第09讲几何初步及三角形（知识精讲真题练模拟练自招练）

第09讲几何初步及三角形（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）

【考纲要求】

1.了解直线、射线、线段的概念和性质以及表示方法，掌握三者之间的区别和联系，会解决与线段有关

的实际问题；

2.了解角的概念和表示方法，会把角进行分类以及进行角的度量和计算；

3.掌握相交线、平行线的定义，理解所形成的各种角的特点、性质和判定；

4.了解命题的定义、结构、表达形式和分类，会简单的证明有关命题；

5.了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和

高，了解三角形的稳定性.

©【知识导图】

「•邻补角

L对顶角

.「斜交「垂直的基本性质

「相交直线

L垂直一一点到直线的距离

-线段的垂直平分线

两条直线被笫三条直线所截

同位角、内错角、同旁内角一

「平行线的基本性质

十判定方法与性质

1-平行直线

L平行线间的距离

【考点梳理】

考点一、直线、射线和线段

1.直线

代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线，直线可以向两方无限延伸.(直线的概念是一个

描述性的定义，便于理解直线的意义).

2.射线

直线上一点和它一旁的部分叫做射线.射线只向一方无限延伸.

直线上两点和它们之间的部分叫做线段，两个点叫做线段的端点.

考点二、角

1.角的概念：

(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线分别

叫做角的边

(2)定义二：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.射线旋转时经过的平

面部分是角的内部，射线的端点是角的顶点，射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边.

2.角的平分线：

如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.

考点三'相交线

1.对顶角

(D定义：如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这

两个角叫对顶角.

(2)性质：对顶角相等

2.邻补角

(1)定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.

(2)性质：邻补角互补.

3.垂线

(1)定义：当两条直线相交所得的来表示

4.同位角、内错角、同旁内角

(1)基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个角，简称三线八角，如图所

示：N1和N8、N2和N7、N3和N6、N4和N5是同位角；N1和N6、N2和/5是内错角；N1和/

5、/2和/6是同旁内角.

(2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线

(截线)上，另一条边分别在两条直线(被截线)上.

考点四、平行线

1.平行线定义：

来表示，.如直线a与b平行，记作a〃b.在几何证明中，“〃”的左、右两边也可能是射线或

线段.

2.平行公理及推论：

(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

(2)平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即：如果b〃a,

c〃a,那么b〃c

3.性质：

(1)平行线永远不相交；

(2)两直线平行，同位角相等；

(3)两直线平行，内错角相等；

(4)两直线平行，同旁内角互补；

(5)如果两条平行线中的一条垂直于某直线，那么另一条也垂直于这条直线，可用符号表示为：若b〃

c,b±a,则c±a

4.判定方法:

(1)定义；

(2)平行公理的的推论；

(3)同位角相等，两直线平行；

(4)内错角相等，两直线平行；

(5)同旁内角互补，两直线平行；

(6)垂直于同一条直线的两条直线平行.

考点五、命题、定理、证明

1.命题：

(1)定义：判断一件事情的语句叫命题.

(2)命题的结构：题设+结论=命题；

(3)命题的表达形式：如果……那么……；若……则……；

(4)命题的分类：真命题和假命题；

(5)逆命题：原命题的题设是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的题设.

2.公理、定理：

(1)公理：人们在长期实践中总结出来的能作为判断其他命题真假依据的真命题叫做公理

(2)定理：经过推理证实的真命题叫做定理.

3.证明：

用推理的方法证实命题正确性的过程叫做证明

考点六、三角形的概念及其性质

1.三角形的概念

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

2.三角形的分类

(D按边分类：

f不等边三角形

三角彬.底与腰不等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

(2)按角分类:

.锐角三角形

斜三角形

三角形钝角三角形

直角三角形

3.三角形的内角和外角

(1)三角形的内角和等于180°.

(2)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不

相邻的内角.

4.三角形三边之间的关系

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

5.三角形内角与对边对应关系

在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边.

6.三角形具有稳定性.

考点七、三角形的“四心”和中位线

三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.

1.内心：

三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.

2.外心:

三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等.

3.重心：

三角形三条中线的交点，它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.

4.垂心：

三角形三条高线的交点.

