高中数学讲义-向量的减法运算

高中数学讲义一向量的臧法运算

目录

1.教学大纲....................................................................1

2.知识点一相反向量.........................................................1

3.知识点二向量的减法.......................................................2

4.练习........................................................................2

5.探究点一向量的减法运算...................................................3

6.探究点二向量的减法及其几何意义..........................................4

7.探究点三用已知向量表示其他向量..........................................6

8.练习........................................................................7

9.课时作业（三）向量的减法运算...............................................8

1.教学大纲

新课程标准学业水平要求

1.能通过向量的加法运算抽象出向量

减法运算.（数学抽象）

借助实例和平面2理.解相反向量的概念，了解向量加

平

向量的几何表示，掌握法与减法的关系.（逻辑推理）

平面向量减法运算及3.掌握向量的减法运算，并理解其几

运算规则，理解其几何何意义.（直观想象）

意义.掌握向量的加减运算法则及其几何意

平义，并能运用它们解决相应的向量问

题.（直观想象）

2.知识点一相反向量

1.定义：与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做。的相反向量，记作

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2.性质

(1)对于相反向量有：a+(—a)=0；

(2)若a,Z＞互为相反向量，则a=-5，a+6=0；

(3)零向量的相反向量仍是零向量.

［点拨］(1)相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定

义，相反向量必为平行向量；

(2)一个误区：将相反向量等同于方向相反的向量.

3.知识点二向量的减法

1.定义：向量a加上方的相反向量，叫做a与8的差，即a—b=a+(—

求两个向量差的运算叫做向量的减法.

2.作法：在平面内任取一点O,作晶=a,OB=b,则丽=a-b,如图

所示.

OaA

3.几何意义：a—。可以表示为从向量〃的终点指向向量。的终息的向量.

［点拨］(1)向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，一

AB=BA,就可以把向量的减法转化为加法；

(2)向量减法满足三角形法则，在用三角形法则作向量减法时，要谨记“共

起点，连终点，指向被减”原则.解题时要结合图形，准确判断，防止混淆.

4.练习

1.判断正误(正确的打“，错误的打“义”)

(1)向量a—8当它们起点重合时可以看作从向量。的终点指向向量a的终点

的向量.()

(2)相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反向量.()

(3)向量屈与向量或是相反向量.()

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(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算.()

答案：(1)V(2)X(3)V(4)7

2.在△ABC中，若放=a,BC=b,则/=()

A.aB.a+b

C.b-aD.a—b

D[CA=BA-BC=a一4故选D.]

3.设分是a的相反向量，则下列说法一定错误的是()

A.。与〃的长度相等B.a//b

C.。与方一定不相等D.。是。的相反向量

Cg是a的相反向量，若取a=Z>=0,则C不正确.]

4.向量疝V可以写成：①而)+而；②而b-ON；③前-ON；@ON

-OM.其中正确的是(填序号).

解析：①历+0N=MN；②丽-ON=~OM-ON=~{0M+

ON；③而-ON=NM；④砺~0M=MN.故①④正确.

答案：①④

5.探究点一向量的减法运算

例化简：(1)成-AD-DC；

(2)(A5-CD)-(AC-BD).

解析：(D法一：AB-AD-DC=DB-DC=CB.

法二：AB-AD-DC=AB~(AD+DC)=AB-AC=Cfi.

法三：AB-AD-DC=AB+(DA+CD)=AB+(CD+DA)=AB+

CA=CA+AB=CB.

(2)法一：(屈-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD=AB+DC

+CA+BD={AB+BD)+(DC+CA)=AD+DA=0.

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法二：(油-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD=(OB-OA)

-(OD-OC)-(0C-OA)+«9D-OB)=OB~OA~0D+OC~OC

+0A+OD-OB=0.

法三：(油-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD=(AB-AC)

+(DC-DB)=CB+BC=0.

