小学奥数资料：长方体与正方体题库学生版

长方体与正方体

对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具

体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查.

列题精讲

如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱.

①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等.

（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形.）

②长方体的表面积和体积的计算公式是：

长方体的表面积：S长方体=2（ab+bc+ca）;

长方体的体积：/方体=abc.

③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形.

如果它的棱长为。，那么：$方体=6/,匕昉体=/.

板块一长方体与正方体的表面积

【例1】右图中共有多少个面？多少条棱？

下面

【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？

［例2］如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8,宽为3,高为2的小长方体，那么新的几何

体的表面积是多少？

【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下

的立体图形的表面积是多少？

［例3］如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5,3,2的长方体，那么它

的表面积减少了多少？

［例4］右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米

的正方体，做成一种玩具.它的表面积是多少平方厘米？（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正

方体）

［例5］如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立

方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？

［例6］下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小

洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为■厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前

2

［例7］（《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、

高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？（写出符合要求的全部答案）

［例8］（北京市第十二届迎春杯）一个正方体木块，棱长是15.从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、

3、4,5、6、7、8的小正方体.这个木块剩下部分的表面积最少是多少？

［例9］从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体（如下图），剩下部分的表

面积之和是平方厘米.

【巩固】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形，现从它的上面尽可能大的切下一个正

方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切

下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？

【例10】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成

4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？

【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条

又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块.那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米？

【巩固】（2008年走美六年级初赛）一个表面积为56cm3的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体

表面积的和是cm2.

【例111右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体,

这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？

【例12）有〃个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面.如

果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的

表面积比原长方体的表面积减少144平方厘米，那么〃为多少？

【例13]边长分别是3、5、8的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？

【例14]如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？

25块积木

【例15】用6块右图所示（单位：cm）的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的

是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？

【巩固】用10块长5厘米，宽3厘米，高7厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是

多少？

【例16】要把12件同样的长。、宽仄高〃的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小,

该如何打包？

⑴当8=2人时,如何打包?

⑵当时,如何打包?

⑶当b>2h时,如何打包?

【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？

【例17］如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面

积.

【巩固】如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂

刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？

【例18】（2008年“希望杯”五年级第2试）如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方

体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是平方厘米.

【例19】边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面

积是多少平方厘米？

【巩固】按照上题的堆法一直堆到N层（N>3）,要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则N的最小值是

多少？

【例20】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图

形的表面积.

【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?

【例21]现有一个棱长为1厘米的正方体，一个长宽为1厘米高为2厘米的长方体，三个长宽为1厘米高

为3厘米的长方体.下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到

的图形.试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积.

例：

上

【例22】（05年清华附培训试题）将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为1厘米的小正方体,

其中一面都没有红色的小正方形只有3个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？

【例23】有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色.求被

涂成红色的表面积.

【例24】有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下

层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2,且该塔形的表面积（含最底层正方体的

底面面积）超过39,则该塔形中正方体的个数至少是•

【例25]如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型.把这个模型的表面（包括底面）都涂

成红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体比有两面涂上红色的小正方体多

_块.

【例26】右图是4x5x6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方

体各有多少块？

【例27】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等

距离切〃次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块，则〃的取值是.

【例28】棱长是机厘米（〃?为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方

体.至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12,此时，"的最小

值是多少？

【例29】有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的.现将它们

拼成一个4x4x4的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？

【例30]一个长方体的长是12厘米，宽10厘米，高也是整厘米数，在它的表面涂满颜色后，截成棱长

是1厘米的小正方体，其中一面有色的小正方体有448个.求原来长方体的体积与表面积.

【例31]将一个棱长为整数分米的长方体6个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为1分米的小正方

体.在这些小正方体中，6个面都没有涂红色的有12块，仅有两个面涂红色的有28块，仅有一个

面涂红色的有块，原来长方体的体积是立方分米.