5.三角形的中位线：

连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.

中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

”【典型例题】

题型一、几何初步

例1.判断下列语句是不是命题

①延长线段AB（）.

②两条直线相交，只有一交点（）.

③画线段AB的中点（）.

④若|x|=2,则x=2（）.

⑤角平分线是一条射线（）.

【思路点拨】判断语句是否是命题有两个关键，首先观察是不是一个完整的句子，再观察是否作出判断.

【答案与解析】①③两个语句都没有作出判断，所以①不是②是③不是④是⑤是.

【总结升华】本题考查学生对命题概念的理解.

【变式】命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④

【答案】B.

题型二、三角形

例2.四边形ABCD是任意四边形，AC与BD交点0.

求证：AC+BD>1(AB+BC+CD+DA).

2

证明：在AOAB中有0A+0B>AB

在.OAD中有,

在aODC中有,

在4中有，

：.OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB>AB+BC+CD+DA

【思路点拨】直接根据三角形的三边关系进行解答即可.

【答案与解析】证明：♦.•在△OAB中OA+OB>AB

在△OAD中有OA+OD>AD,

在△ODC中有OD+OOCD,

在△()[«：中有OB+OOBC,

OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB>AB+BC+CD+DA

即2(AC+BD)>AB+BC+CD+DA,

即AC+BD>1(AB+BC+CD+DA).

2

故答案为：OA+OD>AD；0D-OOCD；OBC；OB+OOBC；2(AC+BD)>AB+BC+CD+DA.

【总结升华】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第

三边.

【变式】

如图.A.IBC的外角ZACD的平分线CP与内角ZABC的平分线HP交于点P,若4BPO

40°.则/C3

【答案】50°.

例3.如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第

二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的

小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有个正三角形.

【思路点拨】分别写出前三个图形的正三角形的个数，并观察出后一个图形比前一个图形多分割出四个小

的正三角形，依此类推即可写出第n个图形的正三角形的个数，进而得出第5个图中正三角形的个数.

【答案与解析】图①有1个正三角形；图②有（1+4）个正三角形：

图③有（1+4+4）个正三角形；图④有（1+4+4+4）个正三角形

图⑤有（1+4+4+4+4）个正三角形；….所以共有17个.

【总结升华】这是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规

律变化的.

【变式】一个三角形的内心在它的一条高线上，则这个三角形一定是（）.

【答案】B.

例4.到三角形三个顶点距离相等的点是三角形（）的交点.

A.三个内角平分线B.三边垂直平分线C.三条中线D.三条高

【思路点拨】可分别根据线段垂直平分线的性质进行思考，首先满足到A点、B点的距离相等，然后思考

满足到C点、B点的距离相等，都分别在各自线段的垂直平分线上，于是答案可得.

【答案】B.

【解析】三角形三边垂直平分线的交点是外心，是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点距离相等.

【总结升华】考点：线段垂直平分线的定理.

【变式】

如图，在A4BC中，/C=90°,.4。=4,BC=2,点A、C分别在x轴、j轴上，当点4在x轴

上运动时，点C随之在J，轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是()

A.2上+2B.2MC.2nD.6

【答案】A.

题型三、综合运用

例5.如图：已知，ZkABC中,NA=50°

⑴如图⑴，点0是NABC和NACB的平分线交点,则NBOC=

⑵如图(2),点P是NABC和外角ZACE的平分线交点,则NBPC=

(3)如图(3),点M是外角NBCE和NCBF的平分线交点,贝!|NBMC=

【思路点拨】本题涉及知识点是三角形内角和定理：三角形的外知性质.

【答案与解析】图(1)中，ZB0C=180°-(ZOBC+ZOCB)=180”8(/ABC+NACB)

=180°-1(180°-ZA)=90°+izA=115°

22

图(2)中，ZBPC=ZPCE-ZPBC=1(ZACE-ZABC)=，NA=25。

22

图(3)中，NBMC=180°-(ZMBC+ZMCB)=180°-1(NFBC+/ECB)

=180。-g(180。-ZABC+1800-ZACB)

=1(ZABC+ZACB)

=；（1800_ZA）

=90°--ZA=65°.

