人教版 七年级上数学全册知识点复习学案

初一上知识点汇总

第一章有理数

1.正负数

如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然.

0既不是正数，也不是负数.

2.有理数：整数与分数统称有理数.

'正整数

自然数

零

有理数（按定义分类）负整数

有理数（按符号分类）零（零既不是正数,也不是负数）

1负整数

［负有理上数双［1负分数

3.正数和零统称为非负数；

负数和零统称为非正数；

正整数和零统称为非负整数；

负整数和零统称为非正整数.

4.数轴：规定了原点.正方向和单位长度的直线.

5.有理数与数轴的关系：

一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.

在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.

正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数.

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6.相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数.特别地，0的相反数是0.

相反数的性质：

(1)代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0.

(2)几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等.

这两点是关于原点对称的.

(3)求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“一”号即可.

(4)互为相反数的两个数的和为零，即若与互为相反数，贝"，"+〃=().

7.绝对值的意义及其化简

(1)绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离.数a

的绝对值记作时

(2)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反

数；。的绝对值是0.

a(a>0)f(

(3)绝对值的性质:①同=03=0),②4'或|。|=以：

,<0)[-a[a<0)

-a(a<0)

(4)绝对值其他的重要性质：

①任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即时之〃且向2、

②若同=同，贝【JQ=8或Q=

③34=14同,辟野(底0)

④|a|2=|a2|=a2

8.有理数的运算

(1)有理数的加法：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用

较大的绝对值减去较小的绝对值.

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③一个数同0相加，仍得这个数.

(2)有理数的减法：减去一个数，等于加这个数的相反数.ai=a+(R)

(3)有理数的乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相

乘，都得0.

(4)有理数的除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.“M=心。(^0)

b

(5)有理数的乘方：求n个相同因数的积的运算叫做乘方.

9.科学计数法：把一个大于10的数表示成axlO"的形式(其中〃是整数)，此

种记法叫做科学记数法.

10.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数

的有效数字.

【例1】下列语句：①不带号的数都是正数；②带“-”号的数一定是负数；③不

存在既不是正数也不是负数的数；④0℃表示没有温度.其中正确的有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【例2】下列四种说法：①0是整数；②0是自然数；③。是偶数；④0是非负数.其中正

确的有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【例3】最小的正整数是,最大的负整数是.

有理数中，是整数而不是正数的数是,是负数而不是分数的是

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请写出三个既是负数，又是分数的有理数：

［例4］与在数轴上表示数2的点距离等于3个单位的点所表示的数是（）

A.-1B.5C.3或D.-1或5

【例5】有理数a.8在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（）

ab

-----------------•-----•----------------•------------•-------------------------------A

-11

A.a>hB.a>-bC.a<hD.-a<h

【例6】若a,人互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是（）

A.-2a和-2bB.a+1和匕+1C.a+1和尻1D.2a和2b

【例7］已知代数式3x+l与代数式5-2x的值互为相反数，则x=

【例8】下列说法正确的有（）

①有理数的绝对值一定比0大；

②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；

③互为相反数的两个数的绝对值相等；

④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；

⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数.

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A.②④⑤⑥B.③⑤C.③④⑤D.③⑤⑥

【例9】有理数°、晨c在数轴上的位置如图所示,求卜+4一。一1|一,一的值.

-•----•---------•----•-----«----A

ab0c1

【例10］若|a-4|=-|/?+2|,贝lJa+6=----------

【例11］若3k-2|+|y+3|=0,则上的值是多少？

X

【例12］化简M+帆-1|+卜〃-2|的值.

【例13】已知机是实数，求卜〃-2|+|m-4|+卜〃-6|+1根-8|的最小值

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【例14】计算

3+50+22x(-g)-l

(1)

-(-1)10'(-2)^(-)2

(3)-0"+信)+3

第二章整式的加减

1.单项式：像4乂以6片,心_〃,2仃，它们都是数或字母的积，这样的代数式叫做单项式.单

独的一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的

系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.

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2.多项式:几个单项式的和叫做多项式.例如：Y-2"+从，〃加-3等.在多项式中，每个单

项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项.多项式里次数最高的

项的次数，就是这个多项式的次数.

3.整式：单项式与多项式都是整式.

4.同类项：所含字母相同，并且相同的字母的指数也相同的项.

5.合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变.

