2024八年级数学下册专题突破第07讲三角形的中位线专题复习含解析新版浙教版

Page22第7讲三角形的中位线专题探究类型一三角形中位线定理学问点睛：三角形中位线定理的应用（1）证明平行问题;（2）证明一边是另一边的2倍或（3）解决"中点问题".留意∶在处理这些问题时，要求出现三角形及其中位线：①有中点连线而无三角形，要作帮助线产生三角形;②有三角形而无中位线，要作中点的连线或过中点作平行线.类题训练1．（罗湖区校级期末）如图，△ABC的面积是16，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】依据中线的性质，可得：△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝2，△AEG的面积＝2，依据三角形中位线的性质可得△EFG的面积＝×△BCE的面积＝2，进而得到△AFG的面积．【解答】解：∵点D是BC的中点，∴AD是△ABC的中线，∴△ABD的面积＝△ADC的面积＝×△ABC的面积，同理得：△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝×16＝2，△AEG的面积＝2，△BCE的面积＝×△ABC的面积＝8，又∵FG是△BCE的中位线，∴△EFG的面积＝×△BCE的面积＝×8＝2，∴△AFG的面积是2×3＝6，故选：A．2．（寿光市期末）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【分析】延长AF交BC于H，由三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC＝6，AF＝FH，再证△BFA≌△BFH（AAS），得BH＝AB＝8，然后由三角形中位线定理得DF＝4，求解即可．【解答】解：连接AF并延长交BC于H，如图所示：∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC＝6，AF＝FH，在△BFA和△BFH中，，∴△BFA≌△BFH（AAS），∴BH＝AB＝8，∵AD＝DB，AF＝FH，∴DF是△ABH的中位线，∴DF＝BH＝4，∴EF＝DE﹣DF＝2，故选：C．3．（海阳市期末）如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝，则△ABC的周长为（）A．17 B．18 C．19 D．20【分析】利用ASA定理证明△BNA≌△BNE，依据全等三角形的性质得到BE＝BA，AN＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，依据三角形中位线定理求出DE，依据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BE＝BA，AN＝NE，同理，CD＝CA，AM＝MD，∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝，∴DE＝2MN＝3，∵BE+CD﹣BC＝DE，∴AB+AC＝BC+DE＝10，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+7＝17，故选：A．4．（江干区期末）如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，已知AB＝10，AC＝18，则DE的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】延长BE交AC于F，证明△AEF≌△AEB，依据全等三角形的性质得到AF＝AB＝10，BE＝EF，依据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：延长BE交AC于F，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEF＝90°，在△AEF和△AEB中，，∴△AEF≌△AEB（ASA）∴AF＝AB＝10，BE＝EF，∴CF＝AC﹣AF＝8，∵BE＝EF，BD＝DC，∴DE＝CF＝4，故选：A．5．（吴兴区二模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为4cm2，则△DEF的面积是（）cm2．A．0.5 B．1 C．2 D．4【分析】依据三角形中位线定理得到EF＝AB，ED＝AC，DF＝BC，进而证明△EFD∽△ABC，依据相像三角形的面积比等于相像比的平方计算即可．【解答】解：∵点D、E、F分别是各边的中点，∴EF＝AB，ED＝AC，DF＝BC，∴＝＝＝，∴△EFD∽△ABC，且相像比为，∴＝（）2＝，∵△ABC的面积为4cm2，∴△DEF的面积是1cm2，故选：B．6．（广饶县期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（）A． B． C．1 D．【分析】取BF的中点H，连接DH，依据三角形中位线定理得到DH＝FC，DH∥AC，证明△AEF≌△DEH，依据全等三角形的性质得到AF＝DH，计算即可．【解答】解：取BF的中点H，连接DH，∵BD＝DC，BH＝HF，∴DH＝FC，DH∥AC，∴∠HDE＝∠FAE，在△AEF和△DEH中，，∴△AEF≌△DEH（ASA），∴AF＝DH，∴AF＝FC，∵AC＝4，∴AF＝，故选：B．7．（龙口市期末）如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，…如此下去，则△AnBn∁n的周长为（）A．a B．a C．a D．