2

【总结升华】本题考查角平分线，三角形内角和，外角和内角关系等多个知识点，常采用建立方程或直接

推理的方法.

例6.探索

在如图T至图-3中，^ABC的面积为a.

图一1图一2图-3

（1）如图T,延长的边BC到点D,使CD=BC,连结DA,若4ACD的面积为Si,则S尸___（用含a的代

数式表示）;

（2）如图-2,延长AABC的边BC到点D,延长边CA到点E,使CD=BC,AE=CA,连结DE,若的面积为

&,则S产（用含a的代数式表示），并写出理由;

（3）在图-2的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连结FD,FE,得到4DEF（如图-3）,若阴影部分的面积为

S3,则S3=—（用含a的代数式表示）:

（4）像上面那样，将AABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到4DEF（如图-3）,此时，我们称△

ABC向外扩展了一次，可以发现，扩展一次后得到的4DEF的面积是原来AABC面积的倍.

【思路点拨】灵活运用等底同高的两三角形面积相等来解决问题.

【答案与解析】（1）IBC=CD,.♦.△ACD和aABC是等底同高的,即S尸a；

===

（2）2a；连接AD,CDBC>AECA»SAOAC~SADAE=SA,WC—a1***S22a；

（3）结合（2）得：S”2ax3=6a；

（4）扩展一次后得到的aDEF的面积是6a+a=7a,即是原来三角形的面积的7倍.

【总结升华】本题的探索过程由简到难，运用类比方法可依次求出.从而使考生在身临数学的情境中潜移

默化，逐渐感悟到数学思维的力量，使学生对知识的发生及发展过程，解题思想方法的感悟，体会得淋漓

尽致，是一道新课标理念不可多得的好题.

【变式】去年在面积为lOm?的aABC空地上栽种了某种花卉，今年准备扩大种植规模，把AABC向外进

行两次扩展，第一次由△ABC扩展成ADEF,第二次由4DEF扩展成△MGH（如图），求这两次扩展的区域（即

阴影部分）面积共为多少m”

【答案】第一次扩展后的阴影面积为6a=6义10=60面）

第二次扩展后的阴影面积为42a=42X10=420（m2）

两次扩展后阴影部分面积共为480

【中考过关真题练】

一.选择题（共1小题）

1.（2014•上海）如图，已知直线a、6被直线c所截，那么N1的同位角是（)

A.Z2B.Z3C.Z4D.Z5

【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第

三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角可得答案.

【解答】解：N1的同位角是N5,

故选：D.

【点评】此题主要考查了同位角的概念，关键是掌握同位角的边构成“尸”形.

二.填空题（共4小题）

2.（2021•上海）70°的余角是2海.

【分析】根据余角的定义即可求解.

【解答】解：根据定义一个角是70。，则它的余角度数是90°-70°=20

故答案为，20。.

【点评】本题主要考查了余角的概念，掌握互为余角的两个角的和为90度是解决此题关键，

3.（2019•上海）如图，已知直线人〃/2,含30°角的三角板的直角顶点C在/|上，30°角的顶点A在/2

上，如果边A8与人的交点。是AB的中点，那么Nl=120度.

【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得到DA=DC,则/OC4=/ZMC=30°,再利用三角形外

角性质得到N2=60°,然后根据平行线的性质求N1的度数.

【解答】解：♦；£>是斜边AB的中点，

：.DA=DC,

.•.NOC4=/OAC=30°,

AZ2=ZDCA+ZDAC=60°,

；.Nl+/2=180°,

AZI=180°-60°=120°.

故答案为120.

【点评】本题考查了直接三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直

角三角形的外心位于斜边的中点）.也考查了平行线的性质.

4.（2019•上海）在△ABC和△AiBiCi中，已知NC=NCi=90°,AC=A\Ci=3,BC=4,81cl=2,点

D、。分别在边48、ABi上，且△AC£>g/\CiAiOi，那么4。的长是_旦_.

~3-

【分析】根据勾股定理求得AB=5,由△ACO9△C1A1G，所以可以将Ai点放在左图的C点上，Q点

放在左图的A点上，。点对应左图的。点，从而得出BC//B\C\,根据其性质得出殳也=2,解得求

AD

出AO的长.

