新教材同步备课2024春高中物理第6章圆周运动3.向心加速度教师用书新人教版必修第二册

3．向心加速度1．理解向心加速度的概念，知道向心加速度的大小和方向。2．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式，并能进行相关计算。3．能够运用向心加速度公式求解有关问题。匀速圆周运动的加速度方向1．向心加速度定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。2．向心加速度方向：总沿半径指向圆心，并且与线速度方向垂直。3．向心加速度的物理意义：描述线速度方向变更快慢的物理量。如图所示为游乐设施旋转飞车的示意图，旋转飞车的运动可以看作匀速圆周运动。【问题】(1)飞车做匀速圆周运动时，飞车受几个力？合力的方向如何？(2)合力产生的加速度就是向心加速度吗？(3)当飞车加速旋转过程中，合力产生的加速度就是向心加速度吗？(4)圆周运动的加速度方向确定指向圆心吗？提示：(1)在匀速圆周运动中，飞车受两个力，重力和绳子的拉力，合力指向做圆周运动的圆心。(2)合力产生的加速度就是向心加速度，加速度方向确定指向圆心。(3)飞车加速旋转过程中，合力产生的加速度不是向心加速度。(4)匀速圆周运动的加速度方向确定指向圆心，非匀速圆周运动的加速度方向不指向圆心。1．向心加速度的物理意义向心加速度只表示线速度方向变更的快慢，不表示线速度大小变更的快慢。2．向心加速度方向特点(1)指向圆心：无论匀速圆周运动，还是变速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心，或者说与线速度的方向垂直。(2)时刻变更：无论向心加速度的大小是否变更，向心加速度的方向随线速度方向的变更而变更。所以一切圆周运动都是变加速曲线运动。3．非匀速圆周运动的加速度对于非匀速圆周运动，如图所示。(1)物体加速度的方向不再指向圆心。(2)其中一个分加速度的方向指向圆心，为向心加速度，其作用照旧是变更速度的方向。(3)另一个分加速度变更速度的大小。【典例1】关于向心加速度，下列说法正确的是()A．向心加速度是描述线速度大小变更快慢的物理量B．向心加速度只变更线速度的方向，不变更线速度的大小C．向心加速度的大小恒定，方向时刻变更D．向心加速度是平均加速度，大小可用a＝v-vB[向心加速度只变更线速度的方向，不变更线速度的大小，它是描述线速度方向变更快慢的物理量，A错误，B正确；只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，C错误；公式a＝v-v[跟进训练]1．下列关于向心加速度的说法中正确的是()A．向心加速度的方向始终指向圆心B．向心加速度的方向保持不变C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变更A[向心加速度的方向时刻指向圆心，A正确；向心加速度的大小不变，方向时刻指向圆心，不断变更，故B、C、D错误。]匀速圆周运动的加速度大小1．基本公式an＝v2r＝ω22．拓展公式an＝4π2T2·如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，RC＞RA＞RB。A、B、C是它们边缘上的三个点，请思索：【问题】(1)哪两个点的向心加速度与半径成正比？(2)哪两个点的向心加速度与半径成反比？(3)如何比较A点和C点的向心加速度大小？提示：(1)B、C两个点同轴转动，它们的角速度相同，向心加速度与半径成正比。(2)A、B两个点的线速度大小相等，向心加速度与半径成反比。(3)依据A、B两点线速度大小相等，可知aB＞aA，再依据B、C两点角速度相等，可知aC＞aB，故aC＞aA。1．向心加速度的几种表达式2．向心加速度的大小与半径的关系(1)当半径确定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比。随频率的增大或周期的减小而增大。(2)当角速度确定时，向心加速度的大小与运动半径成正比。(3)当线速度确定时，向心加速度的大小与运动半径成反比。(4)an与r的关系图像：如图所示，由an-r图像可以看出，an与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。【典例2】如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的13。当大轮边缘上的P点的向心加速度是12m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q[思路点拨](1)P和S在同一轮上，角速度相同，选用an＝ω2r计算向心加速度。(2)P和Q为皮带传动的两个轮边缘上的点，线速度大小相等，选用an＝v2[解析]同一轮上的S点和P点的角速度相同，即ωS＝ωP由向心加速度公式an＝ω2r，得aSa故aS＝rSrPaP＝13又因为皮带不打滑，所以皮带传动的两轮边缘上各点的线速度大小相等，即vP＝vQ由向心加速度公式an＝v2r，得a故aQ＝rPrQaP＝2×12m/s2[答案]4m/s224m/s2向心加速度表达式的应用技巧(1)角速度相等时，探讨an与v的关系用an＝ωv分析比较。