2024八年级数学下册第一章三角形的证明检测题新版北师大版

Page8第一章检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(2024·郑州期末)反证法是从反面思索问题的证明方法．乐乐想运用反证法证明下面这个命题：已知△ABC，AB＝AC.求证：∠C＜90°，第一步他应先假设(C)成立．A．∠C＜90°B．AB≠ACC．∠C≥90°D．AB≠AC且∠C≥90°2．(2024·绍兴)如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝(C)A．30°B．45°C．60°D．75°eq\o(\s\up7(),\s\do5(第2题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第3题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第4题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第5题图))3．(福建中考)如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于(A)A．15°B．30°C．45°D．60°4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为E，若BC＝3，则AD的长为(C)A．eq\r(3)B．2C．2eq\r(3)D．45．(雅安中考)如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝60°，AD＝1，BC＝2，则四边形ABCD的面积是(A)A．eq\f(3\r(3),2)B．3C．2eq\r(3)D．46．已知三角形三内角之间有∠A＝eq\f(1,2)∠B＝eq\f(1,3)∠C，它的最长边为10，则此三角形的面积为(D)A．20B．10eq\r(3)C．5eq\r(3)D．eq\f(25\r(3),2)7．(2024·黔西南州)在△ABC中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于eq\f(1,2)AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N.作直线MN交AC于点D，交BC于点E，连接AE.则下列结论不愿定正确的是(A)A．AB＝AEB．AD＝CDC．AE＝CED．∠ADE＝∠CDEeq\o(\s\up7(),\s\do5(第7题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第12题图))8．已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是(C)A．3B．4C．8D．99．(2024·湖州)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2.若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则全部满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是(C)A．4eq\r(2)B．6C．2eq\r(10)D．3eq\r(5)10．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E在同一条直线上，连接BD，BE.下列四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE＋∠DBC＝45°；④BE2＝2(AD2＋AB2).其中结论正确的个数是(C)A．1B．2C．3D．4二、填空题(每小题3分，共18分)11．(2024·云南)已知△ABC是等腰三角形．若顶角∠A＝40°，则△ABC的底角的度数是__70°___．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝4，则点D到AB的距离为__4__．13．如图，已知点B，C，F，E在同一条直线上，∠1＝∠2，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是__AC＝DF(答案不唯一)__．(只需写出一个)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第13题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第14题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第15题图))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第16题图))14．如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝__4__cm.15．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边上的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是__eq\r(5)__.16．(葫芦岛中考)如图，∠MON＝30°，点B1在边OM上，且OB1＝2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM，ON于点B2，A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM，ON于点B3，A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3……按此规律进行下去，则△AnAn＋1Cn的面积为(eq\f(3,2))2n－2×eq\f(\r(3),3)．(用含正整数n的代数式表示)点拨：由题意得△A1A2C1是等边三角形，边长为eq\f(2\r(3),3)，△A2A3C2是等边三角形，边长为eq\f(3,2)×eq\f(2\r(3),3)，△A3A4C3是等边三角形，边长为eq\f(3,2)×eq\f(3,2)×eq\f(2\r(3),3)＝(eq\f(3,2))2×eq\f(2\r(3),3)，△A4A5C4是等边三角形，边长为eq\f(3,2)×eq\f(3,2)×eq\f(3,2)×eq\f(2\r(3),3)＝(eq\f(3,2))3×eq\f(2\r(3),3)，…，△AnAn＋1Cn的边长为(eq\f(3,2))n－1×eq\f(2\r(3),3)，∴△AnAn＋1Cn的面积为eq\f(\r(3),4)×[(eq\f(3,2))n－1×eq\f(2\r(3),3)]2＝(eq\f(3,2))2n－2×eq\f(\r(3),3)三、解答题(共72分)17．(6分)如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.证明：过点A作AP⊥BC于P.∵AB＝AC，∴BP＝PC，∴AD＝AE，∴DP＝PE，∴BP－DP＝PC－PE，∴BD＝CE18．(7分)如图，在△ABC中，∠B＝30°，边AB的垂直平分线分别交AB和BC于点D，E，且AE平分∠BAC.(1)求∠C的度数；(2)若CE＝1，求AB的长．