【解答】解：丝△CiAiOi，可以将△CiAi。与△AC。重合，如图,

：/ACB=/AlC181=90°,

：.BC//B\C\,

BC

•AD=11

・•丽BC

：AC=3,BC=4,

•'-AB=4§2+42=5,

•AD=2

,,5-AD丁

解得AD=上，

3

AO的长为国，

3

故答案为互.

3

C⑷

【点评】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，平行线的性质，证得地=2三_1是解题的

BDBC

关键.

5.（2016•上海）在△ABC中，点£＞、E分别是边AB、AC的中点，那么△AOE的面积与△ABC的面积的

比是1.

—4―

C

【分析】构建三角形中位线定理得DE//BC,推出△AOES/XABC,所以.△整也;（迈）2,由此即可

2AABCBC

证明.

【解答】解：如图，'：AD=DB,AE=EC,

：.DE//BC.DE=、BC,

2

AADE^AABC,

S

.AADE(DE)2=工

,△ABCBC4

故答案为工.

4

【点评】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是记住相似三角形的面积

比等于相似比的平方，属于中考常考题型.

❶【中考挑战满分模拟练】

一.选择题（共5小题）

1.（2022•嘉定区校级模拟）下列命题中，真命题是（）

A.周长相等的锐角三角形都全等

B.周长相等的直角三角形都全等

C.周长相等的钝角三角形都全等

D.周长相等的等腰直角三角形都全等

【分析】全等三角形必须是对应角相等，对应边相等，根据全等三角形的判定方法，逐一检验.

【解答】解：A、周长相等的锐角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；

8、周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；

C、周长相等的钝角三角形对应钝角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；

。、由于等腰直角三角形三边之比为1：1：&,故周长相等时，等腰直角三角形的对应角相等，对应边

相等，故全等，真命题.

故选：D.

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的运用，命题与定理的概念.关键是明确全等三角形的对应边

相等，对应角相等.

2.（2020•浦东新区三模）已知长方体ABCD-EFG”如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是

A.棱E4B.棱ABC.棱GHD.棱GF

【分析】首先确定与GC平行的棱，再确定选项即可求解.

【解答】解：观察图象可知，与棱GC平行的棱有AE、BF、DH.

故选：A.

【点评】本题考查认识立体图形，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，属于基础题.

3.（2022•奉贤区二模）如图，在△ABC中，AB=AC,NA=100°,点。在边AB的延长线上，根据图中

尺规作图的痕迹，可知NO8E的度数为（）

【分析】根据等腰三角形的性质可得NABC=40°,进一步可得NC8。的度数，根据作图可知BE平分/

CBD,即可求出NOBE的度数.

【解答】解:'：AB=AC,/A=100°,

.•./ABC=/ACB=40°,

AZCBD=180°-40°=140°,

根据作图可知BE平分/C3£）,

；.NDBE=L/CBD=70°,

2

故选：c.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等，熟练掌握这些知识是

解题的关键.

4.（2022•徐汇区模拟）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P.其

中一把直尺边缘恰好和射线OA重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB重合，上边缘与射线OA交于点

M,联结OP.若N8OP=28°,则NAMP的大小为（）

A.62°B.56°C,52°D.46°

【分析】过尸点作PC05,一把直尺边缘与QA的交点为£,如图，根据题意得到PQ=PE,根据角平分

线的性质定理的逆定理可判断0P平分NA08,所以NA0P=NB。尸=28°,然后根据平行线的性质求

解.

【解答】解：过尸点作尸。，05,一把直尺边缘与QA的交点为E,如图，

•/两把直尺为完全相同的长方形，

:,PD=PE,

VPE10A,PDLOB,

：.0P平分NA03,

AZAOP=ZBOP=2S°,

AZAOB=56°,

♦：PM〃OB,

：.ZAMP=ZAOB=56°.

故选：B.

§

0)

E

M/

|IIII|IIII|IIIL|4|Il|llll|llll|llll|llll|

01245678910

ODB

【点评】本题考查了角平分线的性质：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.也考查

了平行线的性质.

5.（2021•浦东新区模拟）把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边

平行（如图所示），那么N1的度数是（)

90°C.100°D.105°

【分析】通过在N1的顶点作斜边的平行线可得Nl=105°.

