高考数学二轮复习资料10 排列、组合、二项式定理教学案

【2013考纲解读】

1.理解并运用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；

2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简

单的实际问题；

3.能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问

题.

【知识网络构建】

两个基本原声「

|——|计数原理|-------1二项式定理

排列后组合

【重点知识整合】

1.两个基本原理

(1)分类加法计数原理；

(2)分类乘法计数原理；

2.排列

(1)定义；

nI

(2)排列数公式：A7=-----:-----{n,zz/EN,mWri)；

n—m!

3.组合

(1)定义；(2)组合数公式；(3)组合数的性质：&=&一"(如且"W〃)；C+1=C：+

C丁(m,L>N,且mWn).

4.二项式定理

r

(a+6)〃展开式共有〃+1项，其中r+1项T^=Cna-lj.

5.二项式系数的性质

二项式系数是指或，Ci,C这〃+1个组合数.

二项式系数具有如下几个性质：

(1)对称性、等距性、单调性、最值性；

(2)C+Ci-+i+Cr+2H----FC；=C/1；；

C[+e+鬃+…+C；+…+C：=2”；

C+C：+C：+…=C：+C：+c:+…=2"T；

C；+2a+3*---卜&=n-2”T等.

【高频考点突破】

考点一两个计数原理的应用

分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问

题，其中各种方法相，互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理

针对的是“分步”.问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件

事.

例1、给A个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当〃W4时，在所有不同的着色方

案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示:

由此推断，当〃=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，至少有两个

黑色正方形相邻的着色方案共有种（结果用数值表示）.

解析：〈1〉以黑色正方形的个数分类，

①若有3个黑色正方形，则有或=4种；②若有2个黑色正方形，则有森=10（种）；③

若有1个黑色正方形，则有己=6（种）；④若无黑色正方形，则有1种.

.•.共4+10+6+1=21（种）.

〈2〉法一：至少有2个黑色正方形相邻包括有2个黑色正方形相邻，有3个黑色正方

形相邻，有4个黑色正方形相邻，有5个黑色正方形相邻，有6个黑色正方形相邻.

①只有2个黑色正方形相邻，有A5+A3+d=23（种）；

②只有3个黑色正方形相邻，有C；+A；+C；=12（种）；

③只有4个黑色正方形相邻，有C；+C；=5（种）；

④只有5个黑色正方形相邻，有以=2（种）；

⑤有6个黑色正方形相邻，有1（种）.

共23+12+5+2+1=43（种）.

法二：所求事件的对立事件为“黑色正方形互不相邻”，由〈1〉知共有21种，而给6

个相连正方形着黑色、白色的方案共有2,种，故所求事件的种数为：26—21=43.

答案：2143

【变式探究】正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它

的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）

A.20B.15

C.12D.10

解析：如图，在正五棱柱瓦中，从顶点/出发的对角线有两条：NG、

同理从3、C、D、E点出发的对角线

也有两条，共2x5=10条.

答案：D

【方法技巧】

1.在应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步.每一步当中又可能用到分类计

数原理.

2.对于较复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题

形象化、直观化.

考点二排列组合

1.排列数公式：

z?!

A；=〃（〃-1）…（〃一7+1）=---------.

n—m!

2.组合数公式：

加A〃一―一_________n\_____

07Atm\m\n-m!,

3.组合数的性质:

①戢=&f；②比+c：|=c〉i.

例2、由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数

是()

A.72B.96

C.108D.144

解析：从2,4,6三个偶数中选一个数放在个位，有Q种方法，将其余两个偶数全排列，

有.V种排法,当1,3不相邻且不与5相邻时有W种方法,当1:3相邻且不与5相邻时有

种方法，故满足题意的偶数个数有Cj,A2(A?+ArA；)=108个.

答案：C

【变式探究】在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，

不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的

数字相同的信息个数为.

解析：由题意得与信息至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为：2,一位一

1=11.

答案：11

【方法技巧】排列与组合综合应用问题的常见解法

⑴特殊元素［特殊位置:优先安排法；

(2)合理分类与准确分步法；

(3)排列与组合混合问题先选后排法；

(4)相邻问题捆绑法;

(5)不相邻问题插空法；

(6)定序问题缩倍法；

(7)多排问题一排法;

(8广小集团回题先整体后局部法；

(9)构造模型法；

(10)正难则反，等价转化法.