a【分析】依据三角形中位线定理得到△A1B1C1的周长＝a，△A2B2C2的周长＝a＝a，总结规律，依据规律解答即可．【解答】解：∵点A1、B1、C1分别为BC、AC、AB的中点，∴B1C1＝BC，A1C1＝AC，A1B1＝AB，∴△A1B1C1的周长＝a，同理，△A2B2C2的周长＝a＝a，……则△AnBn∁n的周长＝a，故选：A．8．（东莞市校级期末）如图，已知△ABC中AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④∠DAE＝90°．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】连接EC，依据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，即可推断①；求出∠FAE＝∠B，再依据平行线的性质得出AE∥BC，即可推断②；求出四边形ABDE是平行四边形，依据平行四边形的性质得出AE＝BD，求出AE＝CD，依据矩形的判定推出四边形ADCE是矩形，依据矩形的性质得出AC＝DE，AG＝CG，DG＝EG，求出DG＝AG＝CG＝EG，依据勾股定理推断④即可；依据AE＝BD＝BC和AG＝AC推断③即可．【解答】解：连接EC，∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，故①正确；∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE平分∠FAC，∴∠FAC＝2∠FAE，∵∠FAC＝∠B+∠ACB，∴∠FAE＝∠B，∴AE∥BC，故②正确；∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∴AE＝CD，∵AE∥BC，∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴∠DAE＝90°，故④正确；∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；即正确的个数是3个，故选：C．类型二三角形中位线在四边形中的应用学问点睛：四边形中中位线的构造四边形边上有中点时，取其对角线中点构造三角形中位线;四边形对角线上有中点时，取边的中点构造三角形中位线.此类中位线的构造常出现在等对边四边形或等对角线四边形题目中，用于推断线段关系或由线段引发的角度关系。留意∶构造出的中位线往往是相等的，且正好是等对边或等对角线的一半.类题训练1．（孟津县期末）如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长慢慢增大 B．线段EF的长慢慢削减 C．线段EF的长不变 D．△ABP和△CRP的面积和不变【分析】连接AR，依据三角形的中位线定理可得EF＝AR，依据AR的变更状况即可推断．【解答】解：连接AR，∵E，F分别是AP，RP的中点，∴EF＝AR，∵当点P在BC上从点C向点B移动，点R从点D向点C移动时，AR的长度慢慢增大，∴线段EF的长慢慢增大．S△ABP+S△CRP＝BC•（AB+CR）．∵CR随着点R的运动而减小，∴△ABP和△CRP的面积和慢慢减小．视察选项，只有选项A符合题意．故选：A．2．（新城区校级期末）如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．50°【分析】依据三角形中位线定理得到PF＝BC，PE＝AD，进而证明PF＝PE，依据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．【解答】解：∵P、F分别是BD、CD的中点，∴PF＝BC，同理可得：PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，∵∠EPF＝130°，∴∠PEF＝∠PFE＝×（180°﹣130°）＝25°，故选：A．3．（南阳模拟）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则EF的长为（）A．1 B．1.5 C．2.5 D．3.5【分析】延长FE交CD于点G，由点E，F分别是对角线AC，BD的中点，从而得FG是△BCD的中位线，则有FG＝2.5，再由AD∥BC，则有FG∥AD，EG是△ACD的中位线，则有EG＝1，从而可求EF的长．【解答】解：∵取DC中点G，连结FG、EG，如图所示：∵点E，F分别是对角线AC，BD的中点，∴FG∥BC，EG∥AD，∵AD∥BC，∴EG∥BC，FG∥EG，∴E、F、G三点共线，∴FG是△BCD的中位线，∴FG＝BC＝2.5，∵AD∥BC，∴EG∥AD，∴EG是△ACD的中位线，∴EG＝AD＝1，∴EF＝FG﹣EG＝1.5．故选：B．4．（龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（）A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF【分析】取AC的中点G，连接EF，EG，GF，依据三角形中位线定理求出EG＝BC，GF＝AD，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD，BC和EF的关系．【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，∵E，F分别是边AB，CD的中点，∴EG，GF分别是△ABC和△ACD的中位线，∴EG＝BC，GF＝AD，在△EGF中，由三角形三边关系得EG+GF＞EF，即BC+AD＞EF，∴AD+BC＞2EF，当AD∥BC时，点E、F、G在同一条直线上，∴AD+BC＝2EF，所以四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是AD+BC≥2EF．