第三单元函数测试题

第三单元函数第十三课时二次函数的图像与性质基础达标训练1.(2018哈尔滨)抛物线y＝－eq\f(3,5)(x＋eq\f(1,2))2－3的顶点坐标是()A.(eq\f(1,2),－3)B.(－eq\f(1,2),－3)C.(eq\f(1,2),3)D.(－eq\f(1,2),3)2.(2018金华)对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质,下列说法正确的是()A.对称轴是直线x＝1,最小值是2B.对称轴是直线x＝1,最大值是2C.对称轴是直线x＝－1,最小值是2D.对称轴是直线x＝－1,最大值是2第3题图3.(2018长沙中考模拟卷五)如图,抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是直线x＝1,且经过点P(3,0),则a－b＋c的值为()A.0B.－1C.1D.24.(2018连云港)已知抛物线y＝ax2(a>0)过A(－2,y1),B(1,y2)两点,则下列关系式一定正确的是()A.y1>0>y2B.y2>0>y1C.y1>y2>0D.y2>y1>0第5题图5.(2018六盘水)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示,则()A.b>0,c>0B.b>0,c<0C.b<0,c<0D.b<0,c>06.将抛物线y＝3x2－3向右平移3个单位长度,得到新抛物线的表达式为()A.y＝3(x－3)2－3B.y＝3x2C.y＝3(x＋3)2－3D.y＝3x2－67.(2018宁波)抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第二象限D.第三象限第8题图8.(2018鄂州)已知二次函数y＝(x＋m)2－n的图象如图所示,则一次函数y＝mx＋n与反比例函数y＝eq\f(mn,x)的图象可能是()9.(2018随州)对于二次函数y＝x2－2mx－3,下列结论错误的是()A.它的图象与x轴有两个交点B.方程x2－2mx＝3的两根之积为－3C.它的图象的对称轴在y轴的右侧D.x<m时,y随x的增大而减小10.(2018徐州)若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是()A.b<1且b≠0B.b>1C.0<b<1D.b<111.(2018眉山)若一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限,则二次函数y＝ax2－ax()A.有最大值eq\f(a,4)B.有最大值－eq\f(a,4)C.有最小值eq\f(a,4)D.有最小值－eq\f(a,4)12.(2018兰州)下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值:x11.11.21.31.4y－1－0.490.040.591.16那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是()A.1B.1.1C.1.2D.1.3第13题图13.(2018河北)如图,若抛物线y＝－x2＋3与x轴围在封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k,则反比例函数y＝eq\f(k,x)(x>0)的图象是()14.(2018长沙中考模拟卷六)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示,第14题图现有下列结论:①b2－4ac>0；②abc>0；③eq\f(c,a)>－8；④9a＋3b＋c<0.其中,正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.415.(2018苏州)若二次函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2,0),则关于x的方程a(x－2)2＋1＝0的实数根为()A.x1＝0,x2＝4B.x1＝－2,x2＝6C.x1＝eq\f(3,2),x2＝eq\f(5,2)D.x1＝－4,x2＝016.(2018乐山)已知二次函数y＝x2－2mx(m为常数),当－1≤x≤2时,函数值y的最小值为－2,则m的值是()A.eq\f(3,2)B.eq\r(2)C.eq\f(3,2)或eq\r(2)D.－eq\f(3,2)或eq\r(2)17.(2018上海)已知一个二次函数的图象开口向上,顶点坐标为(0,－1),那么这个二次函数的解析式可以是______________．