6.常考题型：（1）化简求值；（2）找规律；（3）降次

【例1】若-'Ki/”是系数为/的五次单项式，求,〃，〃的值

4

【例2】⑴如果（"z+iy/yi是关于的六次单项式，则以〃应满足什么条件？

（2）如果2x"+（加-l）x+l是关于x的三次二项式，求加2一〃2的值。

（3）若多项式x2+2（Z-1）孙+;/-攵不含召的项，求A的值。

【例3】（1）若2a2〃叫;2与3:""+,2,/3是同类项，求见〃的值。

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7

(2)若7x"V与—是同类项，的值

【例4】合并下列同类项

(1)-X2-X2-X2-X2

(2)—a'b1-—a2b-2ab+5a3b2~—+—+3ab+—ba2

63363

(3)x"-0.5x"+l-0.2Z+x,,+l-0.3x,,+l

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【例5】化简求值

⑴SY-Sx+x3—12》2_3/+1,其中x=2

(2)4x2+2xy+9y2—2x2—3^+y2»其中x=2,y=5

【例6】若4=2*2一59-3/，B=2X2+3xy-4y2,且2A-3B-C=0,求C

【例7］有理数"，b,c在数轴上的位置如图所示:

A

-10b

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P=3\a+c\+2\a-2b\-\b-5c\+\3c\,Q=3\b+<]-4\a\-\c-b\+2\b-5a\,/[t^Q-2P

【例8】若,一1|+(。-2)2=0,4=3/-6而+/,8=-"一5,求A—B的值

【例9】（1）若当x=l时，多项式五+法+1的值为5,则当x=-l时，多项式gar'+］版+1

的值为

⑵当x=2时,代数式加-bx+l的值等于-17,那么当x=-l时,代数式12⑪-3加-5

的值等于

【例10](1)若彳2+3》-1=0,贝!|%3+5x?+5x+8=

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(2)若代数式2〃2-3〃+4的值为6,则代数式2/的值为

3

【例11］按照规律填上所缺的单项式并回答问题：

(l)a、—2zr、3/、-4。4,,；

(2)试写出第2007个和第2008个单项式

(3)试写出第n个单项式

【例12】定义一种新运算：a*b=ga-b,那么4*(-1)=

【例13】为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示:

①②③

按照上面的规律，摆〃个“金鱼”需用火柴棒的根数为()

A.2+6〃B.8+6〃C.4+4〃D.8〃

【例14］观察下列顺次排列的等式：

1X3=3=22-1,3X5=15=42-1,5X7=35=62-1,7X9=63=82-1

猜想：第n个等式(n为正整数)应为

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【例15】观察下面的变形规律：

1,111111

---=1—，=3--，y—：.

lx222:323x343

解答下面的问题：

]

⑴若“为正整数，请你猜想-

t(〃+1)

⑵证明你猜想的结论；

1

⑶求和：J-+-L+J-+...H------------

1x22x33x42009x2010

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第三章一元一次方程

L等式

（1）用等号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式.

（2）在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边.

（3）等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算

法则.

2.方程：含有未知数的等式叫方程，如x+2=l,它有两层含义：①方程必须是等式；

②等式中必须含有未知数

3.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解，

也叫方程的根。

4.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1,系数不等于0的方

程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数

的项的最高次数.

5.最简形式：方程（”N（），a,匕为已知数）叫一元一次方程的最简形式.

标准形式：方程办+6=0（其中。工0,a,匕是已知数）叫一元一次方程的标准形式.

6.等式的性质

性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.

若〃=b,贝（J〃±加=b±；

性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得

结果仍是等式.

若a=匕,则am=bm,0=2（加工0）

mm

7.解一元一次方程的步骤

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（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数.

（2）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号.

（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边.

（4）合并同类项：把方程化成办=人的形式.

b

（5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数“）,得到方程的解x

8.列方程解应用题的步骤：

①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系

②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）

③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系

④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程

⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值

⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）

【例1】若-2为关于x的一元一次方程，，〃x+7=13的解，则机的值是

【例2】已知关于x的方程（a+1）x+（4a-l）=0的解为一2,则a的值等于（）.

23

A.-2B.0C.4D.4

32

【例3】已知方程（帆-2）/一"+4=7是关于x的一元一次方程，则口=.