【解答】解：如图：过/I的顶点作斜边的平行线，

利用平行线的性质可得，21=60°+45°=105°.

故选：D.

【点评】本题考查了平行线的性质，利用了转化的数学思想.

二.填空题（共27小题）

6.（2019•浦东新区二模）已知一个角的度数为50度，那么这个角的补角等于130。.

【分析】根据如果两个角的和等于180°,那么这两个角叫互为补角计算即可.

【解答】解：180°-50°=130°.

故这个角的补角等于130°.

故答案为：130°.

【点评】本题考查的是余角和补角的定义，如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角.如果

两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角.其中一个角叫做另一个角的补角.

7.（2022•徐汇区二模）如图，已知Zl=I20°,Z2=30°,那么NC的度数为30°.

【分析】由AE〃B。，可求得NCE4的度数，再利用三角形的内角和等于180°,即可求得答案.

【解答】解：,：AE//BD,N2=30°,

.•./CE4=/2=30°,

又：N1=12O°,

AZC=180°-ZCEA-Zl=180°-120°-30°=30°,

故答案为：30°.

【点评】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的运用.解题的关键是注意数形结合思想的应用.

8.（2022•金山区二模）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽弦图为基础

设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如图的弦图中大正

方形边长为4,每个直角三角形较小的锐角为30°,那么小正方形面积为

【分析】根据题意和题目中的数据，可以先求出直角三角形的两条直角边的长，然后即可得到小正方形的

边长，再计算正方形的面积即可.

【解答】解：•••大正方形边长为4,每个直角三角形较小的锐角为30°,

二直角三角形的短直角边为2,长直角边为2近，

...小正方形的边长为：2加-2,

二小正方形面积为:（2百-2）2

=12-873+4

=16-873.

故答案为：16-8百.

【点评】本题考查勾股定理的证明、正方形的面积、锐角三角函数，解答本题的关键是求出小正方形的边

长.

9.（2022•普陀区二模）如图，在△ABC中，点。在边8c上，AD=BD,如果N0AC=1O2°,

那么NB4D=26度.

【分析】根据三角形的内角和定理得到N4OC+NC=180。-ZDAC==78°,根据等腰三角形的性质即

可得到结论.

【解答】解：・・・NZMC=102°,

AZADC+ZC=180°-ZDAC==1S°,

\UAB=AC,

：.NB=NC,

\'AD=BDt

：.ZB=ZBADf

•/ZADC=ZB+ZBAD=2ZB,

：.ZADC+ZC=2ZB+ZB=3ZB=78°,

AZBAD=26°,

故答案为：26.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关

键.

10.（2022•宝山区二模）如果一个等腰直角三角形的面积是1,那么它的周长是2芯+2.

【分析】设等腰直角三角形的腰为x,根据面积可得腰长，再根据勾股定理可得底边长，即可求出等腰直

角三角形的周长.

【解答】解：设等腰直角三角形的腰为X,

•..一个等腰直角三角形的面积是1,

解得x=&或x=-&（舍），

•••腰长为加，

根据勾股定理，得底边为2,

.•.这个等腰直角三角形的周长为2&+2,

故答案为：2V^+2.

【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，周长和面积，勾股定理等，熟练掌握等腰直角三角形的性质

是解题的关键.

11.（2022•松江区校级模拟）如图，在△ABC中，已知AOLBC,垂足为£>,BD=2CD.若E是AO的中

点，点$△些=6.

2AECD

【分析】设的面积为S,根据三角形面积公式，利用E是AO的中点得到SMCO=2S,再利用

2c。得至USAABO=4S,所以〃ABC=6S,从而得到返•的值.

2AECD

【解答】解：设的面积为S,

是AO的中点，

**•S/^ACD=2SAECD=2S,

♦：BD=2CD,

**•SAAGD—2SA4CD~2X2s=4S，

S/\ABC=2S+4s=6S,

S

.AABC=6S=A

2AECDS

故答案为：6.

【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S=Lx底X高；三

2

角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.

12.（2022•金山区校级模拟）已知正三角形A8C的半径为4,那么正三角形ABC的面积为12《.