(只需写一个)18.(2018百色)经过A(4,0),B(－2,0),C(0,3)三点的抛物线解析式是______________．19.(2018广州)当x＝________时,二次函数y＝x2－2x＋6有最小值________．第20题图20.(2018兰州)如图,若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(4,0),Q两点关于它的对称轴x＝1对称,则Q点的坐标为________．21.(2018青岛)若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点,则m的取值范围是________．第22题图22.(2018咸宁)如图,直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx＋n>ax2＋bx＋c的解集是____．23.(2018鄂州)已知正方形ABCD中A(1,1)、B(1,2)、C(2,2)、D(2,1),有一抛物线y＝(x＋1)2向下平移m个单位(m>0)与正方形ABCD的边(包括四个顶点)有交点,则m的取值范围是________．24.(6分)设二次函数y＝x2＋px＋q的图象经过点(2,－1),且与x轴交于不同的两点A(x1,0),B(x2,0),M为二次函数图象的顶点,求使△AMB的面积最小时的二次函数的解析式．25.(8分)(2018云南)已知二次函数y＝－2x2＋bx＋c图象的顶点坐标为(3,8),该二次函数图象的对称轴与x轴的交点为A,M是这个二次函数图象上的点,O是原点．(1)不等式b＋2c(2)设S是△AMO的面积,求满足S＝9的所有点M的坐标．26.(8分)(2018北京)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求直线BC的表达式；(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),与直线BC交于点N(x3,y3)．若x1＜x2＜x3,结合函数的图象,求x1＋x2＋x3的取值范围．27.(9分)(2018荆州)已知关于x的一元二次方程x2＋(k－5)x＋1－k＝0,其中k为常数．(1)求证:无论k为何值,方程总有两个不相等实数根；(2)已知函数y＝x2＋(k－5)x＋1－k的图象不经过第三象限,求k的取值范围；(3)若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求k的最大整数值．28.(9分)(2018郴州)设a、b是任意两个实数,用max{a,b}表示a、b两数中较大者．例如:max{－1,－1}＝－1,max{1,2}＝2,max(4,3)＝4.参照上面的材料,解答下列问题:(1)max{5,2}＝________,max{0,3}＝________；(2)若max{3x＋1,－x＋1}＝－x＋1,求x的取值范围；(3)求函数y＝x2－2x－4与y＝－x＋2的图象的交点坐标．函数y＝x2－2x－4的图象如图所示,请你在图中作出函数y＝－x＋2的图象,并根据图象直接写出max{－x＋2,x2－2x－4}的最小值．第28题图能力提升训练1.(2018天津)已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M,平移该抛物线,使点M平移后的对应点M′落在x轴上,点B平移后的对应点B′落在y轴上,则平移后的抛物线解析式为()A.y＝x2＋2x＋1B.y＝x2＋2x－1C.y＝x2－2x＋1D.y＝x2－2x－1第2题图2.(2018扬州)如图,已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,2)、B(1,0)、C(2,1),若二次函数y＝x2＋bx＋1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点,则实数b的取值范围是()A.b≤－2B.b<－2C.b≥－2D.b>－23.(2018长沙中考模拟卷二)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)经过点M(－1,2)和点N(1,－2),交x轴于点A,B,交y轴于点C.现有以下四个结论:①b＝－2；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③存在实数a,使得M,A,C三点在同一条直线上；④若a＝1,则OA·OB＝OC2.其中,正确的结论有()A.①②③④B.②③④C.①②④D.①②③4.