新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题六解析几何第二讲圆锥曲线的方程与性质-小题备考微专题2圆锥曲线的几何性质

微专题2圆锥曲线的几何性质常考常用结论1．椭圆中，长轴是最长的弦，过焦点的全部弦长中，垂直长轴的弦长最短，最短为.距焦点最短的点是相应的对称轴同侧顶点．过双曲线的焦点作实轴所在直线的垂线，与双曲线交于A，B两点，|AB|＝.过抛物线的焦点作对称轴的垂线，与抛物线交于A，B两点，|AB|＝2p.2．双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.3．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.4．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F(，0)，准线方程x＝－；抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F(0，)，准线方程y＝－.1.[2024·全国乙卷]设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是()A．(1，1)B．(－1，2)C．(1，3)D．(－1，－4)2．[2024·山东青岛一模]已知O为坐标原点，在抛物线y2＝2px(p>0)上存在两点E，F，使得△OEF是边长为4的正三角形，则p＝________．3.(1)[2024·山东省试验中学一模]若椭圆C：＝1的离心率为，则椭圆C的长轴长为()A．2B．或2C．2D．2或2(2)[2024·江西赣州二模]已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，直线l分别经过双曲线的实轴和虚轴的一个端点，F1，F2到直线l的距离和大于实轴长，则双曲线的离心率的取值范围是()A．(，＋∞)B．(，＋∞)C．(1，)D．(1，)(3)[2024·河北沧州二模]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点(点A在x轴上方)，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，连接MF，NF.若|MF|＝|NF|，则直线AB的斜率为________．技法领悟1．理清圆锥曲线中a，b，c，e，p的关系是关键．2．求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是依据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．[巩固训练2](1)[2024·河南新乡二模]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线C上，Q(5，0)，若△PQF的面积为4，则|PF|＝()A．4B．3C．5D．2(2)[2024·河北唐山二模]已知直线l：x－y－2＝0过双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与C的一条渐近线平行，则C的实轴长为________．(3)[2024·安徽马鞍山二模]已知椭圆＝1(0<b<2)与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，点F是椭圆的一个焦点，若△ABF是等腰三角形，则b2的值为________．微专题2圆锥曲线的几何性质保分题1．解析：结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为零．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得，两式作差，得，即(x1－x2)(x1＋x2)＝，化简得＝9，即·＝kAB·＝9，因此kAB＝9·.由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为kAB＝9×＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9×＝－＜－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C选项，kAB＝9×＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x平行，与双曲线不行能有两个交点，不符合题意；对于D选项，因为kAB＝9×＝<3，所以直线AB与双曲线有两个交点，满意题意．故选D.答案：D2.解析：依据抛物线的对称性可知：由△OEF为等边三角形，所以E，F关于坐标轴x对称，由|EO|＝4，∠EOx＝30°，所以E(2，2)，将E(2，2)代入可得4＝4p⇒p＝.答案：提分题[例2]解析：(1)因为e2＝＝＝1－＝()2＝，所以，＝.①若椭圆C的焦点在x轴上，则＝＝，可得m＝6，则a＝＝，此时，椭圆C的长轴长为2；②若椭圆C的焦点在y轴上，则＝＝，可得m＝，则a＝，此时，椭圆C的长轴长为2.综上所述，椭圆C的长轴长为2或2.故选D.(2)解析：设直线l经过A(－a，0)，B(0，b)，则直线l的方程为＝1，即bx－ay＋ab＝0，则F1(－c，0)，F2(c，0)到直线l的距离分别为，，故>2a，解得b>a，故离心率e＝>，故双曲线的离心率的取值范围是(，＋∞)．故选B.(3)解析：如图，由题意得|AF|＝|AM|，|BF|＝|BN|，所以∠AMF＝∠AFM＝∠MFO，∠BNF＝∠BFN＝∠NFO，因为∠AFM＋∠MFO＋∠BFN＋∠NFO＝π，所以∠MFO＋∠NFO＝，所以MF⊥NF，又|MF|＝|NF|，所以∠NMF＝，所以∠MFO＝∠AFM＝，故∠AFx＝，所以直线AB的斜率为tan＝.答案：D答案：B答案：[巩固训练2](1)解析：由题意知F(1，0)，准线方程为x＝－1，设P(x0，y0)．因为Q(5，0)，△PQF的面积为4，则×(5－1)×|y0|＝4，所以|y0|＝2，则x0＝3，所以|PF|＝x0－(－1)＝4.故选A.(2)解析：直线x－y－2＝0与x轴交点为(2，0)，斜率为，由题意，解得，所以双曲线的实轴长