故选：B．5．（宛城区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（）A．2.5 B．3 C．4 D．5【分析】如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，首先证明CH＝BD，∠ECH＝90°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可解决问题．【解答】解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°，∵∠A＝90°，∴∠ECH＝∠A＝90°，在△DNB和△HNC中，，∴△DNB≌△HNC（ASA），∴CH＝BD＝4，DN＝NH，在Rt△CEH中，CH＝4，CE＝3，∴EH＝＝＝5，∵DM＝ME，DN＝NH，∴MN＝EH＝2.5，故选：A．6．（凤山县期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝4，M，N分别是边BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合）点E，F分别是线段DM，MN的中点，若线段EF的最大值为2.5，则AD的长为（）A．5 B． C．2.5 D．3【分析】依据三角形的中位线定理得出EF＝DN，从而可知DN最大时，EF的最大值为2.5，因为N与B重合时DN最大，此时依据勾股定理求得DN＝DB．【解答】解：∵点E，F分别是线段DM，MN的中点，∴ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大时，EF最大，∵线段EF的最大值为2.5，∴DN＝2EF＝5．∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB＝＝＝5，∴AD＝3．故选：D．7．（鄞州区期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，点M是对角线AC的中点，点N是AD边的中点，连结BM，MN，若BM＝3MN，则线段CD的长是（）A． B．3 C． D．5【分析】首先由勾股定理求得AC的长度，结合直角三角形斜边上中线的性质得到BM＝AC，三角形中位线定理得到CD＝2MN．【解答】解：如图，在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，则由勾股定理知，AC＝＝＝10．∵点N是AD边的中点，∴BM＝AC＝5．∵BM＝3MN，∴MN＝BM＝．∵点M是对角线AC的中点，点N是AD边的中点，∴MN是△ACD的中位线．∵CD＝2MN＝2×＝．故选：C．8．（陈仓区期末）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝CD＝4，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD＝20°，∠BDC＝80°，则MN的长是．【分析】作PH⊥MN于H，依据三角形中位线定理求出PM、PN、∠MPN，依据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．【解答】解：作PH⊥MN于H，∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PM＝AB＝2，PN＝CD＝2，PM∥AB，PN∥CD，∴∠MPD＝∠ABD＝20°，∠BPN＝∠BDC＝80°，PM＝PN，∴∠MPN＝120°，∵PM＝PN，∴∠PMN＝30°，MH＝HN，∴PH＝PM＝1，由勾股定理得，MH＝＝，∴MN＝2MH＝2，故答案为：2．9．（垦利区期末）如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是．【分析】依据三角形中位线定理得到FG∥EH，FG＝EH，依据平行四边形的判定定理和周长解答即可．【解答】解：∵F，G分别为BC，CD的中点，∴FG＝BD＝4，FG∥BD，∵E，H分别为AB，DA的中点，∴EH＝BD＝4，EH∥BD，∴FG∥EH，FG＝EH，∴四边形EFGH为平行四边形，∴EF＝GH＝AC＝3，∴四边形EFGH的周长＝3+3+4+4＝14，故答案为：1410．（商丘四模）如图，四边形ABCD中，点E、F分别为AD、BC的中点，延长FE交CD延长线于点G，交BA延长线于点H，若∠BHF与∠CGF互余，AB＝4，CD＝6，则EF的长为．【分析】依据三角形的中位线定理和勾股定理解答即可．【解答】解：连接BD，取BD的中点M，连接EM，FM，∵E、F分别为AD、BC的中点，M为BD的中点，∴EM，MF分别为△ADB、△BCD的中位线，∴EM∥AB，MF∥DC，EM＝AB＝2，MF＝DC＝3，∵MF∥DC，∴∠FGC＝∠EFM，∵EM∥AB，∴∠FEM＝∠FHB，∵∠BHF与∠CGF互余，∴∠CGF+∠BHF＝∠EFM+∠FEM＝90°，∴∠EMF＝180°﹣∠EFM﹣∠FEM＝90°，∴△EMF是直角三角形，∴EF＝，故答案为：．11．（莱州市期末）如图，两个等腰Rt△ABC和Rt△CEF，点B在CE上，∠ABC＝∠E＝90°，连接AF，取AF的中点M，连接MB．求证：BM∥CF．【分析】如图所示，延长AB交CF于点D．依据全等三角形的性质得到AB＝BD，推出BM是△ADF的中位线，于是得到结论．【解答】证明：如图所示，延长AB交CF于点D．