考点三二项式定理

1.二项式定理：

(a+6)〃=C：a7°+C：aL%+…+比a"-7，+…+C沆

2.通项与二项式系数：

其中&(r=0,1,2,…，A)叫做二项式系数.

3.各二项式系数之和：

⑴c：+e+a+…+CA2：

(2)C：+C：+…=或+鬣+…=2"?

4.二项式系数的性质：

⑴二项式系数首末两端“等距离”相等，即&=&一二

⑵二项式系数最值问题

77n

当〃为偶数时，中间一项即第万+1项的二项式系数c5最大；当〃为奇数时，中间两

n-1-l"T-Rw-1n+1

项即第三一，三一项的二项式系数c[-，c；"相等且最大.

a1

例3、(x+T(2x——”的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为()

XX

A.-40B.-20

C.20D.4。

解析：对于(、+§0一)3可令工=1得1+2=2,故q=l.(2x—!下的展开式的通项工,

AXA

-：=CW(2x)5F(T)，=a25rx(-D'xx5P,要得到展开式的常数项，则X+L的X与(2%一户

AAA

展开式的y目乘，x+：的%(2x—§：展开式的x相乘，故令5—2「=-1得?=3,令5—2r=

1得r=2,从而可得常数项为

C1X22X(—iy+CTx2Jx(—1)2=40.

答案：D

【变式探究】设(x—lyinao+aix+azfH---Vai\x\则am+au=.

解析：(x—1)、的展开式的通项为「-1=6这二-',(一1)。由题意知210>a】i分别是含£：和

一项的系数，

所以6，：=—C4，61=6%

所以Qio+Qi1=Ci1?—Ci1=0.

答案：0

【方法技巧】在应用通项公式时，要注意以下几点

(1)它表示二项展开式中的任意项，只要〃与r确定，该项就随之确定.

(2)Tki是展开式中的第r+1项而不是第r项.

(3)二项式系数与项的系数不同，项的系数除包含二项式系数外，还与a、6中的系数有

关.

【难点探究】

难点一计数原理

例1、某人设计一项单人游戏，规则如下:先将一棋子放在如图18—1所示正方形ABCD(边

长为3个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的

单位，如果掷出的点数为…，6),则棋子就按逆时针方向行走［•个单位，一直

循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点力处的所有不同走法共有()

C.25种D.36种

t分析】掷三次骰子，点数最多为1S,因此回到点W处只能是一次，而不能是回到点

/后再次回到点儿由于正方形的周长为12,即说明三次掷的骰子点数之和为12,设三次点

数分别为a,b,c,即方程a+b+o=12的满足1金，b,c<6的解的组数即为所求的走法.我

们可以先固定其中的一个点数，分类求解另外的点数的各种可能情况.

【答案】C

【解析】根据分析,a=L则i+c=ll,只能是(5,6),(6,5),2种情况；a=2>则b

+c=10.只能是(4,6),(5,5),(6,4),3种情况;若a=3,则匕+c=9,只能是(3⑨，(4,5),

(5,4),(6,3),4种情况;a=4,则匕+c=8,只能是—,(4,4).(5,3).(6,2),5种情

况；a=5,则匕+c=7,只能是Q6),(2,5),(3用，也3),(5,2)，(61)，6种情况；a=6,则

b+c=6,只能是15),(23),(3,3),(4,2),(5,1),5种情况.故总计2+3+4+5+6+5=25

种可能.

【点评】本题的设计极为巧妙，在必修3的教材中就有投掷骰子求点数之和的例子，这

里把这个问题进行变通，问题就相当于在固定第一次投挑结果的情况下，分别求投掷两次骰

子其点数之和是6J,8.9.10J1的情况有多少种.

难点二排列与组合

例2、在送医下乡活动中，某医院安排3名男医生和2名女医生到三所乡医院工作，每

所医院至少安排一名医生，且女医生不安排在同一乡医院工作，则不同的分配方法总数为

()

A.78B.114C.108D.120

【分析】先分组后分配，然后减去两名女医生在一个医院的情况.