(2)周期相等时，探讨an与r的关系用an＝4π2(3)线速度相等时，探讨an与r的关系用an＝v2(4)线速度相等时，探讨an与ω的关系用an＝ωv分析比较。[跟进训练]2．(多选)如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度a的大小随半径r变更的图像，其中A为反比例函数图像的一个分支，由图可知()A．A物体运动的线速度大小不变B．A物体运动的角速度不变C．B物体运动的角速度不变D．B物体运动的线速度大小不变AC[由a＝v2r知，做匀速圆周运动的物体线速度大小不变时，加速度与半径成反比，故A正确，B错误；由a＝rω3．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动周期之比为3∶4，则它们的向心加速度大小之比为()A．1∶4 B．4∶1C．4∶9 D．9∶4B[设甲、乙两个物体的转动半径分别为r1、r2，周期分别为T1、T2，依据题意r1r2＝94，T1T2＝34，由an＝4π2T2r得：a11．关于向心加速度，下列说法正确的是()A．向心加速度是描述物体速率变更快慢的物理量B．匀速圆周运动的向心加速度恒定不变C．向心加速度是描述物体运动方向变更快慢的物理量D．向心加速度随着轨道半径的增大而减小C[向心加速度与速度垂直，是描述物体运动方向变更快慢的物理量，故A错误，C正确；匀速圆周运动的向心加速度大小不变、方向时刻变更，是变更的，故B错误；依据an＝ω2r可知，角速度确定时，轨道半径越大，向心加速度越大，故D错误。]2．关于质点做匀速圆周运动，下列说法正确的是()A．由a＝v2r知a与B．由a＝ω2r知a与r成正比C．由ω＝vr知ω与rD．由ω＝2πn知ω与转速n成正比D[由a＝v2r可知，v确定时，a与r成反比，A错误；由a＝ω2r可知，ω确定时，a与r成正比，B错误；由ω＝vr可知，v确定时，ω与r成反比，C错误；因为2π是恒量，由ω＝2πn可知，ω3．如图所示，半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO′匀速转动，在距轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球。当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为()A．ω2R B．ω2rC．ω2Lsinθ D．ω2(r＋Lsinθ)D[小球运动的轨迹是水平面内的圆，如题图中虚线所示，其圆心是水平面与转轴OO′的交点，所以圆周运动的半径为r＋Lsinθ，由an＝rω2，可知其加速度大小为ω2(r＋Lsinθ)，选项D正确。]4．A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30r/min，B的转速为15r/min。则两球的向心加速度之比为()A．1∶1 B．2∶1C．4∶1 D．8∶1D[由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB＝nA∶nB＝2∶1，所以两小球的向心加速度之比aA∶aB＝ωA2R回来本节学问，自我完成以下问题：1．圆周运动的加速度确定指向圆心吗？提示：不确定，只有匀速圆周运动的加速度才指向圆心。2．向心加速度的物理意义是什么？提示：反映线速度方向变更快慢。3．向心加速度表达式有哪些？提示：an＝v2r＝ω2r＝4π2旋转的足球——香蕉球宠爱足球的人确定知道“香蕉球”，即运动员踢出的足球在行进中绕过“人墙”转弯进入球门，其轨迹如图甲所示。运动员踢出足球时，一方面使它向前运动，另一方面又使它绕轴旋转。设旋转方向和前进方向如图乙(a)所示，若自上向下看，如图乙(b)，由于足球的自转，足球表面旁边有一层空气被足球带动做同一旋向的转动，造成足球A、B两侧旁边空气相对于足球的速度不相等，A侧旁边空气的流速大于B侧旁边空气的流速。依据流体的速度与压强的关系可知，空气对足球B侧的压强大于对A侧的压强，从而使足球的A、B两侧形成一个压力差，其合力F的方向由B指向A，正是这个压力差，使足球偏离了原来的运动方向，在空中划出一条形如香蕉的轨迹。(1)图乙(a)中的a、b两点相同的物理量是什么？(2)a、b两点的向心加速度哪个大？提示：(1)相同的角速度。(2)b点向心加速度大。课时分层作业(六)向心加速度◎题组一对向心加速度的理解1．下列关于向心加速度的说法中，正确的是()A．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变更B．向心加速度的方向始终保持不变C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直D[向心加速度的方向始终沿半径方向指向圆心，与速度的方向垂直，它的方向始终在变更，故B错误，D正确；匀速圆周运动的向心加速度的大小始终不变，但是方向时刻变更，所以匀速圆周运动的向心加速度时刻变更，故A、C错误。]2．做匀速圆周运动的两物体甲和乙，它们的向心加速度分别为a1和a2，且a1>a2，下列推断正确的是()A．甲的线速度大于乙的线速度B．