辽宁省2019年、2020年中考数学试题分类汇编十-四边形

2019年、2020年辽宁省数学中考试题分类（10）——四边形

一.多边形内角与外角（共3小题）

1.（2019•鞍山）如图，某人从点A出发，前进8机后向右转60°,再前进8机后又向右转

60。，按照这样的方式一直走下去，当他第一次回到出发点A时，共走了（）

A

*----------\60=

760^**

A.24mB.32mC.40mD.48m

2.（2020•锦州）一个多边形的每一个内角为108°,则这个多边形是边形.

3.（2019•辽阳）已知正多边形的一个外角是72°,则这个正多边形的边数是.

二.平行四边形的性质（共3小题）

4.（2019•盘锦）如图，四边形A8CQ是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧

1

交AD于点F,再分别以点8,F为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点作

射线AM交BC于点E,连接EF.下列结论中不一定成立的是（）

A.BE=EFB.EF//CDC.AE平分N8EFD.AB=AE

5.（2020•鞍山）如图，在平行四边形ABCQ中，点E是C。的中点，AE,8c的延长线交

于点F.若的面积为1,则四边形ABCE的面积为.

6.（2020•沈阳）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AO上一点，AM=2M£）,点E,

点尸分别是BM,CM中点，若EF=6,则AM的长为.

三.平行四边形的判定（共1小题）

7.（2019•抚顺）如图，在RtaABC中，ZACB=9Q°,CA=CB=2,。是△ABC所在平面

内一点，以4,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，则8。的长为.

8.（2019•本溪）如图，在四边形A8CD中，AB//CD,ADLCD,NB=45°,延长CD到

点E,使。E=D4,连接AE.

（1）求证：AE=BC；

（2）若AB=3,CD=\,求四边形ABCE的面积.

五.菱形的性质（共6小题）

9.（2020•锦州）如图，在菱形ABC。中，尸是对角线AC上一动点，过点尸作PE_LBC于

点E.PFLAB于点F.若菱形ABCD的周长为20,面积为24,则PE+PF的值为（）

10.（2020•辽阳）如图，四边形ABC。是菱形，对角线AC,8。相交于点O,AC=8.BD

=6,点七是CO上一点，连接。区若OE=CE,则0E的长是（）

6

5

A.2B.-C.3D.4

2

11.（2020•大连）如图，菱形A8CO中，NACO=40°,则N48C=

12.（2020•营口）如图，在菱形ABCO中，对角线AC,30交于点0,其中。4=1,OB=

2,则菱形ABC。的面积为.

13.（2019•丹东）如图，在平面直角坐标系中，OA=1,以QA为一边，在第一象限作菱形

OAA\B,并使N4O8=60°,再以对角线04为一边，在如图所示的一侧作相同形状的

菱形。41A2吕1,再依次作菱形。4243比,043453,...，则过点B2018,52019,42019的

圆的圆心坐标为.

14.（2019•鞍山）如图，在菱形ABC。中，E,尸分别是A。，DC的中点，若8。=4,EF

=3,则菱形ABCD的周长为.

六.矩形的性质（共5小题）

15.（2019•朝阳）如图，在矩形ABCC中对角线4c与8。相交于点。，CEJ_8O,垂足为

点、E,CE=5,且EO=2DE,则AO的长为（）

A.5V6B.6V5C.10D.6V3

16.（2019•锦州）在矩形ABC。中，AB=3,BC=4,M是对角线8。上的动点，过点M作

MELBC于点E,连接AM,当△ACM是等腰三角形时，ME的长为（）

363333-6

A.-B.-C.一或一D.一或一

252525

17.（2020•辽阳）如图，四边形ABCO是矩形，延长D4到点E,使AE=D4,连接E8,

点Fl是CD的中点，连接EFi,BFi,得到△EFiB；点尸2是CF\的中点，连接EFl,BF1,

得到△EF2B；点乃是CF2的中点，连接EF3,BF3,得到△EBB；…；按照此规律继续

进行下去，若矩形48CZ）的面积等于2,则△EF,山的面积为.（用含正整数”的

式子表示）

E

18.（2019•营口）如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=3,点E从点4出发，以每秒2个

单位长度的速度沿AO向点。运动，同时点F从点C出发，以每秒1个单位长度的速度

沿CB向点8运动，当点E到达点。时，点E,尸同时停止运动.连接BE,EF,设点E

运动的时间为t,若ABEF是以8E为底的等腰三角形，则t的值为.