【分析】过A点作于D,O为等边AABC的外心，如图，根据等边三角形的性质得到0。=2,

BD=CD=2M，则A£>=6,然后根据三角形的面积公式计算.

【解答】解：过A点作AO-L8C于。，点。为等边△ABC的外心，如图，08=4,

:△ABC为等边三角形，

：.BD=CD,ZOBD=30°,

：.OD=2,BD=2M，

，AO=4+2=6,BC=4如

...正三角形ABC的面积=」X6X4y5=12瓶.

2

故答案为：12«.

【点评】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.

13.（2022•松江区校级模拟）如果一个等腰直角三角形的面积是5,那它的直角边长是

【分析】可令等腰直角三角形的直角边长为x,利用三角形的面积公式进行求解即可.

【解答】解：设等腰直角三角形的直角边长为X,依题意得：

1「

yx,x=5,

解得：I=-记或（不符合题意，舍去）.

故答案为：Vio.

【点评】本题主要考查等腰直角三角形，解答的关键是明确等腰直角三角形的两条直角边相等.

14.（2022•黄浦区二模）如图，已知AB//DE,如果NA8C=70°,ZCDE=147°,那么N6CO=

37°.

4R

70*7

147*

【分析】过点C作CF〃AB,则NBCF=NABC=70°,结合AB〃QE可得。E〃CF,进而可得NDC尸的

度数，进而可得N8C。的度数.

【解答】解：如图，过点＜7作。尸〃48,贝Ij/BCF=/ABC=7O°,

'：AB//DE,

：.DE//CF,

：.ZDCF=180°-ZCD£=180°-147°=33°,

:.NBCD=NBCF-NDCF=10°-33°=37°.

故答案为：37.

【点评】本题主要考查平行线的性质，构造合适的辅助线解题是解题关键.

15.（2022•宝山区模拟）如图，点B、C、。在同一直线上，CE//AB,ZACB=90°,如果/EC£）=

35°,那么NA=55°.

【分析】由NACB=90°,ZECD=36°,求得NACE的度数，又由CE〃AB,即可求得乙4的度数.

【解答】解：VZ£CD=35°,NACB=90°,

AZACD=90°,

AZACE=ZACD-ZECD=90°-35°=55°,

\'CE//AB,

：.ZA=ZACE=55°.

故答案为：55°.

【点评】此题考查了平行线的性质.解题的关键是注意数形结合思想的应用.

16.（2022•杨浦区三模）新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底

三角形，这条边叫做等底.如图，AABC是等高底三角形，BC是等底，点A关于直线BC的对称点是点

A',联结AA',如果点B是△AA'C的重心，那么3c的值是运

BC-2'

【分析】延长CB与A4Z交于点D,根据轴对称性质得AC=A'C,AD=A'D,AO_LC£>,再由AABC

是等高底三角形，BC是等底，得AD^BC,再根据三角形的重心定理得AD=BC^1CD,设AO=8C=

3

2x,则CO=3x,由勾股定理用x表示AC,进而计算星•的值便可.

BC

.•点A关于直线8c的对称点是点A',

\AC=A'C,AD=A'D,ADLCD,

「ZvlBC是等高底三角形，BC是等底,

•・AD=BC,

••点8是△AA'C的重心，

•.AZ)=BC=2CQ,

3

设AO=BC=2x,则CD=3x,

BC2x2

故答案为：逗.

2

【点评】本题主要考查了对称变换，三角形的重心性质，新定义，关键是根据三角形的重心性质得出AD

与C。的数量关系.

17.（2022•崇明区二模）如果三角形一条边上的中线恰好等于这条边的长，那么我们称这个三角形为“匀

称三角形”.在Rt△48C中，ZC=90°,AOBC,若RtZ\A8C是“匀称三角形"，那么BC：AC：AB=

V2：2：V7.

【分析】根据题意做出图形，设CQ为x,根据“匀称三角形”的定义求出三角形的各边长即可得出结

论.

【解答】解：根据题意作图如下：

♦；BD=AC=2CD,

：,/CBD=90°,

设CD=x,则4c=2JGBC=MX,

二AB=、Bc2+hc2=^x,

:.BC：AC：AB=M：2：

故答案为：Vs：2：V7.