甲的角速度比乙的角速度小C．甲的轨道半径比乙的轨道半径小D．甲的速度方向比乙的速度方向变更快D[由于不知甲和乙做匀速圆周运动的半径大小关系，故不能确定它们的线速度、角速度的大小关系，A、B、C错误。向心加速度是表示线速度方向变更快慢的物理量，a1>a2，表明甲的速度方向比乙的速度方向变更快，D正确。]3．(多选)如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在水平面内做圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是()ABCDBD[若小球做匀速圆周运动，则合外力供应向心力，加速度指向圆心，故B项正确；若小球做变速圆周运动，运动到图示的P点时，所受的合力可分解为向心力和沿切向方向的分力，即P点的加速度可分解为沿PO方向的向心加速度和垂直于PO的切向加速度，故D项正确。]◎题组二向心加速度的表达式及应用4．“旋转纽扣”是一种传统嬉戏。如图所示，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50r/s，此时纽扣上距离中心1cm处的点向心加速度大小约为()A．10m/s2 B．100m/s2C．1000m/s2 D．10000m/s2C[向心加速度的公式an＝rω2，结合角速度与转速的关系ω＝2πn，代入数据可得an约为1000m/s2，C正确。]5．(多选)冰上芭蕾舞表演中，演员绽开双臂单脚点地做着美丽的旋转动作，在他将双臂渐渐放下的过程中，他转动的速度会渐渐变快，则他肩上某点随之转动的()A．周期变大 B．线速度变大C．角速度变大 D．向心加速度变大BCD[他转动的速度渐渐变快，说明角速度变大，而v＝ωr，an＝ω2r，T＝2πω，随ω的增大，v、an在变大，6．(2024·济南市第一中学高一期中)2024年11月8日，中国载人航天工程空间站顺当完成第三次航天员出舱活动，本次出舱先后完成了机械臂悬挂装置与转接件安装测试工作。机械臂绕图中O点旋转时，旋转臂上A、B两点的线速度v、角速度ω、周期T、向心加速度a的关系正确的是()A．vA>vB、aA>aB B．vA<vB、TA＝TBC．ωA>ωB、aA>aB D．vA<vB、ωA>ωBB[在旋转过程中，各点都绕O点同轴转动，所以各点的角速度是相同的，依据T＝2πω可知，A、B两点的周期也是相等的，依据v＝rω可知，7．如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍，压路机匀速行进时，大轮边缘上A点的向心加速度是0.12m/s2，那么小轮边缘上的B点向心加速度是多少？大轮上距轴心的距离为R3的C点[解析]由题意知vB＝vA，由a＝v2r，得aB所以aB＝0.24m/s2，因为ωA＝ωC，由a＝ω2r，得aCaA＝所以aC＝0.04m/s2。[答案]0.24m/s20.04m/s28．(多选)如图所示，一小物块在外力作用下，以大小为a＝4m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1m，则下列说法正确的是()A．小物块运动的角速度为2rad/sB．小物块做圆周运动的周期为πsC．小物块在t＝π4s内通过的位移大小为πD．小物块在πs内通过的路程为零AB[因为a＝ω2R，所以小物块运动的角速度为ω＝aR＝2rad/s，故A项正确；周期T＝2πω＝πs，故B项正确；小物块在π4s内转过9．(多选)一小球质量为m，用长为L的悬绳(不行伸长，质量不计)固定于O点，在O点正下方L2A．小球的角速度突然增大B．小球的线速度突然减小到零C．小球的向心加速度突然增大D．小球的向心加速度不变AC[由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不会发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由v＝ωr知，角速度变为原来的2倍，A正确，B错误；由a＝v210．如图甲所示，修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，其原理可简化为图乙中所示的模型。A、B是转动的大、小齿轮边缘的两点，C是大轮上的一点。若大轮半径是小轮的两倍，C为大轮半径的中点，则A、B、C三点()A．线速度之比是1∶1∶2B．角速度之比是1∶2∶2C．向心加速度之比是4∶2∶1D．转动周期之比是2∶1∶1C[由于是齿轮传动，可知vA＝vB，由于B、C在同一个轮上，因此ωB＝ωC，依据v＝ωr可得vB∶vC＝rB∶rC＝2∶1，因此vA∶vB∶vC＝2∶2∶1，A错误；依据ω＝vr，可得ωA∶ωB＝rB∶rA＝2∶1，因此ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶1，B错误；依据a＝ω2r＝ωv，因此aA∶aB∶aC＝ωAvA∶ωBvB∶ωCvC＝4∶2∶1，C正确；依据T＝2πω，可得TA∶TB∶TC＝1ωA11．(2024·江西南昌高一期中)如图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O