19.（2020•沈阳）如图，在矩形ABCZ）中，对角线AC的垂直平分线分别与边A8和边C。

的延长线交于点M,N,与边AO交于点E,垂足为点。

（1）求证：AAOM4ACON；

（2）若AB=3,AD=6,请直接写出AE的长为.

七.正方形的性质（共2小题）

20.（2019•鞍山）如图，正方形AoBoCoAi的边长为1,正方形A1B1C1A2的边长为2,正方

形A2B2C2A3的边长为4,正方形A383c34的边长为8……依此规律继续作正方形

AnBnGoAn+l,且点Ao,Ai,Ai,A3,—,4+1在同一条直线上，连接AoCi交A1B1于点

Q1,连接A1C2交A1B2于点。2,连接A2c3交A3B3于点£>3...记四边形AoBoCoDi的面

积为S1,四边形481cl£>2的面积为S2,四边形上82。2。3的面积为S3……四边形人入出”

-1的一1。”的面积为的，则$2019=

B3

21.（2019•葫芦岛）如图，点P是正方形ABC。的对角线8。延长线上的一点，连接外,

过点P作PE，南交BC的延长线于点E,过点E作于点F,则下列结论中:

1

①％=PE；@CE=V2PD；③BF-PD=即；④S4PEF=SdADP

正确的是（填写所有正确结论的序号）

A.正方形的判定（共1小题）

22.（2019•抚顺）如图，AC,2。是四边形ABCZ）的对角线，点E,F分别是A。，BC的中

点，点M,N分别是AC,B£＞的中点，连接EM,MF,FN,NE,要使四边形EMFN为

正方形，则需添加的条件是（）

B.AB=CD,AD=BC

C.AB^CD,AC1BDD.AB=CD,AD//BC

九.中点四边形（共1小题）

23.（2019•沈阳）如图，在四边形ABC。中，点E,F,G,H分别是AB,CD,AC,8。的

中点，若AC=BC=2西，则四边形EGF”的周长是

一十.四边形综合题（共8小题）

24.（2020•阜新）如图，正方形ABC。和正方形CEFG（其中8£）>2CE）,8G的延长线与

直线DE交于点、H.

（1）如图1,当点G在CD上时，求证：BG=DE,BGVDE-,

（2）将正方形CEFG绕点C旋转一周.

①如图2,当点E在直线CD右侧时，求证：BH-DH=近CH；

②当N£>EC=45°时，若A8=3,CE=l,请直接写出线段Oa的长.

25.（2020•盘锦）如图，四边形ABC。是正方形，点尸是射线AD上的动点，连接CF,以

CF为对角线作正方形CGFE（C,G,F,E按逆时针排列），连接BE,DG.

（1）当点/在线段AO上时.

①求证：BE=DG；

②求证：CD-FD=&BE；

（2）设正方形ABC。的面积为S,正方形CGFE的面积为S2,以C,G,D,尸为顶点

的四边形的面积为S3,当年时，请直接写出名的值.

S[25

26.（2020•鞍山）在矩形A8CO中，点E是射线BC上一动点，连接4E,过点B作8£L

AE于点G,交直线CD于点凡

图1图2图3

(1)当矩形ABC。是正方形时，以点F为直角顶点在正方形4BC。的外部作等腰直角

三角形CF“，连接

①如图1,若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是，位置关

系是;

②如图2,若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证

明；如果不成立，请说明理由；

(2)如图3,若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形M是BH

中点，连接GM,A8=3,BC=2,求GM的最小值.

27.(2020•朝阳)如图，在RtZXABC中，ZBAC=90°,AB=AC,M是AC边上的一点，

连接BM,作于点P,过点C作AC的垂线交4P的延长线于点E.