方法技巧

向量减法运算的常用方法

，可以通过相反向量，把向量的减法运算转化为加法运算）

运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有

共同的起点

引入点。，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点

统一

［对点训练］

化简下列各式：

(1)(屈+MB)+(~OB-MO)；

(2)AB-AD-DC.

解析：(1)方法一：原式=屈+MB+BO+OM=(AB+BO)+(OM+

MB)=AO+OB=AB.

方法二：原式=屈+MB+BO+OM=AB+(MB+BO)+OM=AB

+MO+OM=AB+Q=AB.

(2)方法一：原式=访-DC=CB.

方法二：原式=卷-(AD+DC-AC=CB.

6.探究点二向量的减法及其几何意义

例因*如图，已知向量a,c不共线，求作向量a+6一c.

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解析：法一：如图①所示，在平面内任取一点0,作醇=a,AB=b,

则无=a+b,再作次7=c,则无=a+b~c.

图①

法二：如图②所示，在平面内任取一点0,作次=a,AB=b,则/=a

+b,再作场=c,连接0C,则无=a+b-c.

方法技巧

求作两个向量的差向量的2种思路

(1)可以转化为向量的加法来进行，如a—b,可以先作一方，然后作a+(~

»即可.

(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量

为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.

［对点训练］

如图所示，。是四边形A5CD内任一点，试根据图中给出的向量，

确定a,b,c,d的方向(用箭头表示)，使a+b=BA,c-d=DC,并画

出b—c和a+d.

解析：因为.+5=丽，c—d=DC,

所以4=宓，b=B0,c=0C,d=OD.如图所示.

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作平行四边形OBEC,平行四边形OOM.

根据平行四边形法则可得b—，=反＞，a+d=OF.

7.探究点三用已知向量表示其他向量

例❸*如图，已知为=a,OB=b,OC=c,OD=d,OF试用a,

b,c,d,/表示以下向量.

(1)商；

(2)Ab；

(3)AD-AB；

(4)AB+CF；

(5)BF-BD.

解析：(1)送=OC-OA=c~a.

(2)AD=OD-OA=d~a.

(3)A£)-AB=BD=OD~OB=d-b.

(4)AB+CF=OB-OA+OF-OC=b~a+f~c.

(5)BF-BD=OF-OB~(OD-OB)=OF-OD=f~d.

方法技巧

用已知向量表示某向量的步骤

1第二步H观察各向量的位置]

|第二步H寻找（或作）相应的平行四边形或三角形）

1第2步H运用法则找关系

［第四步H化简得结果

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［对点训练］

如图所示，在五边形A3COE中，若四边形ACOE是平行四边形，且脑=

a,AC—b,AE=c,则用a,b,c表示下列向量.

®CD=；@BC=；

@BE=；@BD=.

解析：•.•四边形ACDE为平行四边形，

'.CD=AE=c,BC=AC—AB—b~a,BE=AE—AB=c~a,

：.BD=BC+CD=b~a+c.

答案：①c②b—a③c—a@b—a+c

8.练习

1.已知非零向量”与8同向，则a—方（）

A.必定与a同向B.必定与〃同向

C.必定与a是平行向量D.与8不可能是平行向量

C「.•非零向量。与》同向，...a—）与。方向相同或相反，故选C.］

2.化简下列各式：

①屈~（CB-CA）②油-AC+BD-CD③宓-0D+AD

@NQ+QP+MN-MP.

其中结果为0的个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

D[①港~(CB-CA)=AB+BC+CA=AC+CA=0；②筋-AC

+BD-CD=(AB+BD)-(AC+CD)=AD~AD=0；③宓~OD+

AD=DA+AD=0；@NQ+QP+MN~MP=NP+PN=0.以上各式化

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简后结果均为0,故选D.]

3.如图，O为平行四边形A3CD内一点，为=a,OB=b,OC=c，则历

:K

解析：因为放=CD,限=OA-OB,CD=OD-OC,所以沆）

—OC=OA-OB,OD=OA—OB+OC,所以。£）=a—Z>+c.