【点评】本题主要考查勾股定理，三角形中线，特殊角三角函数等知识，正确理解“匀称三角形”的定义

是解题的关键.

18.（2022•黄浦区二模）如图，已知三根长度相等的木棍，现将木棍AB垂直立于水平的地面上，把木棍

CD斜钉在木棍AB上，点D是木棍AB的中点，再把木棍EF斜钉在木棍CD上，点F是木棍CD的中

点，如果A、C、E在一条直线上，那么蚂的值为近二1.

AE_2一

【分析】根据勾股定理求出AC,根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AF=FC,根据等腰三角形的性

质求出A4,根据三角形中位线定理求出FH,根据勾股定理求出计算即可.

【解答】解：设木棍的长度为2a,

:点。是A8的中点，

：.AD=lAB=a,

2

.•.AC=7cD2-AD2=V(2a)2-a2=V3«-

在RtZ\D4C中，点尸是cn的中点，

.•.AF=」CD=CF=q,

2

2

•:DF=FC,

：.FH=lAD^ka,

22

EH=(EF2rH2y⑵产-ga)2=9口

，AE=AH+EH=«4A

_2

•ACV3a_V5-1

"AE愿+2

2a

故答案为：返二L

2

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理，用。表示出

AC、HE是解题的关键.

19.（2022•松江区校级模拟）如图，直线1i//12,点A在直线1\上，点8在直线/2上，AC=BC,BD=

CD,ZC=30°,则Nl=45°

【分析】由等腰三角形的性质可得/C48=/CBA,NCBD=NC=30°,由三角形的内角和可求得/

CQB=120°,再由三角形的外角性质可求得NCAB的度数，即可得的度数，再由平行线的性质可

求得N1的度数.

【解答】解：'：AC=BC,BD=CD,NC=30°,

；.NCAB=NCBA,ZCBD=ZC=30°,

AZCDB=180°-ZC-ZCBD=120°,

；ZCDB是△48。的外角，ZABD=ZCBA-/CBD=NCAB-30°,

/CDB=ZCAB+ZABD,

即120°=/C48+NCAB-30°,

解得：NCAB=75°,

：.ZCBA=15°,

AZABD^ZCBA-30°=45°,

■:卜"b，

：.Z\=ZABD=45°.

故答案为：45°.

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关

系.

20.（2022•黄浦区校级二模）如图，在△ABC中，ZACB=120°,AC=BC=6,点£在边AB上且AE=

2BE,点尸在边8c上，过点尸作EF的垂线交射线AC于点G,当RtaEFG的一条直角边与△A8C的一边

平行时，则AG=4或8.

【分析】分GF〃A8,EF//AC,EF〃4c三种情况，结合含30°角的直角三角形和平行线分线段成比例定

理分别求解.

VZACB=120",AC=BC=6,

/.ZA=ZB=30°,

在RtZXCBM中，CM=LC=3,

2

：.AB=2BM=2X代CM=6M,

\'AE=2BE,

：.AE=4-J3,BE=2y/3,

①当GF//AB时，

由题意可得NGFE=90°,

AZF£B=90°,

在RtZXEFB中，ZB=30°,

:.EF=^-BE=2,BF=4,

3

y.'：GF//AB,

；.NCGF=NCFG=30°,

：.CG=CF=2,

.♦.AG=4；

②当GE〃8c时，

此时也屈，

ACAB

.AG473

FW

，AG=4；

③当E尸〃AC时,

G

c

A

此时NFEB=NA=30°,

过点F作FNLEB,

:.EN=BN=M，BF=2FN=2,

VZACB=120",/CGF=90°,

/.ZGCF=60°,

在RtZXCG尸中，CG=ACF=A(6-2)=2,

22

，AG=6+2=8,

综上，AG的长为4或8,

故答案为：4或8.

【点评】本题考查含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质，理解等腰三角形的性质，掌握含

30°角的直角三角形的性质，利用分类讨论思想解题是关键.

21.(2022•徐汇区模拟)如图，四个白色全等直角三角形与四个黑色全等三角形按如图所示方式摆放成

“风车”型，且黑色三角形的顶点E、/、G、H分别在白色直角三角形的斜边上，已知NABO=90°,OB

=3,48=4,若点A、E、。在同一直线上，则OE的长为生.

