重难点04 探究与表达规律 专项讲练（原卷版）-2024小升初数学暑假衔接讲义

重难点04.探究与表达规律专项讲练1.通过具体的问题情境，经历在实际问题中探索规律的过程；2.能归纳具体问题中蕴含的规律，用代数式表示，并通过计算验证；3.在解决问题过程中体验类比、转化等数学思想，培优良好的思维品质。题型探究题型1、数列的规律 2题型2、数（图）表的规律 3题型3、算式的规律 4题型4、图形的规律（一次类） 5题型5、图形的规律（二次类） 6题型6、图形的规律（指数类） 7题型7、循环规律类问题 8培优精练A组（能力提升） 9B组（培优拓展） 121.规律探索型问题解题技巧1）抓住条件中的变与不变：找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律.所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号.2）化繁为简，形转化为数：有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了.3）要进行计算尝试：找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径.4）寻找事物的循环节：有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.2、规律探索型问题常见类型1）数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。2）图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。3）数表规律：解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律。题型1、数列的规律【解题技巧】数列的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系.例1．（2024·海南·一模）观察下列一组数：，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是，第个数是．变式1．（2024·湖北孝感·模拟预测）观察下面两行数：1，5，11，19，29，…；1，3，6，10，15，…．取每行数的第8个数，计算这两个数的和是（

）A．147 B．126 C．107 D．92变式2．（2024·云南昆明·二模）数学活动课上，李老师给出一组按一定规律排列的数：2，，8，，32，…，第n个数是（

）A． B． C． D．题型2、数（图）表的规律【解题技巧】数（图）表的规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系.例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形数阵解释二项式展开式的各项系数，这一数学发现比欧洲早近年，此三角形被后人称为“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，两边上的数都是，其余每个数是它上方的（左右）两数之和．如，，．．．，若从第三行的“”开始，按箭头所指依次构成一列数：，，，，，，，，，，，则这列数中第个数是（

）A．56 B．42 C．28 D．8变式1．（23-24七年级下·山东青岛·期中）观察下面一组数：，2，，4，，6，…，将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下去第10行从左边数第9个数是（

）A． B．90 C． D．91变式2．（2023·山东泰安·统考二模）数学家莱布尼茨在研究中发现了下面的“单位分数三角形”，根据前五行的规律，可以知道第六行第三个数是_________．第一行

第二行

第三行

第四行

第五行

变式3．（2023·浙江杭州·七年级校考期中）已知：在数轴上有两个点A、B，A点表示有理数－4，B点表示有理数6，点P在原点左侧，表示有理数x，且点P到A、B两点的距离和是16，观察下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定y的值是________．

题型3、算式的规律【解题技巧】算式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系.例1．（2024·山西大同·三模）观察下列等式：，，，，照此规律，第个等式为．变式1．（24-25七年级上·广东·假期作业）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从上图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如．把“正方形数”36写成两个相邻的“三角形数”之和，正确的是（）．A． B． C． D．变式2.（2023·湖北七年级期中）观察以下等式：第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：．……按照以上规律．解决下列问题：（1）写出第个等式：____________________．（2）写出你猜想的第个等式：____________________（用含的等式表示）．（3）你认为（2）中所写的式子一定成立吗？请说明理由．题型4、图形的规律（一次类）【解题技巧】图形规律：观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.例1．（2024·陕西西安·模拟预测）下面是用棋子摆成的“小屋子”．摆第1个这样的“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个这样的“小屋子”需要11枚棋子，……，摆第10个这样的“小屋子”需要的棋子数为（

）A．53 B．59 C．65 D．50变式1．（2024·重庆·中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（）A．20 B．21 C．23 D．26变式2．（2024·重庆·二模）把黑色围棋子按如图所示的规律摆放．其中第①个图案有1颗棋子，第②个图案有4颗棋子，第③个图案有7颗棋子，第④个图案有10颗棋子，……，按此规律排列下去，第个图案有25颗棋子，则的值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10题型5、图形的规律（二次类）【解题技巧】图形规律：观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.例1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，，按此归路排列下去，第个图形中圆的个数是（

）个

A． B． C． D．变式1．（2024·四川德阳·三模）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，其中第①个图案用了7个圆点，第②个图案用了10个圆点，第③个图案用了14个圆点，第④个图案用了19个圆点，…，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是（）

A．40 B．49 C．50 D．52变式2．（23-24七年级下·重庆开州·期中）如图，将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，……，依次规律，第8个图形的小圆个数是（

）

A．56 B．58 C．63 D．74题型6、图形的规律（指数类）【解题技巧】图形规律：观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论例1．（2024·山东威海·一模）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，则．借助图形，则（

）A． B． C． D．变式1．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）探索下列式子的规律：，，，…，请计算：．变式2．（2023·安徽安庆·校考二模）用若干个“○”与“▲”按如图方式进行拼图：

