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文档简介
初一上知识点汇总
第一章有理数
1.正负数
如果正数表示某种意义,那么负数表示它的相反的意义,反之亦然.
0既不是正数,也不是负数.
2.有理数:整数与分数统称有理数.
'正整数
自然数
零
有理数(按定义分类)负整数
有理数(按符号分类)零(零既不是正数,也不是负数)
1负整数
[负有理上数双[1负分数
3.正数和零统称为非负数;
负数和零统称为非正数;
正整数和零统称为非负整数;
负整数和零统称为非正整数.
4.数轴:规定了原点.正方向和单位长度的直线.
5.有理数与数轴的关系:
一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.
在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.
正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数.
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6.相反数:只有符号不同的两个数互称为相反数.特别地,0的相反数是0.
相反数的性质:
(1)代数意义:只有符号不同的两个数叫做互为相反数,特别地,0的相反数是0.
(2)几何意义:一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧,并且到原点的距离相等.
这两点是关于原点对称的.
(3)求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“一”号即可.
(4)互为相反数的两个数的和为零,即若与互为相反数,贝","+〃=().
7.绝对值的意义及其化简
(1)绝对值的几何意义:一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离.数a
的绝对值记作时
(2)绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反
数;。的绝对值是0.
a(a>0)f(
(3)绝对值的性质:①同=03=0),②4'或|。|=以:
,<0)[-a[a<0)
-a(a<0)
(4)绝对值其他的重要性质:
①任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即时之〃且向2、
②若同=同,贝【JQ=8或Q=
③34=14同,辟野(底0)
④|a|2=|a2|=a2
8.有理数的运算
(1)有理数的加法:①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号,并用
较大的绝对值减去较小的绝对值.
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③一个数同0相加,仍得这个数.
(2)有理数的减法:减去一个数,等于加这个数的相反数.ai=a+(R)
(3)有理数的乘法:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.任何数同0相
乘,都得0.
(4)有理数的除法:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.“M=心。(^0)
b
(5)有理数的乘方:求n个相同因数的积的运算叫做乘方.
9.科学计数法:把一个大于10的数表示成axlO"的形式(其中〃是整数),此
种记法叫做科学记数法.
10.有效数字:从一个数的左边第一个非0数字起,到末位数字止,所有数字都是这个数
的有效数字.
【例1】下列语句:①不带号的数都是正数;②带“-”号的数一定是负数;③不
存在既不是正数也不是负数的数;④0℃表示没有温度.其中正确的有()
A.0个B.1个C.2个D.3个
【例2】下列四种说法:①0是整数;②0是自然数;③。是偶数;④0是非负数.其中正
确的有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
【例3】最小的正整数是,最大的负整数是.
有理数中,是整数而不是正数的数是,是负数而不是分数的是
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请写出三个既是负数,又是分数的有理数:
[例4]与在数轴上表示数2的点距离等于3个单位的点所表示的数是()
A.-1B.5C.3或D.-1或5
【例5】有理数a.8在数轴上的位置如图所示,则下列各式正确的是()
ab
-----------------•-----•----------------•------------•-------------------------------A
-11
A.a>hB.a>-bC.a<hD.-a<h
【例6】若a,人互为相反数,则下列各对数中不是互为相反数的是()
A.-2a和-2bB.a+1和匕+1C.a+1和尻1D.2a和2b
【例7]已知代数式3x+l与代数式5-2x的值互为相反数,则x=
【例8】下列说法正确的有()
①有理数的绝对值一定比0大;
②如果两个有理数的绝对值相等,那么这两个数相等;
③互为相反数的两个数的绝对值相等;
④没有最小的有理数,也没有绝对值最小的有理数;
⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示;⑥符号不同的两个数互为相反数.
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A.②④⑤⑥B.③⑤C.③④⑤D.③⑤⑥
【例9】有理数°、晨c在数轴上的位置如图所示,求卜+4一。一1|一,一的值.
-•----•---------•----•-----«----A
ab0c1
【例10]若|a-4|=-|/?+2|,贝lJa+6=----------
【例11]若3k-2|+|y+3|=0,则上的值是多少?
X
【例12]化简M+帆-1|+卜〃-2|的值.
【例13】已知机是实数,求卜〃-2|+|m-4|+卜〃-6|+1根-8|的最小值
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【例14】计算
3+50+22x(-g)-l
(1)
-(-1)10'(-2)^(-)2
(3)-0"+信)+3
第二章整式的加减
1.单项式:像4乂以6片,心_〃,2仃,它们都是数或字母的积,这样的代数式叫做单项式.单
独的一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的
系数,一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
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2.多项式:几个单项式的和叫做多项式.例如:Y-2"+从,〃加-3等.在多项式中,每个单
项式叫做多项式的项,其中,不含字母的项叫做常数项.多项式里次数最高的
项的次数,就是这个多项式的次数.
3.整式:单项式与多项式都是整式.
4.同类项:所含字母相同,并且相同的字母的指数也相同的项.
5.合并同类项:把同类项的系数相加,字母和字母的指数保持不变.