解：(1)∵DE是线段AB的垂直平分线，∠B＝30°，∴∠BAE＝∠B＝30°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAE＝30°，即∠BAC＝60°，∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝180°－60°－30°＝90°(2)∵∠C＝90°，∠EAC＝30°，CE＝1，∴AC＝eq\r(3)，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AB＝2eq\r(3)19．(7分)(2024·襄阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．(1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)求证：AD＝AE.解：(1)如图，EC即为所求：(2)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABD(ASA)，∴AD＝AE20．(7分)如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.(1)推断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.解：(1)∠ABE＝∠ACD.理由：在△ABE和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠A＝∠A，,AE＝AD，))∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ACD(2)连接AF.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A，F的直线垂直平分线段BC21．(7分)如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC.(1)若∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；(2)若∠ACP＝m°，∠ABP＝n°，请干脆写出m，n满足的关系式：__m＋3n＝120__．解：(1)∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB.∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠ABP，∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴∠PBC＋∠PCB＋∠ABP＝180°－60°－24°，∴3∠ABP＝96°，∴∠ABP＝32°22．(8分)如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A，C之间选择一点B(A，B，C三点在同始终线上).用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m.(1)求点B到AD的距离；(2)求塔高CD.(结果用根号表示)解：(1)过点B作BE⊥AD，垂足为E，∴∠AEB＝90°，又∵∠A＝30°，∴BE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×40＝20(m)(2)在Rt△ABE中，AE＝eq\r(AB2－BE2)＝20eq\r(3)，∵∠A＋∠ADB＝∠DBC＝75°，∴∠ADB＝75°－∠A＝45°，∵BE⊥AD，∴∠BED＝90°，∴∠DBE＝∠ADB＝45°，∴DE＝BE＝20，∴AD＝AE＋DE＝20eq\r(3)＋20，∵CD⊥AC，∴∠C＝90°，又∵∠A＝30°，∴CD＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)(20eq\r(3)＋20)＝(10eq\r(3)＋10)m23．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，过点C作CD⊥AB于点D，∠CAB的平分线交CD于点E，交BC于点F，过点F作FG⊥AB于点G，CE＝eq\f(8,3).(1)求ED的长；(2)求证：CF＝CE.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(82＋62)＝10，∵CD⊥AB，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)AB·CD，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(8×6,10)＝eq\f(24,5)，∵CE＝eq\f(8,3)，∴ED＝CD－CE＝eq\f(24,5)－eq\f(8,3)＝eq\f(32,15)(2)∵FG⊥AB，∴∠BGF＝∠AGF＝∠ACF＝90°，∵AF是∠CAB的平分线，∴GF＝CF，在Rt△AGF和Rt△ACF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(GF＝CF，,AF＝AF，))∴Rt△AGF≌Rt△ACF(HL)，∴AG＝AC＝8，∴BG＝AB－AG＝10－8＝2，设CF＝x，则GF＝x，BF＝BC－CF＝6－x，在Rt△BGF中，由勾股定理得BF2＝BG2＋GF2，即(6－x)2＝22＋x2，解得x＝eq\f(8,3)，∴CF＝eq\f(8,3)，∴CF＝CE24．(10分)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，点P为∠ABC，∠ACB的角平分线的交点．(1)∠BPC的度数是__130°__；(2)请问点P是否在∠BAC的角平分线上？请说明理由；(3)求证：AB＝PC.解：(2)点P在∠BAC的角平分线上，理由如下：过点P分别作边AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，∵PB，PC分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，∴PD＝PE,PE＝PF，∴PD＝PF，∴点P在∠BAC的角平分线上(3)连接AP并延长，在AP延长线上取PG＝PC，连接GC，∵AP，CP分别为∠BAC，∠ACB的平分线，∴∠PAC＝40°，∠ACP＝20°，∴∠GPC＝∠PAC＋∠ACP＝60°，∴△PGC为等边三角形，∴∠G＝60°＝∠ABC，PC＝CG，在△ABC和△CGA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACB＝∠CAG＝40°，,∠ABC＝∠G＝60°，,AC＝CA，))∴△ABC≌△CGA(AAS)，∴AB＝CG，又∵PC＝CG，故AB＝PC25.(12分)如图1，已知点B(0，6)，点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．(1)求证：DE＝BO；(2)如图2，当点D恰好落在BC上时．①求OC的长及点E的坐标；②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；③如图3，点M是线段BC上的动点(点B，C除外)，过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否发生变更？若不会变更，干脆写出MH＋MG的值；若会变更，简要说明理由．解：(1)∵△ODC和△EBC都是等边三角形，∴OC＝D