(1)观察图形，寻找规律，并将下面的表格填写完整：图1图2图3图4○的个数3921______▲的个数1410______(2)根据你所观察到的规律，分别写出图中“○”与“▲”的个数（用含的代数式表示）．题型7、循环规律类问题【解题技巧】有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干＋地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”．123456789101112天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥如2024年为甲辰年．依据上述规律推断，1949年应为（

）A．癸亥年 B．己丑年 C．癸酉年 D．甲子年变式1．（23-24七年级·江苏·假期作业）计算：，…，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数是．变式2．（2023·江苏扬州·统考二模）现有一列数，，，，，，，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，如果，，则的值为（

）A． B． C． D．A组（能力提升）1．（2024·江苏扬州·中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为（

）A．676 B．674 C．1348 D．13502．（2024·广东河源·一模）如图是一个俄罗斯方块游戏，将正整数至按一定规律排列如图表．通过按键操作平移或旋转图表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）A． B． C． D．3．（2024·河北邢台·模拟预测）如图所示的是2024年2月份的月历，其中“型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字之和为．若，则的最大值为（

）

A．39 B．44 C．65 D．714．（23-24八年级·广东广州·期中）如图，每一幅图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形；第2幅图中有3个平行四边形；第3幅图中有5个平行四边形，…，按此规律排列下去，第n幅图中有平行四边形()A．个 B．个 C．个 D．个5．（2024·浙江温州·二模）在二维码中常用黑白方格表示数码1和0，若下图表示1011，则表示0110的图是（

）A．B．C．D．6．（2024·山东济宁·二模）数据，□，，，，…是按照一定规律有序排列的，则“□”里应填的数是（）A． B． C． D．7．（2024·辽宁锦州·二模）如图，下列各圆中三个扇形上标记的数字之间都有相同的规律，则根据此规律，可以得出图中b的值为(

)A．143 B．140 C．123 D．1208．（2024·云南昆明·一模）按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（

）A． B． C． D．9．（2024·重庆渝中·二模）如图，是由相同的小圆圈按照一定规律摆放而成的，第（1）个图形中小圆圈的个数是7个，第（2）个图形中小圆圈的个数是11个，第（3）个图形中小圆圈的个数是15个，则第（10）个图形中小圆圈的个数是（）A．43 B．47 C．51 D．5510．（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知：，，，，……观察并找出规律，计算的结果11．（2024·山西太原·三模）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形组成，第（1）个图案有3个正方形，第（2）个图案有8个正方形，第（3）个图案有14个正方形，…依此规律，第个图案有个正方形（用含n的代数式表示）．

12．（23-24七年级下·河南郑州·期中）乐乐设计了一个有趣的运算程序：任意写出一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差，然后把差重复这个过程……以579开始，按照此程序运算2024次后得到的数是．13．（2024·黑龙江大庆·一模）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中有1个圆，第2个图形有3个圆，第3个图形中一共有6个圆，第4个图形中一共有10个圆…按此规律排列下去，第10个图形中圆的个数是个14．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，摆第一个图形需要3个黑色棋子，摆第二个图形需要8个黑色棋子，…，按照这样的规律摆下去，摆第8个图形需要黑色棋子的个数是．B组（培优拓展）1．（2024七年级·广东·专题练习）正奇数1，3，5，7，9，…，按如下规律排列，则第8排从左数第2个数是（

）A．57 B．59 C．61 D．632．（2024·江苏镇江·二模）为了了解全校学生的视力情况，将初三年级的500名同学从1到500编号，并按编号从小到大的顺序站成一排报数1、2、3…，报到非3的倍数的退下，3的倍数的留下，留下的同学从编号小的开始继续报数1、2、3…，报到非3的倍数的退下，3的倍数的留下，…，如此继续，最后留下一个同学，则最后留下的这个同学编号是（

）A．3 B．252 C．243 D．4983．（2024·重庆·二模）下列图形都是由边长相等且面积为1的等边三角形按一定的规律组成，其中，第①个图形面积为1，第②个图形面积为4，第③个图形面积为9，…，则第⑩个图形中三角形的个数是（）A．81 B．100 C．99 D．1014．（24-25七年级上·浙江·假期作业）按照下面的方式堆放小球，第5堆有个小球，第n堆有个小球．5．（24-25七年级上·重庆·假期作业）将自然数列按照如图方式排列，如果2算作是第一次拐弯，那么第50次拐弯的数是．6．（2024·四川成都·中考真题）在综合实践活动中，数学兴趣小组对这个自然数中，任取两数之和大于的取法种数进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若，则的值为；若，则的值为．7．（2024·黑龙江大庆·三模）如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两条平行线之间的一列数：，，，，，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…第个数记为，则．8．（2024·山东临沂·二模）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：第组：，；第组：，，，；第组：，，，，，；第组：，，，，，，，；现用表示第组从左往右数第个数，则表示