

•••ACnP4=A,•••BD_L平面PAC.

(2)作FM1AD于M,连接MO,FO

由(1)知：平面PAD1平面ABC。，平面PADn平面4BCD=AD,

FM1平面ADC,FM//PA

"PB〃平面FAC,PBu平面PBD,平面PBDfl平面F4C=FO

AFO//PB,平面尸MO〃平面PAB

DMDO_4

MO//AB,^=—,

DADB5

S

又PA=5,•.・FM=4,SA4DC=S梯形.Be。-^ABC=-BC-^AB-DC=4

A^D-FAC—^F-DAC=亍

解析：(1)利用平面PAB，平面ABC。从而得到PA1平面ABCD,而后求证4C1BD来得证BD，平面

PAC；

(2)充分利用面面垂直，线面平行等关系求出高根与底面积来三棱锥的体积.

本题主要考查了线面平行判定，线面垂直判定以及空间几何体体积，属中等题.

28.答案：(1)证明：C\4=C8,CO_L力B,。为45的中点，氐，----------£

连接4B,由于力48/41=60。，可得为等边三角形，/

・•・ArD1ABf4............