(1)如图1,求证：AM=CE；

(2)如图2,以AM,BM为邻边作平行四边形AMBG,连接GE交BC于点N,连接AN,

GE

求777的值；

AN

(3)如图3,若M是AC的中点，以A8,8M为邻边作平行四边形4GM8,连接GE交

NC1GE

BC于点、N,连接AN,经探究发现二7=二，请直接写出言的值.

BC8AN

28.（2020•丹东）已知：菱形ABCD和菱形A'B'C'D',NBAD=NB'A'0'，起始

位置点A在边A'B1上，点B在A'B'所在直线上，点B在点A的右侧，点B'在点

A'的右侧，连接AC和A'C,将菱形ABCZ）以A为旋转中心逆时针旋转a角（0°

<a<180°）.

（1）如图1,若点A与A'重合，且A'D'=90°,求证：8B'=DD'.

（2）若点A与A'不重合，M是A'C上一点，当M4'=MA时，连接和A'C,

和A'C所在直线相交于点P.

①如图2,当NBAD=NB'A'D'=90°时，请猜想线段和线段A'C的数量关系

及NBPC的度数.

②如图3,当NBAD=NB，A'D'=600时，请求出线段8M和线段A'C的数量关系

及NBPC的度数.

③在②的条件下，若点A与A'B'的中点重合，A'B'=4,AB=2,在整个旋转过程

中，当点P与点仞重合时，请直接写出线段的长.

D'CD'C

29.（2019•抚顺）如图，点E,尸分别在正方形ABC£>的边C£>,BC上，且。E=CF,点P

在射线BC上（点P不与点尸重合）.将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EG,

过点E作GQ的垂线Q4,垂足为点”，交射线BC于点Q.

（1）如图1,若点E是CD的中点，点P在线段8F上，线段8P,QC,EC的数量关系

为.

（2）如图2,若点E不是CD的中点，点P在线段8尸上，判断（1）中的结论是否仍然

成立.若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

（3）正方形ABC£）的边长为6,AB^3DE,QC=1,请直接写出线段3尸的长.

括点A和点C),过点E的直线GH交直线AD于点G,交直线BC于点H,且GH//DC,

点尸在BC的延长线上，CF=AG,连接ED,EF,DF.

(1)如图1,当点E在线段AC上时，

①判断AAEG的形状，并说明理由.

②求证：△OEF是等边三角形.

(2)如图2,当点E在AC的延长线上时，尸是等边三角形吗？如果是，请证明你

的结论；如果不是，请说明理由.

得AAEF,连接CF,。为C尸的中点，连接OE,0D.

(1)如图1,当a=45°时，请直接写出0E与00的关系(不用证明).

(2)如图2,当45°<a<90°时，(1)中的结论是否成立？请说明理由.

(3)当a=360°时，若AB=4&,请直接写出点。经过的路径长.

2019年、2020年辽宁省数学中考试题分类(10)——四边形

参考答案与试题解析

多边形内角与外角(共3小题)

1.【解答】解：依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为〃，

则60〃=360,解得〃=6,

故他第一次回到出发点A时，共走了：8X6=48(m).

故选：D.

2.【解答】解：；多边形每个内角都为108°,

二多边形每个外角都为180°-108°=72°,

二边数=360°+72°=5.

故答案为：五.

3.【解答】解：这个正多边形的边数：360°+72°=5.

故答案为：5

平行四边形的性质(共3小题)

4.【解答】解：由尺规作图可知：AF=AB,AE平分NBA。，

：.ZBAE^ZDAE,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

J.AD//BC,

：.ZDAE=ZBEA.

：.ZBAE^ZBEA,

：.AB=BE,

"：AF=AB,

：.AF=BE,

,JAF//BE,

四边形ABEF是平行四边形，

"：AF=AB,

...四边形ABEF是菱形，

.♦.AE平分/BEF,BE=EF,EF//AB,故选项A、C正确，

'JCD//AB,

J.EF//CD,故选项B正确；

故选：D.

5.【解答】解：•.,在nABCZ）中，48〃。£>,点£：是仪>中点,

.♦.EC是的中位线；

\'ZB=ZDCF,/尸=NF（公共角），

:.△ABFsXECF,

..EC_£F_CF_1

'AB~AF~BF~2

.♦.SAABF：S^CEF—4：1；

又•.•△日?下的面积为1,

.".SA4BF=4,

."•SmiiL）fiABCE=S/\ABF-SAC£F=3.