答案：a-b+c

4.若。是△ABC所在平面内一点，且满足|加-OC\=\OB-OA+OC

-OAI，试判断△ABC的形状.

解析：因为为-OA+OC-OA=AB+AC,OB-OC=CB=AB

-AC.

又|为-OC\=\OB-OA+OC-OAI，

所以|卷+AC\=\AB-ACI，所以以AB,AC为邻边的平行四边形的两条

对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以A8LAC,所以△ABC是

直角三角形.

9.课时作业（三）向量的减法运算

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！）

[A级基础达标]

1.在五边形A3COE中(如图)，AB+BC-DC=()

AB

A.ACB.AD

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C.BDD.BE

B[AB+BC-DC=AB+BC+CD=AD.故选BJ

2.化简：AB-CB+CD-ED-AE=（）

A.0B.AB

C.BAD.CA

A[AB-CB+CD-ED-AE=AB+BC+CD+DE-AE=AE

-AE=0.故选A.]

3.（多选）对于菱形ABC。，下列各式正确的是（）

A.AB=BCB.\AB|=|BC|

C.\AB-CD\=\AD+BC\D.\AD+CD\=\CD-CB\

BCD[菱形ABC。中，如图，|油|=|比I，，B正确.又Dc

\AB-CD\=\AB+DC|=|AB+AB\=2\AB|,\AD+BC\//

AB

=\AD+AD|=2|Ab|=2|AB|,：.C正确；又|疝+CD\=

\DA+DC\=\DBI，\CD-CB|=|BD\=\DB.,.D正确；A显然不正确，故

选BCD.]

4.在平行四边形ABC。中，若I油+AD\=\AB-AD|,则必有（）

A.AD=0B.AB=0或病=0

C.四边形A3CD为矩形D.四边形ABCO为正方形

Cf因为|曲+AD|=|命-AD|,所以|而\=\DB|,即平行四边形

48co的对角线相等，所以平行四边形ABC。为矩形.故选C.]

5.（多选）已知a,8为非零向量，则下列命题中正确的是（）

A.若|a|+向=M+b|,则a与方方向相同

B.若同+|Z>|=|a—勿，则a与。方向相反

C.若⑷+协|=吊一加，则a与。有相等的模

D.若||a|—|b||=|a—加，则a与b方向相同

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ABD[如图，根据平面向量的平行四边形或三角形法“a+b

则，当。，方不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，/Vy

两边之差小于第三边有阿一|加＜|。土例＜|。|+网.当a,5同向―1^

时有|a+例=|a|+网，|⑷一向|=|a一瓦当a,b反向时有|。+回=|同一|训,⑷+网

=|Q一例.故选ABD.]

6.在△A3C中，。是8C的中点，设屈=c,AC=b,BD=a,AD=d,

则d-a—,d+a=.

解析：根据题意画出图形，如图所示，d—a=AD—BD=AD+DB=

AB=c.d+a=AD+BD=AD+DC=AC=b.

答案：cb

7.已知向量⑷=2,向=4,且a,8不是方向相反的向量，则|a—回的取值

范围是.

解析：根据题意得||a|—|加|W|a—"V|a|+|b|,即2W|a—Z＞|V6.

答案：[2,6)

8.已知非零向量a,8满足|a|=|例=|a一"，则.

I。"I

解析：如图，设苏=a,OB=b,OC=a+b,

则函—OA.—OB=a-b,因为|a|=|加=|a一例，所以BA

=OA=OB.

所以△045为正三角形，设其边长为1,则|a一回=|或|

=1,|a+b|=2X半=小.所以=半=小.

LY\a—b\1v

答案：小

9.化简：

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(1)A6+BC+CA；

(2)(屈+MB)+B0+OM；

(3)04+0C+B0+C0；

(4)AB-AC+BD-CD；

⑸八-OD+AD；

(6)AB-AD-DC；

(7)版+QP+MN-MP.

解析：(1)原式=危-AC=0.

(2)原式=俞+B0+0M+MB=AB.