【答案】B

【解析】五人分组有（1,1,3）,（1,2,2）两种分组方案，方法数是箸+等

25,

故分配方案的总数是25A：=150种.当仅仅两名女医生一组时，分组数是C；,当两名女医生

中还有一名男医生时，分组方法也是C；,故两名女医生在一个医院的分配方案是6A；=36.

符合要求的分配方法总数是150—36=114.

难点三二项式定理

例3、若上切一行”的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为.

【答案】一"0

【解析】令x=l得二项式：3衽一｝:展开式的各项系数之和是V,由此得〃=6.根据

二项式的特点，其常数项一定是中间项，这个常数项是63以（-1/=一540.

【点评】注意二项式各项系敌之和与各项的二项式系数之和的区别，这个题目这两个和

相等，但很多是不相等的.

【历届高考真题】

【2012年高考试题】

（1y

1.12012高考真题重庆理4]«+的展开式中常数项为

I2VxJ

353535

A.—B.—C.—D.105

1684

【答案】B

【解析】二项展开式的通项为心+1=。（五）2（-r）*=（39江1，令4-4=0,

解得k=4,所以心=d）*C；=至，选B

28

2.12012高考真题浙江理6】若从1,2,3,…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和

为偶数，则不同的取法共有

A.60种B.63种C.65种D.66种

【答案】D

【解析】从1,2,3,…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为

三类；第一类是取四个偶数，即C；=5种方法；第一类是取两个奇数，两个偶数，即

C；C：=60种方法；第三类是取四个奇数，即C：=l故有5+60+1=66种方法。故选D。

3.12012高考真题新课标理2】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、

乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有

（）

（4）12种（8）10种（C）9种（。）8种

【答案】A

【解析】先安排老师有乂：=2种方法，在安排学生有C：=6,所以共有12种安排方

案,选A.

4.12012高考真题四川理1]（l+x）7的展开式中f的系数是（）

A、42B、35C、28D、21

【答案】D

【解析】由二项式定理得4=。；且552=21X2,所以的系数为21,选D.

5.[2012高考真题四川理11】方程冲=爆遂+。中的型瓦cc{—3,—2,0,1,2,3},且

a,女c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）

A、60条B、62条C、71条D、80条

【答案】B

【解析】本题可用排除法，a也C-QLZ3},6选3全排列为120,这些方程

所表示的曲线要是抛物线，则4H0且bwO,,要激去2父=40,又6=-2或2和

6=-3或3时，方程出现重复，用分步计数原理可计算重复次数为3x3x2=18,所以不同

的抛物线共有120-40-18=62条.故选B.

6.12012高考真题陕西理8】两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所

有可.能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）

A.10种B.15种C.20种D.30种

【答案】C.

【解析】首先分类计算假如甲赢，比分3：0是1种情况；比分3：1共有3种情况，分

别是前3局中（因为第四局肯定要赢），第一或第二或第三局输，其余局数获胜；比分是3：

2共有6种情况，就是说前4局2：2,最后一局获胜，前4局中，用排列方法，从4局中选

2局获胜，有6种情况.甲一共就1+3+6=10种情况获胜.所以加上乙获胜情况，共有10+10=20

种情况.故选C.

7.12012高考真题山东理11】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡

片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取

法的种数为

(A)232(B)252(C)472(D)484

【答案】C

【解析】若没有红色卡，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有

C：xC：xC：=64种，若2色相同，贝IJ有C；C；C：C：=14%若红色卡片有1张，则剩余2

张若不同色，有种，如同色则有盘=72,所以共有

64+144+192+72=472,故选C.

8.12012高考真题辽宁理5】一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同

的坐法种数为

(A)3X3!(B)3X(3!)3(C)(3!)4(D)9!

【答案】C

【解析】此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3!种排法，三个

家庭共有3卜3卜3!=(3厅种排法；再把三个家庭进行全排列有3!种推法.因此不同的坐法

种数为(3!):答案为c

9.12012高考真题湖北理5】设IEZ,且O«Q<13,若5俨。12+。能被13整除，贝"二

A.0B.1

C.11D.12

【答案】D

【解析】由于

51=52-1,(52—1)~°J=C^)j22^~—(72012^+…一521+1,

又由于13|52,所以只需13|l+a,0Wa〈13,所以a=12选D.