故答案为：3.

6.【解答】解：；点E,点尸分别是BM,CM中点，

.♦.EF是△BCM的中位线，

;EF=6,

.,.BC=2EF=12,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

：.AD=BC=[2,

*：AM=2MD,

：.AM=S,

故答案为：8.

三.平行四边形的判定（共1小题）

7.【解答]解：如图，若BC为边，AB是对角线，

:四边形ACBDi是平行四边形，且NACB=90°,CA=CB=2,

：.BD\=AC=2,

若AB,BC为边，

:四边形ABCD3是平行四边形，

：.D3A//BC,AO3=BC=2,

...N£)3AE=NCBA=45°,

：.DiE=AE=V2,

：.BE=AE+AB=3V2

22

：.BDi=^BE+D3E=a8+2=2遥，

若AB,4c为边，

•••ABD2c是平行四边形，

：.BD2=AC^2,

故答案为：2或2通

四.平行四边形的判定与性质(共1小题)

8.【解答】证明：(1)'：AB//CD,ZB=45°

AZC+ZB=180°

AZC=135"

\"DE=DA,ADLCD

：.ZE=45°

VZ£+ZC=180°

：.AE//BC,S.AB//CD

：.四边形ABCE是平行四边形

：.AE=BC

(2)・・•四边形ABCE是平行四边形

：.AB=CE=3

：.AD=DE=AB-CD=2

・•・四边形ABCE的面积=3X2=6

五.菱形的性质(共6小题)

9•【解答】解：连结8P,如图，

•・•四边形A8C。为菱形，菱形A8C。的周长为20,

**•BA=BC=5,S/\ABC=2s菱形ABCD=12,

S^ABC=SAPAB+SdPBC,

11

・・・一X5XPE+4X5XPF=12,

22

24

：.PE+PF=^f

故选：B.

10.【解答】解：,・•菱形ABC。的对角线AC、8D相交于点。,

：.OD=^BD=^x6=3,OA=|AC=1x8=4,ACLBD,

由勾股定理得，AD=y/OD2+OA2=V32+42=5,

*：OE=CE,

：.ZDCA=ZEOC9

・・•四边形A3CZ）是菱形，

:.AD=CD,

：.ZDCA=ZDAC,

：.ZDAC=ZEOC9

：.OE//AD,

9：A0=0C,

，0E是△?!£)€1的中位线,

.•.0£?=夕£>=卜5=2.5,

故选：B.

II.【解答】解：：四边形46co是菱形，

J.AB//CD,/8CC=2/4C£>=80°,

AZABC+ZBCD=ISO°,

/A8c=180°-80°=100°；

故答案为：100.

12.【解答】解：；OA=1,OB=2,

：.AC=2,8。=4,

，菱形ABCD的面积为工x2X4=4.

2

故答案为：4.

13.【解答】解：过4作4cLr轴于C,

•.•四边形OA41B是菱形，

：.OA=AA\=\,ZA\AC=ZAOB=60°,

•再”一1

•♦A]C—~~^2~,AC—a，

：.OC=OA+AC=3^

在RtZXOAl。中，。4="（72+/住2=遍,

VZOA2C=ZBIA2O=30°,NA342O=120°,

，NA3A281=90°,

AZA2BiA3=60°,

：.B\Ai=2V3,AM3=3,

；.OA3=OBI+BIA3=3V5=（V3）3

二菱形OAM382的边长=3=（V3）2,

设BM3的中点为。1,连接。1A2,0182,

于是求得，O\A1=O\B2=O\B\=V3-（V3）1,

过点Bl,82,A2的圆的圆心坐标为01（0,2V3）,

•.,菱形OA3A4B3的边长为3V3=（V3）3,

.,.(944=9=(V3)4,

设BdU的中点为3,

连接。乂3,。2m,

同理可得，0*3=02&=0282=3=(V3)2,

过点B2,83,A3的圆的圆心坐标为。2(-3,3V3),…以此类推，菱形菱形

OA20I9A2020B2019的边长为(V3)2019,

OA2020=(V3)2020,

设B20I8A2020的中点为O20I8,连接。018A2019,O20I8B2019,

求得，。2()1朗2()19=。20!882019=0201882018=(V3)2°18.