(2018武汉)已知关于x的二次函数y＝ax2＋(a2－1)x－a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0),若2<m<3,则a的取值范围是________．5.(9分)(2018天津)已知抛物线y＝x2＋bx－3(b是常数)经过点A(－1,0)．(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标；(2)P(m,t)为抛物线上的一个动点,P关于原点的对称点为P′.①当点P′落在该抛物线上时,求m的值；②当点P′落在第二象限内,P′A2取得最小值时,求m的值．答案1.B【解析】:y＝－eq\f(3,5)(x＋eq\f(1,2))2－3为顶点式,顶点坐标是(－eq\f(1,2),－3)．2.B【解析】:由二次函数y＝－(x－1)2＋2可知,对称轴为直线x＝1排除选项C,D,函数开口向下,有最大值,当x＝1时,最大值为y＝2,故选B.3.A【解析】:∵对称轴x＝1且经过点P(3,0),∴抛物线与x轴的另一个交点是(－1,0),代入抛物线解析式y＝ax2＋bx＋c中,得a－b＋c＝0.4.C【解析】:如解图,根据图象可知,y1>0,y2>0,且y1>y2＞0.第4题解图5.B【解析】:∵图象开口向下,∴a＜0,∵对称轴x＝－eq\f(b,2a)在y轴右侧,∴－eq\f(b,2a)＞0,∴b＞0,又∵图象与y轴的交点在x轴下方,∴c＜0.6.A【解析】:由函数图象左右平移的规律遵从“左加右减”可知:当y＝3x2－3的图象向右平移3个单位时,得到新抛物线的表达式为y＝3(x－3)2－3.7.A【解析】:对称轴x＝－eq\f(b,2a)＝1,代入表达式可得y＝m2＋1,∴顶点坐标为(1,m2＋1),∵m2≥0,∴m2＋1≥1,∴顶点坐标在第一象限．8.C【解析】:∵二次函数y＝(x＋m)2－n的顶点在第二象限,∴－m<0,－n>0,∴m>0,n<0,mn<0,∴一次函数y＝mx＋n经过第一、三、四象限,反比例函数y＝eq\f(mn,x)经过第二、四象限．9.C【解析】:∵b2－4ac＝(－2m)2－4×1×(－3)＝4m2＋12＞0,∴图象与x轴有两个交点,A正确；令y＝0得x2－2mx－3＝0,方程的解即抛物线与x轴交点的横坐标,由A知图象与x轴有两个交点,故方程有两个根,再根据一元二次方程根与系数的关系可得两根之积为eq\f(－3,1)＝－3,B正确；根据抛物线对称轴公式可得对称轴为x＝－eq\f(b,2a)＝－eq\f(－2m,2)＝m,∵m的值不能确定,故对称轴是否在y轴的右侧不能确定,C错误；∵a＝1＞0,抛物线开口向上,∴对称轴左侧的函数值y随x的增大而减小,由C知抛物线对称轴为x＝m,∴当x＜m时,y随x的增大而减小,D正确．10.A【解析】:∵函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点,∴图象与x轴有两个交点,则(－2)2－4b>0,解得b<1,又∵图象与y轴有一个交点,∴b≠0,综上,b的取值范围是b＜1且b≠0.11.B【解析】:∵一次函数y＝(a＋1)x＋a的图象过第一、三、四象限,∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＋1＞0,a＜0))),解得－1＜a＜0,∵二次函数y＝ax2－ax＝a(x－eq\f(1,2))2－eq\f(1,4)a,又∵－1＜a＜0,∴二次函数y＝ax2－ax有最大值,且最大值为－eq\f(1,4)a.12.C【解析】:由表格可知当x＝1.2时,y的值最接近0,∴x2＋3x－5＝0的一个近似根是1.2.13.D【解析】:在抛物线y＝－x2＋3中,令y＝0,解得x＝±eq\r(3),令x＝0,则y＝3,∴抛物线与x轴围成封闭区域(边界除外)内的整点有:(－1,1),(1,1),(0,1),(0,2),共4个,∴k＝4,∴反比例函数解析式为y＝eq\f(4,x),其图象经过点(1,4),(2,2),(4,1),故选D.14.D【解析】:观察图象可知,函数与x轴有两个交点,∴Δ＝b2－4ac＞0,故①项正确；函数图象开口向上,与y轴交于负半轴,∴a＞0,c＜0,对称轴－eq\f(b,2a)＝1,∴b＜0,∴abc＞0,故②正确；由②可得对称轴－eq\f(b,2a)＝1,∴b＝－2a,可将抛物线的解析式化为y＝ax2－2ax＋c(a≠0),由函数图象知:当x＝－2时,y＞0,即4a－(－4a)＋c＝8a＋c＞0,即eq\f(c,a)＞－8,故③正确；由二次函数的对称性可知,当x＝3和x＝－1时,y的值相等,观察图象可知,当x＝－1时,y＜0,∴当x＝3时,y＜0,则9a＋3b＋c＜0,故④项正确,综上所述,正确结论为①②③④,共4个．