高中数学：黄金椭圆的性质

高中数学：黄金椭圆的性质

^5—1

离心率为了的椭圆被称做“黄金椭圆”，它有不少有

x?y?

趣的性质，本文约定椭圆方程为君(a>b>0)o

1.若椭圆是黄金椭圆，则a,b,c成等比数列。

证明：因为椭圆为黄金椭圆,

c

苴匚，即c二正二1a

所以二29

b2=a2-c2=a：

A/5-12

=ac,故a,b,c成等比数歹h

上述命题的逆命题也真。

事实上，ib2=acAb2=a2—c2,得

a2—c2=ac,e2+e-1=0,

—1

因为0〈e<1,所以g-7-,故此椭圆为黄金椭圆。

2.若椭圆为黄金椭圆，设A(a,0),B(0,b),F

(-c,0),则AABF为直角三角形。

证明：在4ABF中，版I'a'bz,

|BF|2=b2+c2,|AFj2=(a+c),

所以网2+|BFf=『+2b2+c2,

又椭圆为黄金椭圆。

由性质1有b2=ac,

所以|AB|2+|BF|2=a2+2ac+c2

22

=(a+c)=|AF|,

即AABF为直角三角形。

上述命题的逆命题也为真命题。

事实上，由4ABF为直角三角形，得

|AB|2+|BF|2=|Aif,

即(a2+b2)+(b2+c2)=(a+c)2,

所以，b2=aco

故此椭圆为黄金椭圆。

3.若椭圆是黄金椭圆，P、Q为椭圆上任意两点，M为

线段PQ的中点，若PQ与0M的斜率存在，则

..6-1

kpQ•k°M=——--

No

证明：设M(xo,yo)，P(xo+m,yo+n),

则Q(xo-m,yo-n),

Yo.k=£

PQ

于是koM=xjmo

因为点P、Q在椭圆上，

2

(x()+m)2(y0+n)

所以一^-,①

2

(x0-m)(y0-n)

②

4mx。4ny0

①-②，得KF=°,

2

n__bx0

2

所以may0,

乂椭圆为黄金椭圆,

所以b2=ac,

,ny0132c75-1

PQ,kOM=—,—=~-=--=—-；—

mx0aa2o

上述命题的逆命题也成立。

事实上，由上得知

2

11ny0b

KPQ・KOM=­•一=一丁

mx0a

_A/5-1__c

2a,

所以b2=ac,

故此椭圆为黄金椭圆。

4.若椭圆是黄金椭圆，P为椭圆上任意一点，P在x轴

上的射影为M,椭圆在P点的法线交x轴于N,则

网，石T"

|OM|2，。

证明：设P(xo,yo)o

将b2x2+a2y2=a2b2两边对x求导，得

2b2x+2a2y-y'=0,

b2x

所以y二-访。

即椭圆在点p的法线的斜率

k—=学

y小。，

故点P的法线方程为

詈2"(x-x。)

y-yo=bxoo

.2_<2

令y=0,得网=国=^-或

又|OM|=%|,

222

|ON|=a-b=c

所以西=^^二/。

又椭圆为黄金椭圆，

网c2

所以1叫？〈2L

上述命题的逆命题也成立。

事实上，由上可知

222

|ON|a-bcJ5-l2

西=a[=F=(2),

cV5-1.2

=ac

所以1T「bo

故此椭圆为黄金椭圆。

5.若椭圆是黄金椭圆，设Ai(―a,0),A2(a,

0),Bi(0,-b),B2(0,b),则菱形A1B1A2B2

的内切圆过焦点。

-y

证明：设A2B2:Ib,即

bx+ay=abo

ab

d1=——

又点(0,0)到直线bx+ay=ab的距离好寿，

.2_a2b2_a2ac_a2c

所以a2+b2a2+aca+c

_(b2+c2)c_(ac+c2)c

a+ca+c

_(a+c)d

a+c,

故焦点在内切圆上。

上述命题的逆命题也成立。

ab

d1=_=c

事实上，由上知「在