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y上=2-3+2

【例4】解方程:⑴6(1-X)-5(X-2)=2(2X+3)⑵•25

・11+工、X1-10一71、

【例5］解方程：2z—)=3---(2%-----------)

33o23

£

【例6】解方程：3

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【例7】“为整数，关于x的方程x=6-mx的解为正整数，求〃?的值.

【例8】若关于x的方程9x-17=心的解为正整数，则k的值为

【例9】若a,6为定值，关于x的一元一次方程差-三竺=2,无论"为何值时，它的解总

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是x=l,求〃和力的值.

【例10】已知关于x的方程3x-2(x-^)=4x,和方程如上一W=1有相同的解，求这个相

_3128

同的解.

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【例11］解方程|4X+3|=2X+9

【例12］解方程|2x-l|=|3x+l|

【例13］解方程|x-l|+|x-5|=4

【例14】一个三位数，三个数位上的和是17,百位上的数比十位上的数大7,个位上的数是十位上的数

的3倍。求这个数。

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【例15】甲、乙两书架各有若干本书，如果从乙架拿100本放到甲架上，那么甲架上的书比乙架上所剩

的书多5倍，如果从甲架上拿100本书放到乙架上，两架所有书相等。问原来每架上各有多少书？

2

【例16】某公司有甲乙两个工程队，甲队人数比乙队人数的:多28人.现因任务需要，从乙队调走20

人到甲队，这时甲队人数是乙队人数的2倍，则甲乙两队原来的人数分别是多少人？

【例17】一个通迅员骑摩托车追赶前面部队乘坐的汽车，汽车的速度是每小时28千米，摩托车的速度是

每小时42千米，通讯员出发4小时后追上汽车，求部队比通讯员早出发几小时？

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【例18］甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时，现

有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，问这机帆船往返两港要多少小时？

【例19】一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任

务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

【例20】某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售，则赔25元，而按定价的九折出售将赚

20元。问这种商品的定价是多少？

第四章几何图形初步

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1.正方形展开图的知识要点：

第一类：6种.特点：4个连成一排的正方形，两侧各有一个正方形.简称“141型”

第二类：3种.特点：有3个连成一排的正方形，两侧分别有1个和两个相连

的正方形;简称“132型”

第三类：仅有一种.特点：是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正

方形；简称“222型”

第四类：仅有1种，三个连成一排的正方形的一侧，还有3个连成一排的正方形，可

简称“33型”

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2.正方形展开图的识别方法：

排除法：(1)由少于或多于6个的正方形组成的图形不是正方形的平面展开图

(2)有“凹”字型或“田”字型部分的平面图形不是正方体的展开图

对比法：对照上面的四种规则进行对照；

从展开图可以看出，在正方形的展开图中不会出现如下图所示的“凹”字

型和“田”字型结构。

3.直线、射线、线段的概念：

(1)在直线的基础上定义射线、线段：

①直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点.

②直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点.

(2)在线段的基础上定义直线、射线：

①把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线，

②把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线.

4.两个重要公理：

①经过两点有且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”.

②两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”.

5.(1)如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.

(2)如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.

6.角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个

角的平分线.

7.用尺规做已知角的平分线方法

(1)以。点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于48两点；

(2)分别以46两点为圆心，以大于长为半径画弧，画弧交于C点；

2

(3)过。点作射线oa

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所以，射线比'就是所求作的。

8.单位换算

1度=60分（1。=60，）1分=60秒（r=60"）

9.角的度量单位及其换算

I周角=360。I平角=180。I直角=90。

1周角=2平角I平角=2直角

10.角的分类：

锐角a（0<a<90°）,直角a（a=90°）,钝角a（90°<a<180°）.

11.余角、补角

（1）如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”.

（2）如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”.

（3）补角、余角的性质：同角或等角的补角相等洞角或等角的余角相等.

12.钟表角度问题

时针12小时转动360度,每小时转动30度；

分针60分钟转动360度，每分钟转动6度；

秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度.

【例1】将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（）

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【例2】如图，图中共有条线段.

ABCDE

【例3】如图，已知线段.上依次有三个点C,Q,E把线段AB分成2:3:4:5四个部分,

AB=56，求的长度.

ACD

【例4】如图，已知A8在直线/的两侧，在/上求一点P,使以+所最小;

【例5】如图，有一个正方体的盒子AB8-ABC。，在盒子内的顶点A处有一只蜘蛛，而