15.A【解析】:∵二次函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2,0),∴代入得(－2)2a＋1＝0,解得a＝－eq\f(1,4),即－eq\f(1,4)(x－2)2＋1＝0,解得x1＝0,x2＝4.16.D【解析】:∵二次函数的对称轴为x＝m,∴对称轴不确定,需分情况讨论．①当m≥2时,此时－1≤x≤2落在对称轴的左边,当x＝2时,y取得最小值－2,即－2＝22－2m×2,解得m＝eq\f(3,2)(舍)；②当－1<m<2时,此时在对称轴x＝m处取得最小值－2,即－2＝m2－2m·m,解得m＝－eq\r(2)或m＝eq\r(2),又－1<m<2,故m＝eq\r(2)；③当m≤－1时,此时－1≤x≤2落在对称轴的右边,当x＝－1时,y取得最小值－2,即－2＝(－1)2－2m×(－1),解得m＝－eq\f(3,2),综上所述,m＝－eq\f(3,2)或eq\r(2).17.y＝x2－1(答案不唯一)【解析】:∵二次函数的图象开口向上,∴a>0,顶点坐标为(0,－1),可设二次函数解析式为y＝ax2－1,即y＝x2－1(答案不唯一)．18.y＝－eq\f(3,8)(x－4)(x＋2)【解析】:设抛物线解析式为y＝a(x－4)(x＋2),把C(0,3)代入上式得3＝a(0－4)(0＋2),解得a＝－eq\f(3,8),故y＝－eq\f(3,8)(x－4)(x＋2)．19.1,5【解析】:∵y＝x2－2x＋6＝(x2－2x＋1)＋5＝(x－1)2＋5,∴当x＝1时,y＝x2－2x＋6有最小值,且最小值为5.20.(－2,0)【解析】:∵抛物线上点P和点Q关于x＝1对称,P(4,0),可设Q(m,0),∴eq\f(m＋4,2)＝1,解得m＝－2,∴Q(－2,0)．21.m>9【解析】:∵抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点,∴方程x2－6x＋m＝0无实数解,即b2－4ac＝(－6)2－4m<0,解得22.x<－1或x>4【解析】:观察题图,当直线在抛物线之上时,即mx＋n＞ax2＋bx＋c,∵A(－1,p),B(4,q),∴关于x的不等式的解集为x<－1或x>4.23.2≤m≤8【解析】:∵将抛物线y＝(x＋1)2向下平移m个单位,得到抛物线y＝(x＋1)2－m,由平移后抛物线与正方形ABCD的边有交点,则当点B在抛物线上时,m取最小值,此时(1＋1)2－m＝2,解得m＝2,当点D在抛物线上时,m取最大值,此时(2＋1)2－m＝1,解得m＝8,综上所述,m的取值范围是2≤m≤8.24.解:∵二次函数y＝x2＋px＋q经过点(2,－1),代入得－1＝22＋2p＋q,即2p＋q＝－5,∵x1,x2为x2＋px＋q＝0两根,∴x1＋x2＝－p,x1x2＝q,∴|AB|＝|x1－x2|＝eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\r(p2－4q),顶点M(－eq\f(p,2),eq\f(4q－p2,4)),∴S△AMB＝eq\f(1,2)|AB|·|eq\f(4q－p2,4)|＝eq\f(1,2)eq\r(p2－4q)·|eq\f(4q－p2,4)|＝eq\f(1,8)·(p2－4q)eq\s\up6(\f(1,2))·|4q－p2|＝eq\f(1,8)(p2－4q)eq\s\up6(\f(3,2)),当p2－4q最小时,S△AMB有最小值,∵p2－4q＝p2＋8p＋20＝(p＋4)2＋4,∴当p＝－4时,p2－4q取最小值4,此时q＝3,故所求的二次函数解析式为y＝x2－4x＋3.25.解:(1)不等式b＋2c＋8≥0成立．理由如下:∵二次函数y＝－2x2＋bx＋c图象的顶点坐标为(3,8),∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2×（－2）)＝3，,\f(4×（－2）c－b2,4×（－2）)＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝12,c＝－10)),∴b＋2c＋8＝0,∴不等式b＋2c＋8≥0成立；(2)由(1)知,b＝12,c＝－10,∴代入得y＝－2x2＋12x－10,由已知得点A的坐标为(3,0),设M(x,－2x2＋12x－10),当点M在x轴上方时,S＝eq\f(1,2)×3×(－2x2＋12x－10)＝9,解得x1＝2或x2＝4；当点M在x轴下方时,S＝eq\f(1,2)×3×[－(－2x2＋12x－10)]＝9,解得x3＝3－eq\r(7)或x4＝3＋eq\r(7),∴满足S＝9的所有点M的坐标为(2,6),(4,6),(3－eq\r(7),－6),(3＋eq\r(7),－6)．