...点O2018是过点B2018,82019,A2019的圆的圆心，

。2018+12=168…2,

.•.点O2018在射线。。2上,

则点O2018的坐标为(-(V3)2°18,(V3)2019),

即过点B2018,52019,A2019的圆的圆心坐标为(-(V3)2018,(V3)2019),

故答案为：(-(VI)2。18,(V3)2019).

14.【解答］解：如图，连接AC,

■:E,尸分别是AD,DC的中点，EF=3,

：.AC=2EF=6,

:四边形ABC。为菱形，8。=4,

：.ACLBD,AO=3,BO=2,

：.AB=>/AO2+BO2=V13,

周长为4旧，

故答案为：4\/T3.

D

六.矩形的性质(共5小题)

15•【解答】解：•.•四边形ABCQ是矩形，

：.ZADC=90Q,BD=AC,OD=^BD,0C=%C,

OC=OD,

,:E0=2DE,

设。E=x,OE=2x,

OD—0C=3x,AC=6x,

VCE1BD,

：.ZDEC=ZOEC=90°,

在RtZ\OCE中，

VOE2+CE2=OC2,

...(2x)2+52=(3x)2,

Vx>0,

：.DE=V5,4c=6而，

CC=y/DE2+CE2=J(V5)2+52=同，

：.AD=yjAC2-CD2=J(6A/5)2-(V30)2=576,

故选：A.

16.【解答】解：①当AO=DW时.

•.•四边形A8C。是矩形，

Z.ZC=90°,CD=AB=3,AD=BC=4,

：.BD=VCD2+BC2=5,

BM=BD-DM=5-4=1,

'：ME1BC,DCIBC,

:.ME//CD,

.BMME

••=",

BDCD

•1_M_E_

••—―,

53

3

：.ME=

②当ATA=M'。时；易证E'是△BOC的中位线,

1q

：.MfEf=^CD=

故选：C,

17.【解答】解：・・SE=D4,点八是CO的中点，矩形ABC。的面积等于2,

：./\EF\D和△EAB的面积都等于1,

・・,点五2是CQ的中点，

1

AEF1F2的面积等于3，

1

同理可得1E?的面积为J

2n~1

11

**△BCFn的面积为2x/+2=/，

△EFnB的面积为2+1-1-1--------/不一£=2-（1-算）=2

2n+l

故答案为：.

18.【解答］解：如图，过点七作EG_L8C于G,

・・・四边形ABGE是矩形，

：.AB=EG=39AE=BG=2t,

*：BF=EF=5-1,FG=\2t-(5-r)|=|3r-5|,

：.EF1=FG1+EG1,

・・.(5-r)2=(3L5)2+9,

5±«

故答案为:

4

19.【解答】解：（1）是4c的垂直平分线,

；.AO=CO,NAOM=NCON=90°,

•••四边形ABC。是矩形，

：.AB//CD,

：.ZM=ZN,

在△AOM和△CON中，

\/.AOM="ON，

Uo=CO

：./XAOM^ACON(AAS)；

(2)如图所示，连接CE,

•.•/WN是AC的垂直平分线，

,CE=AE,

设AE=CE=x,则OE=6-x,

•.•四边形ABC。是矩形，

.,.ZCDE=90°,CD=AB=3,

：.RtACDE中，CD^+DE1=CE1,

即32+(6-x)2—x2)

解得百苧,

即AE的长为一.

4

15

故答案为：一.

4

七.正方形的性质（共2小题）

20.【解答】解：：四边形AoBoCoAi与四边形4B1C142都是正方形,

：.A\D\//A2C\,

.AD4()4i

.•---1---1=-------,

42cl^0^2

,41%1

••一，

21+2

2

AAiDi=1,

同理可得：A2£>2=g,

1

22-X

ASi=1-1x1x1=4°-1x4°,52=4-1x4,S3=4-1X4,•34^-

|x4,?'1,

.-.52019=|X42018,

2

故答案为：-x42018.

