高考第一轮文科数学（人教A版）课时规范练56　极坐标方程与参数方程

课时规范练56极坐标方程与参数方程基础巩固组1.(2020全国Ⅲ,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2-t-t2,y=2-3t(1)求|AB|;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.2.在极坐标系中,O为极点,如图所示,已知M43,π6,以OM为直径作圆(1)求圆C的极坐标方程;(2)若P为圆C左上半圆弧OM的三等分点,求点P的极坐标.3.(2020全国Ⅰ,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=coskt,y=sinkt(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ(1)当k=1时,C1是什么曲线?(2)当k=4时,求C1与C2的公共点的直角坐标.4.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为ρsinθ+π4=22,0≤θ≤π2,曲线C2的参数方程为x=t+2(1)将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程,C2的参数方程化为普通方程.(2)设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.5.(2022河南焦作一模)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是x=-t,y=2-t(t为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆O的极坐标方程为ρ2-8=2(1)求直线l的普通方程和圆O的平面直角坐标方程;(2)当θ∈π2,π时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.综合提升组6.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=a+2cosα,y=2sinα(α为参数),以坐标原点O为极点,x(1)求曲线C的极坐标方程,若原点O在曲线C的内部,则求实数a的取值范围;(2)当a=1时,直线l与曲线C交于M,N两点,又P为此时曲线C上一动点,求△PMN面积的最大值.7.(2022山西太原二模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cosθ+2sinθ,y=cosθ-sinθ(θ为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为(1)将曲线C和直线l化为直角坐标方程;(2)过原点O引一条射线,分别交曲线C和直线l于A,B两点,射线上另有一点M满足|OA|2=|OM|·|OB|,求点M的轨迹方程.8.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C1的参数方程为x=t-1t,y=t+1t(t为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2-8(1)若r=3,设双曲线C1的一条渐近线与C2相交于A,B两点,求|AB|.(2)若r=1,分别在C1与C2上任取点P和Q,求|PQ|的最小值.创新应用组9.(2022内蒙古包头一模)在直角坐标系xOy中,☉M的圆心为M(1,1),半径为1.(1)写出☉M的一个参数方程;(2)直线l与☉M相切,且与x轴的正半轴和y轴的正半轴分别交于A,B两点,若l与两坐标轴所围成的△OAB的面积为6,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线l的极坐标方程.10.在平面直角坐标系xOy中,已知倾斜角为α的直线l的参数方程为x=-2+tcosα,y=tsinα(t(1)当cosα=1213时,设直线l与曲线C交于A,B两点,求|PA|·|PB|(2)若点Q在曲线C上运动,点M在线段PQ上运动,且PM=2MQ,求动点M的轨迹的参数方程,并把参数方程化为普通方程.

参考答案课时规范练56极坐标方程与参数方程1.解(1)因为t≠1,由2-t-t2=0得t=-2,所以C与y轴的交点为(0,12);由2-3t+t2=0得t=2,所以C与x轴的交点为(-4,0).故|AB|=410.(2)由(1)可知,直线AB的直角坐标方程为x-4+y12=1,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入,得直线AB的极坐标方程3ρcosθ-ρsinθ2.解(1)设点A(ρ,θ)为圆上任一点,则|OA|=ρ,∠AOM=θ-π6,在Rt△AOM中,ρ=43cosθ-π6.所以圆C的极坐标方程为ρ=43cosθ-π6,-π3≤θ≤2π3(2)圆C左上半圆弧OM的三等分点对应的极角有θ1=π3,θ2=π代入圆C的极坐标方程中,得圆C左上半圆弧OM的三等分点分别为P16,π3,P223,π2.3.解(1)当k=1时,C1:x=cost,y=sint,消去参数t故曲线C1是圆心为坐标原点,半径为1的圆.(2)当k=4时,C1:x=cos4t,y=sin4t,消去参数t得C1的普通方程为x+y由x+y故C1与C2的公共点的直角坐标为144.解(1)由ρsinθ+π4=22,得ρsinθ×22+ρcosθ×22=22所以曲线C1的直角坐标方程为x+y-4=0(0≤x≤4).消去曲线C2的参数方程中的参数t,得C2的普通方程为(x+1)2-(y-1)2=8.(2)由x+y-4=0,(设所求的圆心坐标(x0,0),所以x02=(x0-2)2+(0由于圆经过极点,所以圆的直径2r=4,所求圆的极坐标方程为ρ=4cosθ.5.解(1)由x=-t,y=2-t,得y=2+x由ρ2-8=2ρ(cosθ+sinθ),代入ρcosθ=x,ρsinθ=y,得x即圆O的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y-8=0.(2)由x2+因为θ∈π2,π,所以x=2,y=4(舍去故直线l与圆O的公共点的极坐标为(2,π).6.解(1)将曲线C的参数方程化为普通方程为(x-a)2+y2=2,表示以(a,0)为圆心,半径为2的圆.由x=ρcosθ,y=ρsinθ,得曲线C的极坐标方程为ρ2-(2acos又因为原点O在曲线C的内部,得(0-a)2+02<2,解得-2<a<2,故a的取值范围是(-2,2(2)直线l的极坐标方程转化为普通方程为y=3x,由a=1,得圆的方程为(x-1)2+y2=2,所以圆心(1,0)到直线y=3x的距离d=32所以|MN|=2(2圆上的点到直线l上的最大距离为32故△PMN面积的最大值为S△PMN=12×5×2+37.解(1)由C的参数方程,得x24+y2=(cosθ+sinθ)2+(cosθ-sinθ)2所以曲线C的直角坐标方程为x28由ρcosθ-π4=82,得ρcosθ+ρsinθ=16,所以x+y-16=0.(2)设M(ρ,θ),A(ρ1,θ),B(ρ2,θ),则ρ12cos2θ8+ρ12sin2θ2=由|OA|2=|OM|·|OB|,得ρ12=ρρ2,即1ρ12=1因为ρ≠0,所以点M的轨迹方程为2x2+8y2-x-y=0(去掉(0,0)).8.解(1)若r=3,曲线C2的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ+7=0,将x=ρcosθ,x2+y2=ρ2代入上式转换为直角坐标方程为(x-4)2+y2=9.双曲线C1的参数方程为x=t-1t,y=t+1t其中一条渐近线为x-y=0,圆心(4,0)到该渐近线的距离d=|4-0|2=22,则|AB|22=(2)若r=1时,曲线C2的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ+15=0,转换为直角坐标方程为(x-4)2+y2=1,圆心坐标为(4,0),半径为1,设曲线C1上的点P(x0,y0),则有y02−x02=当x0=2时,|PC2|min=23,所以|PQ|min=|PC2|min-r=23-1.9.解(1)由题意可知,☉M的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,所以☉M的参数方程为x=1+cosα,y=1+sin(2)由题意可知,切线的斜率存在,设切线方程为y=kx+b,即kx-y+b=0,因为圆心M(1,1)到直线l的距离为1,所以|k-1+b|1+k2=1,化简得b2-又因为A-bk,0,B(0,b),所以S△OAB=12|b|bk=6,即b2=12|k|,由题意可知,k<0,b>0,故b2=-12k.联立方程组b解得b所以直线l的直角坐标方程为34x+y-3=0或43x+y-4所以直线l的极坐标方程为34ρcosθ+ρsinθ-3=0或43ρcosθ+ρsinθ-4=10.解(1)曲线C的普通方程为x2+y2=1.当cosα=1213时,直线l的参数方程为x=-2+1213t,y=513t