26.解:(1)∵抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A,B(点A在点B左侧),∴令y＝0,则有x2－4x＋3＝(x－3)·(x－1)＝0,解得x1＝1,x2＝3,∴A(1,0),B(3,0),∵抛物线y＝x2－4x＋3与y轴交于点C,∴令x＝0,得y＝3,∴C(0,3),设直线BC的表达式为y＝kx＋b(k≠0),将B(3,0),C(0,3)代入y＝kx＋b,得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3k＋b＝0,b＝3)),解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1,b＝3)),∴直线BC的表达式为y＝－x＋3；(2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1,∴抛物线对称轴为x＝2,顶点为(2,－1),∵l⊥y轴,l交抛物线于点P、Q,交BC于点N,x1<x2<x3,∴－1<y1＝y2＝y3<0,点P、Q关于x＝2对称,∴－1<－x3＋3<0,eq\f(x1＋x2,2)＝2,∴3<x3<4,x1＋x2＝4,∴7<x1＋x2＋x3<8.27.解:(1)∵a＝1,b＝k－5,c＝1－k,∴b2－4ac＝(k－5)2－4(1－k)＝k2－6k＋21＝(k－3)2＋12,其中(k－3)2≥0,∴b2－4ac＝(k－3)2＋12>0,∴无论k为何值,方程总有两个不相等的实数根；(2)∵二次函数图象不经过第三象限,∴对称轴x＝eq\f(5－k,2)>0且不与y轴负半轴相交,即1－k≥0,联立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5－k,2)>0,1－k≥0)),解得k≤1；(3)依题意得,对于y＝x2＋(k－5)x＋1－k,∵x＝3时,y<0,∴y＝32＋3(k－5)＋1－k<0,即2k－5<0,k<eq\f(5,2),∴k的最大整数取2.28.解:(1)5,3；(2)由题意知:3x＋1≤－x＋1,解得x≤0；(3)联立函数解析式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(y＝x2－2x－4,y＝－x＋2))),解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x1＝3,y1＝－1)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x2＝－2,y2＝4))),第28题解图∴两函数的交点坐标为:(3,－1),(－2,4)；如解图,过两交点作直线即为所求图象；观察解图可知:max{－x＋2,x2－2x－4}的最小值为－1.能力提升训练1.A【解析】:∵抛物线与x轴交于A、B两点,∴令y＝0,即x2－4x＋3＝0,解得x1＝1,x2＝3,∴A(1,0),B(3,0),∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1,∴M(2,－1)．∵要使平移后的抛物线的顶点在x轴上,需将图象向上平移1个单位,要使B平移后的对应点B′落在y轴上,需再向左平移3个单位,∴M′(－1,0),则平移后二次函数的解析式为y＝(x＋1)2,即y＝x2＋2x＋1.2.C【解析】:如解图,二次函数y＝x2＋bx＋1与y轴交于点(0,1),对称轴为x＝－eq\f(b,2),当b＝－2时,对称轴x＝1,抛物线过(0,1),C(2,1)；当b＜－2时,对称轴x>1,抛物线与△ABC不相交；当b＞－2时,对称轴x<1,抛物线与△ABC相交,综上所述,b≥－2.第2题解图3.C【解析】:∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过点M(－1,2)和点N(1,－2),∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝a－b＋c,－2＝a＋b＋c)),解得b＝－2,故①正确；∵二次函数y＝ax2＋bx＋c,a＞0,∴该二次函数图象开口向上,∵点M(－1,2)和点N(1,－2),∴直线MN的解析式为y＝－2x,当－1＜x＜1时,二次函数图象在y＝－2x的下方,∴该二次函数图象与y轴交于负半轴,故②正确；根据抛物线图象的特点,M、A、C三点不可能在同一条直线上,故③错误；当a＝1时,c＝－1,∴该抛