21.【解答】解：①解法一：如图I,在EF上取一点G,使尸G=FP,连接BG、PG,

图1

'CEFLBP,

:.NBFE=90°,

；四边形ABC。是正方形,

.".ZFBC=ZABD=45°,

：.BF=EF,

在△BFG和aFFP中，

BF=EF

斗BFG=乙EFP,

.FG=FP

:.△BFGQAEFP(SAS),

：・BG=PE,/PEF=/GBF,

VZABD=ZFPG=45°,

：.AB//PG,

*：APLPE,

：.NAPE=NAPF+/FPE=NFPE+NPEF=90°,

・・・ZAPF=NPEF=/GBF,

:・AP〃BG,

，四边形ABGP是平行四边形，

:・AP=BG,

：.AP=PEx

解法二：如图2,连接A£;VZABC=ZAPE=90°,

BCE

图2

・・・4、B、E、尸四点共圆，

：.ZEAP=ZPBC=45Q,

VAPXPE,

AZAPE=90°,

1•△APE是等腰直角三角形,

：.AP=PE,

故①正确；

②如图3,连接CG,由①知：PG//AB,PG=AB,

图3

■:AB=CD,AB"CD,

：.PG//CD,PG=CD,

・・・四边形DCGP是平行四边形，

:.CG=PD,CG//PD,

•；PD上EF,

:.CG上EF,即NCGE=90°,

NCEG=45°,

：.CE=y[2CG=y/2PDx

故②正确；

③如图4,连接AC交80于O,由②知：NCGF=/GFD=9U0,

图4

;四边形A5CQ是正方形，

：.ACLBD.

：.ZCOF=90°,

，四边形OCGF是矩形，

:.CG=OF=PD,

1

:.-BD=OB=BF-OF=BF-PD,

2

故③正确；

④如图4中，在△AOP和正1中，

（ZAOP=NEFP=90°

e*jZ/1PF=Z.PEF9

14P=PE

:•△'OPWXPFE（A4S）,

:・S〉AOP=S〉PEF,

SAADP<S^AOP=S&PEF,

故④不正确；

本题结论正确的有：①②③，

故答案为：①②③.

八.正方形的判定（共1小题）

22.【解答】解：♦.•点E,尸分别是40，8c的中点，点M,N分别是AC,BO的中点,

:*EN、NF、FM、ME分别是△AB。、ABCD.△ABC、△AC。的中位线，

：.EN//AB//FM,ME//CD//NF,EN=%B=FM,ME=%D=NF,

...四边形EMFN为平行四边形，

当AB=C。时，EN=FM=ME=NF,

平行四边形EA〃W是菱形；

当ABJ_CD时，EN1ME,

则NMEN=90°,

二菱形EMFN是正方形;

故选：A.

九.中点四边形（共1小题）

23•【解答】证明：YE、G是AB和4c的中点，

：.EG=|X2>/5=V5,

同理HF=%C=V5,

EH=GF=1A£>=1X2V5=V5.

二四边形EGFH的周长是：4xV5=4V5.

故答案为：4V1

一十.四边形综合题（共8小题）

24.【解答】(1)证明：如图1中,

证明：•.•在正方形ABCQ和正方形CEFG中,BC=C£>,CG=CE,NBCG=/CCE=90°,

：./\BCG^/\DCE(SAS),

：.BG=DE,NCBG=/CDE,

,:NCDE+NDEC=9Q°,

：.NHBE+NBEH=90°,

:.NBHE=90°,

：.BGVDE.

(2)①如图2中，在线段BG上截取8K=£>”，连接CK.

由(1)可知，NCBK=NCDH,

'：BK=DH,BC=DC,

：.ABCK经ADCH(SAS),

：.CK=CH,ZBCK=ZDCH,

；.NKCH=NBCD=90°,

.••△KCH是等腰直角三角形，

：.HK=五CH,

：.BH-DH=BH-BK=KH=^2CH.

②如图3-1中，当。，H,E三点共线时/OEC=45°,连接B£).