∵∠ABC＝90°∴∠CBD＝90°∵Rt△ABC和Rt△CEF是等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠ECF＝45°，∵BC＝BC，∴△ACB≌△DCB（ASA），∴AB＝BD，∵点M是AF的中点，∴AN＝FM，∴BM是△ADF的中位线，∴BM∥CF．类型三中位线的构造方法总结（一）.连接两点构造三角形的中位线如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．（1）求证：PM＝PN；（2）求∠MPN的度数．【分析】（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，证明△ABE≌△DBC，得到AE＝DC，利用中位线的性质证明PM＝PN；（2）依据中位线的性质把∠MPA+∠NPC转化成∠MCA+∠MAC，依据∠DMA＝∠MCA+∠MAC可知求出∠DMA度数即可．【解答】解：（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，在△ABE和△DBC中，∴△ABE≌△DBC（SAS）．∴AE＝DC．∵P为AC中点，N为EC中点，∴PN＝AE．同理可得PM＝DC．所以PM＝PN．（2）∵P为AC中点，N为EC中点，∴PN∥AE．∴∠NPC＝∠EAC．同理可得∠MPA＝∠DCA∴∠MPA+∠NPC＝∠EAC+∠DCA．又∠DQA＝∠EAC+∠DCA，∴∠MPA+∠NPC＝∠DQA．∵△ABE≌△DBC，∴∠QDB＝∠BAQ．∴∠DQA＝∠DBA＝60°．∴∠MPA+∠NPC＝60°．∴∠MPN＝180°﹣60°＝120°．利用角平分线和垂直构造中位线1．（芝罘区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（）A．1 B．2 C．4 D．【分析】延长CF交AB于G，依据等腰三角形的判定和性质得到AG＝AC＝4，FG＝CF，进而求出BG，依据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：延长CF交AB于G，∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，∴△ACG是等腰三角形，∴AG＝AC＝4，FG＝CF，∴BG＝AB﹣AG＝6﹣4＝2，∵AE为△ABC的中线，∴EF是△BCG的中位线，∴EF＝BG＝1，故选：A．2．（东宝区校级月考）在△ABC中，点D是AB的中点，CE平分∠ACB，AE⊥CE于点E．（1）求证：DE∥BC；（2）若AC＝5，BC＝7，求DE的长．【分析】（1）依据CE平分∠ACB，AE⊥CE，运用ASA易证明△ACE≌△FCE．依据全等三角形的性质，得AE＝EF，CF＝AC，依据三角形的中位线定理即可得到结论；（2）依据三角形的中位线定理就可求解．【解答】解：（1）延长AE交BC于F，∵CE平分∠ACB，AE⊥CE于点E，∴∠ACE＝∠FCE，∠AEC＝∠FEC＝90°，在△ACE和△FCE中，，∴△ACE≌△FCE．∴AE＝EF，∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，∴DE是△ABF的中位线．∴DE∥BC；（2）∵△ACE≌△FCE，∴CF＝AC＝5，∵DE是△ABF的中位线．∴DE＝BF＝（BC﹣AC）＝（7﹣5）＝1，故DE的长为1．倍长法构造三角形中位线（越秀区校级二模）如图，△ABC、△BEF为等腰直角三角形，∠ABC＝∠BEF＝90°，BA＝BC，EB＝EF，连接AF、CF，M为AF的中点．（1）如图1，当A、F、B共线时，求证：ME＝CF；（2）如图2，当A、F、B不共线时，求证：ME＝CF；（3）设BC＝2，请干脆写出BF+AF+CF的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，延长FE到D，使ED＝EF，连接AD、BD，∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，∴∠BFE＝45°，BE⊥DF，∴BE垂直平分DF，∴∠BDE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BD＝BF，∠DBF＝90°，在△ABD和△CBF中，，∴△ABD≌△CBF（SAS），∴AD＝CF，∵M为AF的中点，DE＝EF，∴ME是△ADF的中位线，∴ME＝AD，∴ME＝CF．（2）证明：如图2中，延长FE到D，使ED＝EF，连接AD、BD，∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，∴∠BFE＝45°，BE⊥DF，∴BE垂直平分DF，∴∠BDE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BD＝BF，∠DBF＝90°，∵∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝90°，∠ABD+∠ABF＝∠DBF＝90°，∴∠CBF＝∠ABD，在△ABD和△CBF中，，∴△ABD≌△CBF（SAS），∴AD＝CF，∵M为AF的中点，DE＝EF，∴ME是△ADF的中位线，∴ME＝AD，∴ME＝CF．（3）解：如图3中，以CF为边在CF的右侧作等边△CFM，将△CFB绕点C逆时针旋转60°得到△CME，连接AE，作EH⊥AC于H，在EH上取一点D，使得CD＝DE，连接DC．∵CF＝FM，FB＝ME，∴AF+CF+FB＝AF+FM+ME，∵AE≤AF+FM+ME，∴当A，F，M，E共线时，AF+FC+BF的值最小，∵∠ACB＝45°，∠BCE＝60°，∴∠ACE＝45°+60°＝105°，∴∠ECH＝75°，∵∠