10.[2012高考真题北京理6】从0,2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重

复数字的三位数.其中奇数的个数为()

A.24B.18C.12D.6

【答案】B

【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇

奇.如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，

最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十

位(2种情况)，百位(不能是0,一种情况)，共6种，因此总共12坨=18种情况.

11.12012高考真题安徽理7】(必+2)(=-1)5的展开式的常数项是()

(A)-3(B)-2(C)2(D)3:

【答案】D

【解析】第一个因式取好，第二个因式取J得：1x(^(—以=5,

第一个因式取2,第二个因式取(一。得：2x(—1)=—：展开式的常数项是

5+(-2)=3.

12.【2012高考真题安徽理1016位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两

位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行

了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()

(A)l或3(3)1或4(C)2或3⑷)2或4

【答案】D

【解析】6-13=15-13=2.

①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人，

②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人.

循环不满足条件输出x=2x1+1=3,选C.

13.12012高考真题天津理5】在(2—旷的二项展开式中，％的系数为

x

(A)10(B)-10

,(C)40(D)-40

【答案】D

【解析】二项展开式的通项为乙1=或(2%2)5-气_工/=或25-。1°田(_1了,令

X

10—3左=1,解得次=9,左=3,所以看=。；22%(—1)3=TQx,所以％,的系数为—40,

选D.

14.12012高考真题全国卷理H】将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字

母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有

(A)12种(B)18种(C)24种(D)36种

【答案】A

【解析】第一步先排第一列有雄=6,在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种

15【2012高考真题重庆理15】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文

化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概

率为(用数字作答).

【答案】|

t解析】6节课共有种排法.语文、数学、外语三门文化课中间隔1节艺术课有

种排法，三门文化课中、都相邻有『高种排法，三门文化课中有两门相邻有

故所有的排法有工索i：+《京后，所以相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的

概率为工/a；+c?a：c；c；遥_工

At5

16.12012高考真题浙江理14］若将函数f(x)=x5表示为

2

/(.X)=a0+at(l+x)+a2(l+.v)++%(l+x),，其中劭，%，的,…，生为实数，则的=

【答案】10

【解析】法一：由等式两边对应项系数相等.

。5=1

即：*C^a5+a4=0n%=10.

Cfa5+C：%+々3=0

法二：对等式：f(x)=X5=%+4(1+尤)+〃2(1+X)2++〃5(l+x)5两边连续对X求导三

次得：60x2=6a§+24%(1+x)+60%Q+无＞，再运用赋值法，令x=-1得:60=6/，即％=10.

17.[2012高考真题陕西理12](a+x)5展开式中/的系数为10,则实数a的值

为.

【答案】L

【解析】根据公式=。，=方得，含有x3的项为月=C；a3x2=101,所以a=1.

2

18.12012高考真题上海理5】在(x——十的二项展开式中，常数项等于。

X

【答案】-160

【解析】二项展开式的通项为"+1=Ck'x6T'(—2了=C^-kX6-2k(-2)k,令

6-2k=0,得左=3,所以常数项为看=C：(—2)3=—160。

19.【2012高考真题广东理10](必+工)6的展开式中X，的系数为.(用数字作

x

答)

【答案】20

26rr23r

【解析】Tr+l=q(x)-(-)=q?-,令12—3r=3得r=3,所以[=20.

20.12012高考真题湖南理13】（2石-3尸的二项展开式中的常数项为.（用

数字作答）

【答案】-160

【解析】（2a-的展开式项公式是

工_1=C：（2五）”（-，=）'=仁21（-1）'/-'.由题意知3-尸=0j=3,所以二项展开式

中的常数项为7；=C2“-1）3=-160.

21.12012高考真题福建理11]（a+x）’的展开式中Y的系数等于8,则实数a=.

【答案】2.

3

【解析】根据公式Tr+i=C；染一7「得,含有%的项为T4=，所以。=2.