图3-1

由(1)可知，BH=DE,且CE=CH=1,EH=V2CH,

：BC=3,

：.BD=V2BC=3V2,

设DH=x,贝ijBH=DE=x+V2,

在RtABDH中，*.•BH2+DH2=BD2,

/.(x+V2)2+/=(3-72)2,

解得广舍更或卓史(舍弃).

如图3-2中，当D,H,E三点共线时NOEC=45°,连接BD.

图3-2

设DH=x,

:BG=DH,

：.BH=DH-HG=x-也,

在RtABD/7中，BH2+DH2=BD2,

：.(x-V2)2+jr=(3V2)2,

京&徂后+国T赵二^大、

解得x=-2—或一--(舍弃),

V34+V2V34-V2

综上所述，满足条件的。”的值为。或?、.

22

25.【解答】(1)①证明：如图1中，

图1

•・•四边形A5C。，四边形EFGC都是正方形，

:・NBCD=/ECG=90°,CB=CD,CE=CG,

:・/BCE=/DCG,

：・/\BCEm/\DCG(SAS),

:・BE=DG.

②证明：如图1中，设C。交R7于点O,过点G作GT_LOG交C。于T.

■:/FDC=/FGC=90°,

AC,F,D,G四点共圆，

:・NCDG=/CFG=45°,

VGT1DG,

：・NDGT=90°,

：.ZGDT=ZDTG=45°,

:.GD=GT,

■:/DGT=/FGC=90",

:・/DGF=/TGC,

,:GF=GC,

：./\GDF^/\GTC(SAS),

:・DF=CT,

：.CD-DF=CD-CT=DT=^2DG.

(2)解：当点F在线段AZ)上时，如图1中,

••包一兰

.Si-25'

.,.可以假设S2=13k,51=25*,

：.BC=CD=5Vk,CE=CG=V13fc,

:.CF=V26/c,

在Rt/XCDF中，DF=y/CF2-CD2=瓜,

：.DF=CT=Vk,DT=4\[k

：.DG=GT=2V2k,

:.S3=S&GFC+SWG=x713kxV13/c+xx2瓜-=苧％,

15,

.泣=』_3

"S1―25k10

1-1________

当点尸在AQ的延长线上时，同法可得，Si=SADCF+S^,FGC=2x5VfcXyfk+^xV13fcx

V13fc=9k,

图2

••一，

Si25

综上所述，，■的值为G或齐.