6.常考题型:(1)化简求值;(2)找规律;(3)降次
【例1】若-'Ki/”是系数为/的五次单项式,求,〃,〃的值
4
【例2】⑴如果("z+iy/yi是关于的六次单项式,则以〃应满足什么条件?
(2)如果2x"+(加-l)x+l是关于x的三次二项式,求加2一〃2的值。
(3)若多项式x2+2(Z-1)孙+;/-攵不含召的项,求A的值。
【例3】(1)若2a2〃叫;2与3:""+,2,/3是同类项,求见〃的值。
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7
(2)若7x"V与—是同类项,的值
【例4】合并下列同类项
(1)-X2-X2-X2-X2
(2)—a'b1-—a2b-2ab+5a3b2~—+—+3ab+—ba2
63363
(3)x"-0.5x"+l-0.2Z+x,,+l-0.3x,,+l
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【例5】化简求值
⑴SY-Sx+x3—12》2_3/+1,其中x=2
(2)4x2+2xy+9y2—2x2—3^+y2»其中x=2,y=5
【例6】若4=2*2一59-3/,B=2X2+3xy-4y2,且2A-3B-C=0,求C
【例7]有理数",b,c在数轴上的位置如图所示:
A
-10b
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P=3\a+c\+2\a-2b\-\b-5c\+\3c\,Q=3\b+<]-4\a\-\c-b\+2\b-5a\,/[t^Q-2P
【例8】若,一1|+(。-2)2=0,4=3/-6而+/,8=-"一5,求A—B的值
【例9】(1)若当x=l时,多项式五+法+1的值为5,则当x=-l时,多项式gar'+]版+1
的值为
⑵当x=2时,代数式加-bx+l的值等于-17,那么当x=-l时,代数式12⑪-3加-5
的值等于
【例10](1)若彳2+3》-1=0,贝!|%3+5x?+5x+8=
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(2)若代数式2〃2-3〃+4的值为6,则代数式2/的值为
3
【例11]按照规律填上所缺的单项式并回答问题:
(l)a、—2zr、3/、-4。4,,;
(2)试写出第2007个和第2008个单项式
(3)试写出第n个单项式
【例12】定义一种新运算:a*b=ga-b,那么4*(-1)=
【例13】为庆祝“六一”儿童节,某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示:
①②③
按照上面的规律,摆〃个“金鱼”需用火柴棒的根数为()
A.2+6〃B.8+6〃C.4+4〃D.8〃
【例14]观察下列顺次排列的等式:
1X3=3=22-1,3X5=15=42-1,5X7=35=62-1,7X9=63=82-1
猜想:第n个等式(n为正整数)应为
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【例15】观察下面的变形规律:
1,111111
---=1—,=3--,y—:.
lx222:323x343
解答下面的问题:
]
⑴若“为正整数,请你猜想-
t(〃+1)
⑵证明你猜想的结论;
1
⑶求和:J-+-L+J-+...H------------
1x22x33x42009x2010
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第三章一元一次方程
L等式
(1)用等号“=”来表示相等关系的式子,叫做等式.
(2)在等式中,等号左、右两边的式子,分别叫做这个等式的左边、右边.
(3)等式可以是数字算式,可以是公式、方程,也可以是用式子表示的运算律、运算
法则.
2.方程:含有未知数的等式叫方程,如x+2=l,它有两层含义:①方程必须是等式;
②等式中必须含有未知数
3.方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值;只含有一个未知数的方程的解,
也叫方程的根。
4.一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,系数不等于0的方
程叫做一元一次方程,这里的“元”是指未知数,“次”是指含未知数
的项的最高次数.
5.最简形式:方程(”N(),a,匕为已知数)叫一元一次方程的最简形式.
标准形式:方程办+6=0(其中。工0,a,匕是已知数)叫一元一次方程的标准形式.
6.等式的性质
性质1:等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式.
若〃=b,贝(J〃±加=b±;
性质2:等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或同一个整式,所得
结果仍是等式.
若a=匕,则am=bm,0=2(加工0)
mm
7.解一元一次方程的步骤
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(1)去分母:在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数.
(2)去括号:一般地,先去小括号,再去中括号,最后去大括号.
(3)移项:把含有未知数的项都移到方程的一边,不含未知数的项移到方程的另一边.
(4)合并同类项:把方程化成办=人的形式.
b
(5)系数化为1:在方程的两边都除以未知数的系数“),得到方程的解x
8.列方程解应用题的步骤:
①审:审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间关系
②设:设未知数(一般求什么,就设什么为x)
③找:找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系
④列:根据这个相等关系列出需要的代数式,进而列出方程
⑤解:解所列出的方程,求出未知数的值
⑥答:检验所求解是否符合题意,写出答案(包括单位名称)
【例1】若-2为关于x的一元一次方程,,〃x+7=13的解,则机的值是
【例2】已知关于x的方程(a+1)x+(4a-l)=0的解为一2,则a的值等于().
23
A.-2B.0C.4D.4
32
【例3】已知方程(帆-2)/一"+4=7是关于x的一元一次方程,则口=.
