高中数学指数函数教案

课题：指数函数及其性质（高一新授课）

授课教师：省旺苍邹海军

教材：人教A版数学必修1第54~58页

指数函数及其性质教案

教学目标

知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图象、性质及其简单

应用.

能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形

结合和分类讨论的思想以及从特殊到一般的数学讨论的方

法，增强识图用图的能力.

情感目标：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关

系，构建和谐的课堂气氛，培养学生勇于提问，善于探索的思

维品质.

教学重点、难点

重点：指数函数的图象、性质及其简单运用.

难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图象与底的关系.

教学方法与手段

教学方法：探究式教学法.

教学手段：采用多媒体辅助教学.

教学过程

一、创设情景，引出课题

前面我们学习过函数的概念、函数的有关性质及指数的运算，今天我们将在此根底上学

习一类新的根本函数.

问题1:我们来考虑一个与医学有关的例子：大家对“非典”应该并不陌生，它与其

它的传染病一样，有一定的潜伏期，这段时间里病原体在机体内不断地繁殖，病原体的繁殖

方式有很多种，分裂就是其中的一种。我们来看一种球菌的分裂过程：

动画演示：某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，---.一个这样的球

菌分裂x次后，得到的球菌的个数y与x的关系式是：y=2'.

问题2：某种机器设备每年按6%的折旧率折旧，设机器的原来价值为1,经过x年后，机

器的价值为原来的y倍，则y与x的关系为y=0.941

思考：你能从以上的两个例子中得到的关系式里找到什么异同点吗？

共同点：变量x与y构成函数关系式，是指数的形式，自变量在指数位置，底数是常数；

不同点：底数的取值不同.

大家能给这样的函数起个名字吗？（想让学生对数学的形式化有一认识）

（指数函数）

这就是我们今天所要研究的一个新的根本函数—指数函数.（引出课题）

二、探索研究

（一）指数函数的概念：

形如y=ax（«>0,且a工1）xR.

函数解析式三大特征：1、指数是自变量x；2、底数是非1的正数；3、系数为1.

练习：判断以下函数中哪些为指数函数。

1、y=x^;2、y=3X；3、y=（-3）*；4、j=lx；5、y=—3X;6、y=3X-1;7、y=3-xo

在以前我们学过的函数中，一次函数用形如y=（ANO）的形式表示，反比例函数

用形如y=£（女工0）的形式表示，二次函数用丁=办2+桁+。（awO）的形式表示.这些函数

X

对其一般形式上的系数都有相应的限制.给定一个函数要注意它的实际意义与研究价值.

思考：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？

假设a=0,当龙〉0时，加恒等于0,没有研究价值；当xWO时，出无意义;

假设a<0,例如当a=-2,X=L时，匚I无意义，没有研究价值；

2

假设a=l,则1*=1,小是一个常量，也没有研究的必要.

很好，所以有规定。>0且（对指数函数有一初步的认识）.

（二）对数函数的图象与性质：

学习函数的一个很重要的目标就是应用，那么首先要对函数作一研究，研究函数的图

象及性质，然后利用其图象和性质去解决数学问题和实际问题.

思考1:你能类比前面讨论函数性质的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？

研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质.

研究内容：定义域、值域、图象、单调性、奇偶性.

思考2：如何来画指数函数的图象呢？

画函数图象通常采用：列表、描点、连线.有时，也可以利用函数的有关性质画图.

思考3：画出指数函数>=2，、y=（；），的图象并观察图象有什么特征？

函数y=2"的图象位于x轴的上方，向左无限接近1轴，向上无限延伸，从左向右看，

图象是上升的,与y轴交于（0,1）点.

函数y=（g）,的图象位于工轴的上方，向右无限接近％轴，向上无限延伸，从左向右看,

图象是下降的，与y轴交于（0,1）点.

思考4：函数y=2"与y=的图象有什么关系？能否由y=2'的图象得到y=g）'的图象？

关于y轴对称.所以可以先画其中一个函数的图象，利用轴对称的性质可以得到另一

个函数的图象，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有用.

思考5：选取底数。的假设干个不同的值，在同一平面坐标系内作出相应的指数函数的图

象.观察图象，你能发现他们有哪些共同特征？

教师演示课件，以不同的底，作出函数的图象，描绘出其几何特征，将函数的图象和

性质对应起来.利用几何画板，通过改变。的值，让学生观察图象的变化规律.

思考6：通过你们画的图象以及老师的演示，你们能发现怎样的规律呢？

底数分a>1和0<a<1两种情况.

很好，那么，你们能否归纳总结一下它们的性质吗？

引导学生观察函数y=2'的图象特征，并总结函数y=2'的性质.

思考7：从特殊到一般，指数函数y="(a>1)有哪些性质？并类比得出丁=优(0<«<1)

的性质.

师生共同归纳:

指数函数y=a*(。>0且awl)的图象与性质:

强调：利用函数图象研究函数性质是一种直观而形象的方法，记忆指数函数性质时可以联想

它的图象，记住性质的关键在于要脑中有图.

三、应用举例：

数学源于生活，还要效劳于生活.学习函数的一个重要目标是应用.指数函数是生产生

活中常见的一类函数，指数函数一直是科学工作者，特别是工程技术人员必备的工具.这节

课我们先来了解一下它的简单应用.

利用单调性比拟大小.

例1.比拟以下各组数中各个值的大小：

(1)1.725,1.73；(2)O.8-0-1,0.842；

JIj_

(3)a3,“5(”>0,且a#])；(4)1.7。“，0.9”,1.

分析：对于这样两个数比大小，学生可能会觉得困难，提示学生观察两个数的形式特征(底

数相同，指数不同)，联想指数函数，提出构造函数法，即把这两个数看作某个函数的函数

值，利用函数的单调性比拟大小.

说明：

1.当底数相同且明确底数a与1的大小关系时：直接用函数的单调性来解.

2.当底数相同但不明确底数a与1的大小关系时：要分情况讨论.

3.当底数不同不能直接比拟时：可借助中间数，间接比拟上述两个数的大小.

四、反应练习：

比拟以下各组数中两个值的大小：

(1)3,105,3.123；

(2)(-)-03,(-)-024；

33

⑶2.345,0.241.

五、归纳小结，强化思想：

本小节的目的要求是掌握指数函数的概念、图象和性质.在理解指数函数的定义的根底

上，掌握指数函数的图象和性质是本小节的重点.

1.数学知识点：指数函数的概念、图象和性质.

2.研