22.[2012高考真题全国卷理15】若，的展开式中第3项与第7项的二项式系数

相等，则该展开式中，的系数为.

【答案】56

【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即C；=C：,所以打=8,

所以展开式的通项为心_1=C&s-巴令8-24=-2,解得左=5,所以

X

：

T<=CK-）.所以上的系数为C；=56.

xx*

【2011年高考试题】

1.（2011年高考天津卷理科5）在的二项展开式中，必的系数为（.)

4

【答案1C

【解析】因为空+i

2.（2011年高考福建卷理科6）（l+2x）$的展开式中，K的系数等于（）

A.80B.40.

C.20D.10

【答案】B

3.（2011年高考湖北卷理科11）（x-j*的展开式中含一的项的系数为（结

果用数值表示）

答案：17

1118—3

解析：由心=£.产，（_），=（_#4Y2r令18-亍=15,解得r=2,故其

系数为（-1）2-C^=17.

4.（2011年高考全国卷理科13）（1-石）2°的二项展开式中，x的系数与x，的系数之差

为一

【答案】0

［解析】（.I=（-1）'=（—D'cjjjX2,令g=1得y=2,三=%导y=18

所以x的系数为（-以当=品，x的系数为（-1尸点=4

故x的系数与/的系数之差为&-m=0

5.（2011年高考江苏卷23）（本小题满分10分）

设整数”24,尸（。1）是平面直角坐标系中的点，其.中,a/e{l,2,3,,n},a>b

（1）记4为满足a—6=3的点P的个数，求4；

（2）记功为满足』（a-力是整数的点尸的个数，球工

3

解析：考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力，较难题.

（1）因为满足a-b=3a石w{L23…的每一组解构成一个点P，所以

4=〃—3.

（2）设t（a-6）=左wT,则a-6=3£0<3左4〃一1,二0<左《二：

33

时每一个k对应的解数为：n-3k,构成以3为公差的等差数列；.

当n-l被3整除时，解数一共有：1+4+…+〃_3=1-'Tn-1LL）。：一二）

236

当n-1被3除余1时，解数一共有：2+5+•••+”3=1+"-3"［二"-）［竺1）

-6

当41被3除余2时.，解数一共有：3+6+...+〃―3=323'”3，匚3》

6

5—1)(〃-2)”，0r

---------zn-3k^lom=3左+2

B=<6(左w.M)

(w-3)n_

------.n=3k+3

6

［20JO年高考试题】

1.（2010全国卷2理数）（6）将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的

信封中.若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种

【答案】B

【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有C

种方法；其他四封信放入两个信封，每个

二〜。=18

信封两个有-T：种方法，共有-A：-种，故选R

2.（2010江西理数）6.（2-石『展开式中不含f项的系数的和为（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现

正难则反.采用赋值法，令X=1得：系数和为1,减去一项系数C；2°（-1）=1即为所求，

答案为0.

3.（2010重庆理数）（9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值

班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，

则不同的安排方案共有

A.504种B.960种C.L008种D.1108种

解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号共有2x££工种方法

甲乙排中间，丙排7号或不排7号，共有+44^1）种方法

故共有1008种不同的推法

答案：C

4.（2010四川理数）（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相

邻的六位偶数的个数是

（A）72（8）96（O108（。）144

解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法w_w_w*u.co*m

①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3MM=24个

②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3M尺=12个

算上个位偶数字的排法，共计3（24+12）=108个

答案：C

5.（2010天津理数）（10）如图，用四种不同颜色给图中的儿8,配口忑乃六个点涂色，

要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的

涂色方法用

（A）288种（B）264种（C）240种（D）168种

【答案】D

【解析】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题。

（1）B,D,E,F用四种颜色，则有阎xlxl=24种涂色方法；

（2）B,D,E,F用三种颜色,贝U有团x2x2+/x2xlx2=192种涂色方法;

（3）B,D,E,F用两种颜色，则有痣x2x2=48种涂色方法;

所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法。

6.（2010湖北理数）8、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服

务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、

乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是

A.152B.126C.90D.54

【答案】B

【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有C；x期=1$；若有1人从事司

机工作，则方案有C：KC：XW