平面几何探究试题

...wd......wd......wd...几何探究试题1.我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮〞结论，利用这些性质可以解决三角形中的假设干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：〔1〕假设O是△ABC的重心〔如图1〕，连结AO并延长交BC于D，证明：；〔2〕假设AD是△ABC的一条中线〔如图2〕，O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗如果是，请证明；如果不是，请说明理由；解答： 〔1〕证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E．∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点．∴DE是中位线，∴DE∥AC，且DE=AC．∵DE∥AC，∴△AOC∽△DOE，∴=2，∵AD=AO+OD，∴．〔2〕答：点O是△ABC的重心．证明：如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由〔1〕可知，=，而，∴点Q与点O重合〔是同一个点〕，∴点O是△ABC的重心．2.〔自贡市〕将两块全等的三角板如图①摆放，其中°，°．〔1〕将图①中的顺时针旋转45°得图②，点是与的交点，点Q是与BC的交点，求证：；〔2〕在图②中，假设，则等于多少〔3〕如图③，在上取一点E，连接、，设，当时，求面积的最大值．〔1〕证明：°，°°(1′)又，〔ASA〕 (2′)(3′)〔2〕作于，°，(4′)°°(5′)(6′)又，(7′)〔3〕解：°，°°(8′)由旋转的性质可知∽(9′)设(10′)在中，°(11′)时(12′)3.〔2013•衢州〕【提出问题】〔1〕如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点〔不含端点B、C〕，连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】〔2〕如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点〔不含端点C〕，其它条件不变，〔1〕中结论∠ABC=∠ACN还成立吗请说明理由．【拓展延伸】〔3〕如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点〔不含端点B、C〕，连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．〔1〕证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN〔SAS〕，∴∠ABC=∠ACN．〔2〕解：结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN〔SAS〕，∴∠ABC=∠ACN．〔3〕解：∠ABC=∠ACN．理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴=，又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC=∠ACN．4.〔2013•烟台〕，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点〔不与A，B重合〕，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．〔1〕如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系式QE=QF；〔2〕如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；〔3〕如图3，当点P在线段BA〔或AB〕的延长线上时，此时〔2〕中的结论是否成立请画出图形并给予证明．解：〔1〕AE∥BF，QE=QF，理由是：如图1，∵Q为AB中点，∴AQ=BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，在△BFQ和△AEQ中∴△BFQ≌△AEQ〔AAS〕，∴QE=QF，故答案为：AE∥BF，QE=QF．〔2〕QE=QF，证明：如图2，延长FQ交AE于D，∵AE∥BF，∴∠QAD=∠FBQ，在△FBQ和△DAQ中∴△FBQ≌△DAQ〔ASA〕，∴QF=QD，∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，∴QE=QF=QD，即QE=QF．〔3〕〔2〕中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ、FB交于D，∵AE∥BF，∴∠1=∠D，在△AQE和△BQD中，∴△AQE≌△BQD〔AAS〕，∴QE=QD，∵BF⊥CP，∴FQ是斜边DE上的中线，∴QE=QF．点评： 此题考察了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等．5.〔潍坊市〕如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形.现将小长方形绕点顺时针旋转至,旋转角为.〔1〕当点恰好落在边上时，求旋转角的值；〔2〕如图2，为的中点，且0°＜＜90°，求证：；〔3〕小长方形绕点顺时针旋转一周的过程中，与能否全等假设能，直接写出旋转角的值；假设不能，说明理由.答案：(1)∵DC//EF,∴∠DCD′=∠CD′E=∠CD′E=α.∴sinα=,∴α=30°(2)∵G为BC中点，∴GC=CE′=CE=1，∵∠D′CG=∠DCG+∠DCD′=90°+α,∠DCE′=∠D′CE′+∠DCD′=90°+α,∴∠D′CG=∠DCE′又∵CD′=CD,∴△GCD′≌△E′CD,∴GD′=E′D(3)能.α=135°或α=315°考点：图形的旋转、三角函数、解直角三角形、全等三角形的判定点评：此题依据学生的认知规律，从简单特殊的问题入手，将问题向一般进展拓展、变式，通过操作、观察、计算、猜测等获得结论.此类问题综合性较强，要完成此题学生需要有较强的类比、迁移、分析、变形应用、综合、推理和探究能力．6.〔黑龙江龙东地区〕正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．〔1〕如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE〔不需证明〕〔2〕当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有若何的关系请直接写出你的猜测，并选择一种情况给予证明．分析： 〔1〕过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边〞证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；〔2〕选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边〞证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证．解答： 〔1〕证明：如图，过点B作BG⊥OE于G，则四边形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG，∵在△AOE和△OBG中，，∴△AOE≌△OBG〔AAS〕，∴OG=AE，OE=BG，∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF，∴AF﹣OE=OE﹣BF，∴AF+BF=2OE；〔2〕图2结论：AF﹣BF=2OE，图3结论：AF﹣BF=2OE．