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y上=2-3+2
【例4】解方程:⑴6(1-X)-5(X-2)=2(2X+3)⑵•25
・11+工、X1-10一71、
【例5]解方程:2z—)=3---(2%-----------)
33o23
£
【例6】解方程:3
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【例7】“为整数,关于x的方程x=6-mx的解为正整数,求〃?的值.
【例8】若关于x的方程9x-17=心的解为正整数,则k的值为
【例9】若a,6为定值,关于x的一元一次方程差-三竺=2,无论"为何值时,它的解总
36
是x=l,求〃和力的值.
【例10】已知关于x的方程3x-2(x-^)=4x,和方程如上一W=1有相同的解,求这个相
_3128
同的解.
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【例11]解方程|4X+3|=2X+9
【例12]解方程|2x-l|=|3x+l|
【例13]解方程|x-l|+|x-5|=4
【例14】一个三位数,三个数位上的和是17,百位上的数比十位上的数大7,个位上的数是十位上的数
的3倍。求这个数。
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【例15】甲、乙两书架各有若干本书,如果从乙架拿100本放到甲架上,那么甲架上的书比乙架上所剩
的书多5倍,如果从甲架上拿100本书放到乙架上,两架所有书相等。问原来每架上各有多少书?
2
【例16】某公司有甲乙两个工程队,甲队人数比乙队人数的:多28人.现因任务需要,从乙队调走20
人到甲队,这时甲队人数是乙队人数的2倍,则甲乙两队原来的人数分别是多少人?
【例17】一个通迅员骑摩托车追赶前面部队乘坐的汽车,汽车的速度是每小时28千米,摩托车的速度是
每小时42千米,通讯员出发4小时后追上汽车,求部队比通讯员早出发几小时?
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【例18]甲、乙两港相距360千米,一轮船往返两港需35小时,逆流航行比顺流航行多花了5小时,现
有一机帆船,静水中速度是每小时12千米,问这机帆船往返两港要多少小时?
【例19】一件工程,甲独做需15天完成,乙独做需12天完成,现先由甲、乙合作3天后,甲有其他任
务,剩下工程由乙单独完成,问乙还要几天才能完成全部工程?
【例20】某种商品因换季准备打折出售,如果按定价七五折出售,则赔25元,而按定价的九折出售将赚
20元。问这种商品的定价是多少?
第四章几何图形初步
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1.正方形展开图的知识要点:
第一类:6种.特点:4个连成一排的正方形,两侧各有一个正方形.简称“141型”
第二类:3种.特点:有3个连成一排的正方形,两侧分别有1个和两个相连
的正方形;简称“132型”
第三类:仅有一种.特点:是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正
方形;简称“222型”
第四类:仅有1种,三个连成一排的正方形的一侧,还有3个连成一排的正方形,可
简称“33型”
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2.正方形展开图的识别方法:
排除法:(1)由少于或多于6个的正方形组成的图形不是正方形的平面展开图
(2)有“凹”字型或“田”字型部分的平面图形不是正方体的展开图
对比法:对照上面的四种规则进行对照;
从展开图可以看出,在正方形的展开图中不会出现如下图所示的“凹”字
型和“田”字型结构。
3.直线、射线、线段的概念:
(1)在直线的基础上定义射线、线段:
①直线上的一点和这点一旁的部分叫射线,这个点叫做射线的端点.
②直线上两点和中间的部分叫线段,这两个点叫线段的端点.
(2)在线段的基础上定义直线、射线:
①把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线,
②把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线.
4.两个重要公理:
①经过两点有且只有一条直线,也称为“两点确定一条直线”.
②两点之间的连线中,线段最短,简称“两点之间,线段最短”.
5.(1)如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到,这样的角叫平角.
(2)如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到,这样的角叫周角.
6.角平分线:从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个
角的平分线.
7.用尺规做已知角的平分线方法
(1)以。点为圆心,以任意长为半径,交角的两边于48两点;
(2)分别以46两点为圆心,以大于长为半径画弧,画弧交于C点;
2
(3)过。点作射线oa
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所以,射线比'就是所求作的。
8.单位换算
1度=60分(1。=60,)1分=60秒(r=60")
9.角的度量单位及其换算
I周角=360。I平角=180。I直角=90。
1周角=2平角I平角=2直角
10.角的分类:
锐角a(0<a<90°),直角a(a=90°),钝角a(90°<a<180°).
11.余角、补角
(1)如果两个角的和是一个平角,那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”.
(2)如果两个角的和是一个直角,那么这两个角叫做互为余角,简称“互余”.
(3)补角、余角的性质:同角或等角的补角相等洞角或等角的余角相等.
12.钟表角度问题
时针12小时转动360度,每小时转动30度;
分针60分钟转动360度,每分钟转动6度;
秒针60秒钟转动360度,每秒钟转动6度.
【例1】将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后,得到的图形是()
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【例2】如图,图中共有条线段.
ABCDE
【例3】如图,已知线段.上依次有三个点C,Q,E把线段AB分成2:3:4:5四个部分,
AB=56,求的长度.
ACD
【例4】如图,已知A8在直线/的两侧,在/上求一点P,使以+所最小;
【例5】如图,有一个正方体的盒子AB8-ABC。,在盒子内的顶点A处有一只蜘蛛,而
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