~37~

【分析】建立平面直角坐标系，得出点4、B、C、。的坐标，利用待定系数法分别求出直线AO,直线OC

的解析式，联立解方程组可得点E的坐标，即可求解.

【解答】解：建立平面直角坐标系如图：

A

y

X

VZABO=90°,。8=3,A8=4,△ABOdCOO,

：.OD=OB=3,CD=AB=4,

；.点4(-4,-3)、8(0,-3)、C(3,-4)、0(3,0),

设直线AD的解析式为y=kx+b,

../-4k+b=-3,解：

(3k+b=0

直线AD的解析式为丫=寺-X

设直线OC析式为y=)wc,

/.3m=-4,解得tn=-A,

3

二直线OC析式为y=-刍，

3

f_39

x市

联立•，

436,

片三xy--37

：.E(-2Z,-渔)

3737

­,•H<)2+<)2=f

故答案为：45

37

【点评】本题考查全等三角形的性质，坐标与图形性质，待定系数法求函数的解析式，建立平面直角坐标

系是解题的关键.

22.(2022•徐汇区模拟)如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC

=6厘米，长CO=16厘米的矩形.当水面触到杯口边缘时，边C。恰有一半露出水面，那么此时水面高度

是9.6厘米.

【分析】直接利用勾股定理得出8尸的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案.

【解答】解：如图所示：作于点E,

由题意可得，BC=6cm,CF=^DC=8cm,

2

故^=VFC2+BC2=VS2+82=1°(cm),

可得：/CFB=NBAE,NC=NAEB,

故

.BC=FB

*'EBAB)

...且=也

"BEIT

解得：BE=9.6.

故答案为：9.6.

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题关键.

23.(2022•上海模拟)如图是四边形纸片ABCD,已知ADHBC,NB=90°,AD=3,AB=4,BC=5,

点E、F、G分别在边AB,BC、CD上.如果沿CE、FG将纸片剪开后，所得的四个部分的面积全部相

等，那么线段CF的长为_/万_.

AD

【分析】设CE与GF交于。，分别过。、D、G作BC垂线于M、N、H,则四边形ABM9为矩形，DN//

GH//OM,根据三角形面积公式及相似三角形的判定与性质可得@LM=2,设CH=x,再次根据三角形

CHCN

面积公式及相似三角形的性质得到方程，求解即可得到答案.

【解答】解：设CE与G尸交于0,分别过。、D、G作BC垂线于M、N、H,

则四边形ABN。为矩形，DN//GH//OM,

：.BM=AD=3,CN=2,0N=AB=4,

•••所得的四个部分的面积全部相等，

每一部分面积为：lx(5+3)义4+4=4,

2

.FBEC=2X4=』8E,8C=SBE，

22

5

,:S&OFC=SAOGC，

：.0F=0G,

'JOM//GH,

：./\FOMS/\FGH,

"JGH//DN,

:.ACGHsXCDN,

.GHDN-o

CHCN

设CH=x,

又,；SZSOFC=4=A^F・0M，CF=—,

2x

：.FH=3.-X,

x

：.FM=MH=（A_x）4-2,

x

.♦.5=&-（&-x）+2=93,

xxx2

'COM//BE,

:.ACOMsACEB,

.ONCM

**BE=BC"

4x

.x_x节

•豆二5'

V

...x=+8叵（负根舍去），

一17

.8V17

.•人v=，，，

17_

经检验*=超叵是原方程的根，

一17

6=庭亚_是原方程的解，

17

.•.cr=3=717.

X

故答案为：\fl7.

【点评】此题考查的是平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确作出辅

助线，构造出三角形是解决此题的关键.

24.（2022•嘉定区校级模拟）如图，点B、C、。在同一条直线上，CE//AB,NACB=90°,如果/ECO

=36°,那么NA=54.

A

【分析】由NAC8=90°,/ECD=36°,求得NACE的度数，又由CE〃AB,即可求得NA的度数.

【解答】解：VZ£CD=36°,ZACB=90Q,

：.ZACD=90°,

AZACE=ZACD-ZECD=90°-36°=54°,

,JCE//A