对图2证明：过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，则四边形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG，∵在△AOE和△OBG中，，∴△AOE≌△OBG〔AAS〕，∴OG=AE，OE=BG，∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，∴AF﹣OE=OE+BF，∴AF﹣BF=2OE；假设选图3，其证明方法同上．点评： 此题考察了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是此题的难点．7.〔•绥化〕，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点〔点D不与点B，C重合〕．以AD为边做正方形ADEF，连接CF〔1〕如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；〔2〕如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；〔3〕如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②假设正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．证明：〔1〕∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，则在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF〔SAS〕，∴BD=CF，∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC；〔2〕CF﹣CD=BC；〔3〕①CD﹣CF=BC②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，∴∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF〔SAS〕，∴∠ACF=∠ABD，∵∠ABC=45°，∴∠ABD=135°，∴∠ACF=∠ABD=135°，∴∠FCD=90°，∴△FCD是直角三角形．∵正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点O．∴DF=AD=4，O为DF中点．∴OC=DF=2．点评： 此题考察了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用，证明三角形全等是关键．8.〔2013•本溪〕在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M．〔1〕如图1，当∠A=30°时，求证：MC2=AM2+BC2；〔2〕如图2，当∠A≠30°时，〔1〕中的结论是否成立如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；〔3〕将三角形ODE绕点O旋转，假设直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N，连接MN，则MN2=AM2+BN2成立吗答：〔填“成立〞或“不成立〞〕分析： 〔1〕过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，根据相似求出AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根据勾股定理求出即可；〔2〕过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，根据相似求出AF=BC，CO=OF，求出FM=CM，根据勾股定理求出即可；〔3〕结论依然成立．解答： 〔1〕证明：如图1，过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，∵∠ACB=90°，∴BC∥AF，∴△BOC∽△AOF，∴==，∵O为AB中点，∴OA=OB，∴AF=BC，CO=OF，∵∠MOC=90°，∴OM是CF的垂直平分线，∴CM=MF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，即MC2=AM2+BC2；〔2〕解：还成立，理由是：如图2，过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，∵∠ACB=90°，∴BC∥AF，∴△BOC∽△AOF，∴==，∵OA=OB，∴AF=BC，CO=OF，∵∠MOC=90°，∴OM是CF的垂直平分线，∴CM=MF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，即MC2=AM2+BC2；〔3〕成立．点评： 此题考察了直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考察学生综合运用性质和定理进展推理的能力，题目对比好，证明过程类似．〔2013•临沂〕如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．〔1〕当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为；〔2〕现将三角板绕点P逆时针旋转α〔0°＜α＜60°〕角，如图2，求的值；〔3〕在〔2〕的根基上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化证明你的结论．分析： 〔1〕证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值；〔2〕如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用〔1〕的结论，求得的值；〔3〕如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得的值；然后证明△PME∽△PNF，从而由求得的值．与〔1〕〔2〕问相对比，的值发生了变化．解：〔1〕∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，PA=PC；∵PE⊥AB，BC⊥AB，∴PE∥BC，∴∠APE=∠PCF；∵PF⊥BC，AB⊥BC，∴PF∥AB，∴∠PAE=∠CPF．∵在△APE与△PCF中，∴△APE≌△PCF〔ASA〕，∴PE=CF．在Rt△PCF中，=tan30°=，∴=．〔2〕如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN．∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN，又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF，∴．由〔1〕知，=，∴=．〔3〕答：变化．证明：如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB．∵PM∥BC，PN∥AB，∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN，∴△APM∽△PCN，∴，得CN=2PM．在Rt△PCN中，=tan30°=，∴=．∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN，又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF，∴=．∴的值发生变化．9.〔2013•包头〕如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC