2024年高中数学同步高分突破讲义(人教A版2019)专题3-2圆锥曲线中的三角形面积-(选择性必修第一册)(学生版+解析)

圆锥曲线中的三角形面积圆锥曲线中三角形面积的求法①焦点三角形面积椭圆x2a2+y双曲线x2a2−y2b②直线与圆锥曲线中的三角形面积(以下以椭圆为例)(1)S∆如图，S∆PAB=12∙AB∙PC(2)S∆(3)拆补法，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型；情况1如图，点P在x轴上，直线AB交x轴于点C，当A,B是在x轴异侧时，S当A,B是在x轴同侧时，S注:不管A,B在x轴同侧还是异侧，公式S∆PAB若点P在y轴类似可得S∆PAB情况2如图，点P在x轴上，直线AB的倾斜角为θ，当AB是在x轴异侧时，S∆PAB当AB是在x轴同侧时，S∆PAB注:不管A,B在x轴同侧还是异侧，公式S∆PAB=1【典题1】设双曲线C：x2−y2b2=1(a>0,b>0)且F1P⊥F2P．若△PF【典题2】已知直线l与双曲线E:x2aB(x2,y2)两点，且x1x2>0，若【典题3】已知双曲线x2a2−y2b的直线l交双曲线于A、B两点，F(1)求双曲线的方程；(2)若△F1AB的面积等于6【典题4】过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为π3的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C(1)求抛物线C的方程；(2)直线l交抛物线C于D、E两点，且这两点位于x轴两侧，与x轴交于点M,若OD→•OE→=4【典题5】已知A、B是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右顶点，B(2,0)，过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M,N，交直线x=4于点P，且直线PA、PF、PB的斜率成等差数列，R和Q是椭圆上的两动点，(1)求椭圆C的方程；(2)求△MNT巩固练习1(★★)设F1,F2是椭圆x29+y22(★★)过双曲线x23−y2=1的右焦点F，作倾斜角为60°的直线l,交双曲线的渐近线于点3(★★)抛物线C：y2=8x的焦点为F,N为准线上一点，M为y轴上一点，且NM→⋅NF→=0，若线段MF的中点E4(★★)已知双曲线C:x2a2−(1)求双曲线的标准方程；(2)过点(0,1)，倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点，求∆OAB5(★★)椭圆C：x2a2+F2，过F1(1)求椭圆C的方程；(2)当△F2CD6(★★★)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1,F2，线段O(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线交椭圆于P,Q两点，使PB27(★★★)已知椭圆C：x2a2点A(0,－2)，直线AF的斜率为2(1)求椭圆C的方程；(2)设过点A的直线与C相交于P、Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．8(★★★★)已知双曲线C的一个焦点为(−5,0)，且过点Q(25,2)．如图，F1，F2为双曲线的左、右焦点，动点P(x0,y0)(y0≥1)在C的右支上，且∠(1)求C的标准方程；(2)求△F圆锥曲线中的三角形面积圆锥曲线中三角形面积的求法①焦点三角形面积椭圆x2a2+y双曲线x2a2−y2b②直线与圆锥曲线中的三角形面积(以下以椭圆为例)(1)S∆如图，S∆PAB=12∙AB∙PC(2)S∆(3)拆补法，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型；情况1如图，点P在x轴上，直线AB交x轴于点C，当A,B是在x轴异侧时，S当A,B是在x轴同侧时，S注:不管A,B在x轴同侧还是异侧，公式S∆PAB若点P在y轴类似可得S∆PAB情况2如图，点P在x轴上，直线AB的倾斜角为θ，当AB是在x轴异侧时，S∆PAB当AB是在x轴同侧时，S∆PAB注:不管A,B在x轴同侧还是异侧，公式S∆PAB=1【典题1】设双曲线C：x2−y2b且F1P⊥F2P．若△PF【解析】方法一由题意可知a=1，设|PF2|=m,|P∵△PF1F(遇到焦点三角形△PF∵F∴∴e=c方法二由双曲线焦点三角形面积公式S=b2tan∠P由题意可知b2tan45°又∵a=1，∴c=5，∴e=【典题2】已知直线l与双曲线E:x2aB(x2,y2)两点，且x1x2>0，若【解析】∵OA∴∴tan∠AOB=−3故∠AOx=60°,又直线OA方程为y=∴ba=tan60°=∴e=c【点拨】本题对“OA⋅OB=−4而△AOB的面积用到【典题3】已知双曲线x2a2−y2的直线l交双曲线于A、B两点，F(1)求双曲线的方程；(2)若△F1AB的面积等于6【解析】(1)过程略，x2−(2)方法一设A当直线l的斜率不存在，则直线l的方程x=2，此时易得S△故可设直线l的方程为y=k(x−2)，由y=k(x−2)x2−∵有两个交点，∴k≠±3，∴∵F1(−2,0)到直线l∴△F1AB(利用三角形面积公式S∆∴k4∴所以直线l的方程为y=±(x−2)．方法二设A(同方法一可得：k≠±3，∴|y∴△F1AB(由于点F1在x轴，利用S=化简得k4+8k2得直线l的方程为y=±(x－2).【点拨】①注意分类讨论直线l的斜率是否存在；②因为直线过双曲线内的点，故不要看判别式∆是否大于0，但要注意k2③第二问方法一是利用三角形面积公式S∆=12×底×高，得S=12∙AB∙d【典题4】过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为π3的直线交抛物线于A、B两点，交其准线于点C(1)求抛物线C的方程；(2)直线l交抛物线C于D、E两点，且这两点位于x轴两侧，与x轴交于点M,若OD→•OE→=4【解析】(1)过点A作抛物线准线的垂线，垂足为A1，过点B作准线的垂线，垂足为设准线与x轴交于点G，如图所示，∵∠AFx=∠CB∴BB∴BF=1，又点F为AC的中点，∴AF=CF=BC+BF=3，∴|GF|=12|A所以抛物线C的方程为y2(2)设D(x1,ylDE：x=my+t联立得方程组x=my+ty2=3x∴y∴OD(曲线代换：利用抛物线方程消“x1∴y1y∴－3t=－12，∴t=4，∴=3(当且仅当198y1∴S△DFO+【点拨】在抛物线上设直线方程为lDE：x=my+t较为常见，同时也配合上三角形面积S【典题5】已知A、B是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右顶点，B(2,0)，过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M,N，交直线x=4于点P，且直线PA、PF、PB的斜率成等差数列，R和Q是椭圆上的两动点，(1)求椭圆C的方程；(2)求△MNT【解析】(1)由题意知a=2，A(−2,0)，设∴依题意可知2y04−c=∴椭圆C的方程x24(2)设Rx∵R和Q的横坐标之和为2，∴x∵R、Q均在椭圆上，∴x124①−②得y1设T(t,0)，由中垂线性质得TR=TQ，即t−x化简得2t=2+y∴t=14，即设Mx直线MN:x=my+1与椭圆联立可得3m∴y(因为直线MN过椭圆内一点F，故m可取全体实数R，不需要考虑判别式∆>0)∴y令n=m则y∵y=9n+1n在[1,+∞)是递增的，(由对勾函数图像易得，由于n∈[1,+∞)不能用基本不等式)∴y3−故Smax【点拨】①“R和Q的横坐标之和为2”这条件可想到“中点弦问题”的点差法，避免设直线RQ方程导致计算量增大；②本题最重要的想法是求△MNT的面积，用到了公式S=12∙FT∙y3−y4④求函数形如y=a巩固练习1(★★)设F1,F2是椭圆x29+y2【答案】23【解析】由|PF1|∴|PF在△PF1F2∴sin∠F∴S2(★★)过双曲线x23−y2=1的右焦点F，作倾斜角为60°的直线l,交双曲线的渐近线于点【答案】33【解析】不妨设点A在第一象限，点B在第四象限，因为∠OFB=60°,双曲线x23−所以∠AOF=30°，所以∠FOB=30°，所以∠OBA=∠OBF=90°，所以|OB|=|OF|cos30°=3又∠AOB=60°，则∠OAB=30°，所以|OA|=2|OB|=23，所以从而△OAB的面积为：12故选：C．3(★★)抛物线C：y2=8x的焦点为F,N为准线上一点，M为y轴上一点，且NM→⋅NF→=0，若线段MF的中点E【答案】62【解析】由抛物线C：y2=8x可得焦点F(2,0)由题意设N(－2,m)，M(0,n),设n>0，因为E在抛物线C上，所以n24=8×1因为：NM→又NM→⋅NF→=0，所以代入②可得m=2所以S=14(★★)已知双曲线C:x2a2−(1)求双曲线的标准方程；(2)过点(0,1)，倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点，求∆OAB【答案】(1)x2−【解析】(Ⅰ)依题意可得ca=∴双曲线的标准方程为x2(Ⅱ)直线l的方程为y=x+1设A(由y=x+1x2−由韦达定理可得x即AB=原点到直线的距离为d=22于是S∴∆OAB的面积为435(★★)椭圆C：x2a2+F2，过F1(1)求椭圆C的方程；(2)当△F2CD【答案】(1)x24+y23【解析】(1)∵椭圆C：x2∴1a又∵离心率为12，联立①②得a2∴椭圆的方程为：x(2)①当直线的倾斜角为π2时，取C(−1,S△ABF2②当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程l：y=k(x+1)代入x24设C(x1∴|CD|=(1+点F2到直线l的距离∴化为17k4+∴直线方程为：x－y+1=0或x+y+1=0．6(★★★)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1,F2，线段O(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线交椭圆于P,Q两点，使PB2【答案】(1)e=25,【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为x∵△AB1B∴∠B1AB∵c在△AB1∵S=4，∴椭圆标准方程为x2(Ⅱ)由(Ⅰ)知B1由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my－2代入椭圆方程，消元可得m2设P(∴y∵B∴B∵PB∴−16当m=±2时，①可化为9y∴|y∴△PB2Q的面积7(★★★)已知椭圆C：x2a2点A(0,－2)，直线AF的斜率为2(1)求椭圆C的方程；(2)设过点A的直线与C相交于P、Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．【答案】(1)x2【解析】(1)设F(c,0)，由题意k∴c=3，又∵离心率∴b=a2−c2(2)由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k，方程为y=kx－2联立直线与椭圆方程：x24+由△=16(4设P(x1,∴|PQ|=坐标原点O到直线的距离为d=S△OPQ令t=4k∵t+4t≥4，当且仅当∴S△OPQ≤1，故当∴k=±72时，此时直线的方程为：y=±78(★★★★)已知双曲线C的一个焦点为(−5,0)，且过点Q(25,2)．如图，F1，F2为双曲线的左、右焦点，动点P(x0,y0)(y0≥1)在C的右支上，且∠(1)求C的