26.【解答】解：(1)①•••四边形A8CD为正方形，

.•.A8=BC,/ABC=/BCZ)=90°,即/8AE+/AEB=90°,

"：AELBF,

：.ZCBF+ZAEB=90°,

：.NCBF=NBAE,又AB=BC,NABE=NBCF=90°,

:.△ABE^ABCF(ASA),

:.BE=CF,AE=BF,

；△尸CH为等腰直角三角形，

：.FC=FH=BE,FH±FC,而CDVBC,

J.FH//BC,

四边形BEHF为平行四边形，

；.BF〃EH且BF=EH,

：.AE=EH,AE1EH,

故答案为：相等；垂直；

②成立，理由是：

当点E在线段BC的延长线上时，

同理可得：AABEgABCFCASA),

:.BE=CF,AE=BF,

'：/\FCH为等腰直角三角形，

：.FC=FH=BE,FH1FC,而CD_LBC,

J.FH//BC,

四边形BE”厂为平行四边形，

:.BF〃EH且BF=EH,

：.AE=EH,AEVEH-,

(2):NEGF=/BCD=90°,

；.C、E、G、尸四点共圆，

：四边形BE/"1是平行四边形，M为中点,

也是EF中点，

M是四边形GECF外接圆圆心，

则GM的最小值为圆M半径的最小值，

：AB=3,BC=2,

设BE=x,则CE=2-x,

同(1)可得：NCBF=NBAE,

XVZABE=ZBCF=90°,

AABEsABCF,

ABBE3X

—=—,Bp-=—,

BCCF2CF

2%

ACF=y,

：.EF=\ICE2+CF2=旧x2-4x+4,

设y=笄%2—4%4-4,

当x=1|时，1y取最小值

,，4A/13

:・EF的最小值为“，

27.【解答】(1)证明：*：APA-BM,

：.ZAPB=90°,

AZABP+ZBAP=90Q,

9：ZBAP+ZCAE=90°,

AZCAE=NABP,

VCE1AC,

：.ZBAM=ZACE=90°,

'：AB=AC,

：.AABM^ACAE(ASA),

：.CE=AM；

(2)过点£作CE的垂线交8c于点F,

AZFEC=90°,

9：AB=AC,ZBAC=90°,

/.ZACB=ZABC=45<>,

VZACE=90°,

・・.NFCE=45°，

：.ZCFE=ZFCE=45°,

：.CE=EF,ZEFN=135°,

四边形AMBG是平行四边形，

：.AM=BG,NABG=NBAC=90°,

・・・NG8N=NABG+N48C=135°,

・・・ZGBN=/EFN,

由(1)得△A8MZZ\C4E,

：.AM=CE,

:.BG=CE=EF,

■:/BNG=/FNE,

:.△GBNW/XEFN(/US),

JGN=EN,

,:AG〃BM,

：.ZGAE=ZBPE=90°,

1

：.AN=^GEf

GE

—=2；

AN

(3)如图，延长GM交3C于R连接AF,

在平行四边形A8MG中，AB"GM,△ABMg/XMGA,

AZAMG=ZBAC=90°,

：.ZGMC=ZACE=9G°,

：.GF//CEf

*：AM=MC,

：・BF=CF,

\*AB=AC,

1

：.AF1BC,AF=”C,

••竺_1

•=—，

BC8

设CN=x,则8c=8x,AF=FC=4x,FN=3x,

：.在Rt△AFN中,AN=>JAF2+FN2=5x,

在RtZXABM中,

AB=斗BC=导X8x=4V2x,AM=^AB=2岳,

：.BM=y/AB2+AM2=J（4缶¥+（272%）2=2V10x,

：.AG=BM=2V10x,

由（1）知△ABM0△CAE,

：./\CAE^AMGA,

：.AE=AG,

在RtAAEG中，EG=y/AE2+AG2=y[2AG=V2X2V10x=4A/5X,

GE_4®_4V5

AN~5x~5

E

图2

28.【解答】（1）证明：如图1中,

在菱形4BCC和菱形A'B'CD'中，＜NBAD=4B'A'D'=90°,

ZAOB=ZCOP,

，NCPO=NOAB=45°,即NBPC=45°

②解：如图3中，设AC交8尸于O.

NBAD=NB'A'D'=60°

：.ZCA'B'=ZCAB=30°,

；.NA'AC^ZMAB,

"：MA'=AM,

：.ZMA'A=ZMAA'=30°,

.\AA,=V3AM,

在△ABC中，'：BA=BC,ZCAB=30Q,

.AC=V3AB,

AAf竺=w,

AMAB

•乙4'AC=ZMAB,

.△A'AC<^/\MAB,

A'CAAi

V3,ZACA'=AABM,

BMAM

.A'C=WBM,

'ZAOB=ZCOP,

.ZCPO=ZOAB=30°,即N8PC=30°

③如图4中，过点4作A""LA'C于H.

(2)(1)中的结论仍然成立，理由如下:

由题意得：ZPEG=90°,EG=EP,

：.ZPEQ+ZGEH=90°,

QH1GD,

：.ZH=90°,NG+/GEH=90°,

：.ZPEQ=ZG,

・・•四边形A5CQ是正方形，

：.ZDCB=90°,BC=DC,

・・・NEPQ+NPEC=90。,

•：/PEC+NGED=90°,

：.ZGED=ZEPQ,

(NEPQ=/GED

在APEQ和△EG。中，＜EP=EG，

("EQ=Z-G

:.△PEQQAEGD(ASA),

：・PQ=ED,

：.BP+QC=BC-PQ=CD-ED=EC,

即BP+QC=EC；

(3)分两种情况：

①当点尸在线段BC上时，点。在线段8c上，

由(2)可知：BP=EC-QC,

*：AB=3DE=6f

:.DE=2,EC=4,

：.BP=4-1=3；

②当点尸在线段BC上时，点。在线段8c的延长线上，如图