【例32)右图是由27块小正方体构成的3x3x3的正方体.如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小

正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是

红的，6个一面是红的.这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红

色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍.问：由多少块小正方体构成的正方体，表面

涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点

红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？

【例33】有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有

的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的,

有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红

色的，染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小正方体.分割完毕后，恰有一面是红色的小正

方体最多有多少个？

【例34】三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个

连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面.涂色后把三个长方

体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？

【例35］把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面

涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？

【例36】把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形.用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要

求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？

【巩固】把正方体的六个表面都划分成4个相等的正方形.用红色去染这些小正方形，要求有公共边的正方

形不能同时染上红色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？

［例37］一个正方体的棱长为3厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为1厘米

的正方体做成一种玩具，求这个玩具的表面积.

【例38】如右图，一个边长为3〃厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个

截口是边长为“厘米的正方形的长方体（都和对面打通）.如果这个镂空的物体的表面积为2592平

方厘米，试求正方形截口〃的边长.

【例39］有一个棱长为5cm的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔（右上图），求这

个立体图形的内、外表面的总面积.

【例40】左下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面.请在右下方的展开图中画出四

边形APQC的四条边.

【例41］如图，用455个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则余下371

个小正方体，问：所堆成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积是

多少？

板块二长方体与正方体的体积

立体图形的体积计算常用公式:

立体图形示例体积公式相关要素

V=abh三要素：a、b、h

长方体

V=Sh二要素：S、h

不规则形体的体积常用方法:

①化虚为实法

②切片转化法

③先补后去法

④实际操作法

⑤画图建模法

【例42]（第四届《小数报》数学竞赛决赛）一根长方体木料，体积是0.078立方米.已知这根木料长1.3

米.宽为3分米，高该是多少分米?孙健同学把高错算为3分米.这样，这根木料的体积要比0.078

立方米多多少？

【例43]（第六届“华杯赛”决赛口试）某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条

（如图所示）在三个方向上的加固.所用尼龙编织条分别为365厘米，405厘米，485厘米.若每个尼

龙加固时接头重叠都是5厘米.问这个长方体包装箱的体积是多少立方米？

长

【例44]（第十届“迎春杯”）一个长方体的表面积是33.66平方分米，其中一个面的长是2.3分米，宽是

2.1分米，它的体积是____立方分米.

【例45]（第十五届“迎春杯”决赛）把一根长2.4米的长方体木料锯成5段（如图），表面积比原来增加

了96平方厘米.这根木料原来的体积是立方厘米.

2.4米

【例46]（第五届《小数报》数学竞赛决赛）一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半（如图）.将

这个长方体切成12个小长方体,这些小长方体的表面之和为600平方分米.求这个大长方体的体积.

【例471有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积比原来减少了16

平方厘米.求所成形体的体积.

【例48]（第十一届“迎春杯”）有一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的3倍；长的;与高的;之和比

宽多1厘米.这个长方体的体积是立方厘米.

【巩固】（第六届“迎春杯”决赛）一个长方体的各条棱长的和是48厘米，并且它的长是宽的2倍，高与宽相

等，那么这个长方体的体积是立方厘米.

【例49】把11块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体，已知每块砖的体积是288cm则大长方体

的表面积为多少？

【例50]有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米.把两堆碎石分别沉没在

中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米.如果将这两堆碎石都沉没在大水

池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？

[例51]一个正方体容器，容器内部边长为24厘米，存有若干水，水深17.2厘米，现将一些碎铁块放入

容器中，铁块沉入水底，水面上升2.5厘米，如果将这些铁块铸成一个和容器等高的实心圆柱，重

新放入池中，则水面升高几厘米？

【例52]（2009年迎春杯初赛六年级）如图，有一个棱长为1（）厘米的正方体铁块，现已在每两个对面

的中央钻一个边长为4厘米的正方形孔（边平行于正方体的棱），且穿透.另有一长方体容器，从内

部量，长、宽、高分别为15厘米、12厘米、9厘米，内部有水，水深3厘米.若将正方体铁块平放

入长方体容器中，则铁块在水下部分的体积为立方厘米.

【例53]（第九届“迎春杯”决赛）把1个棱长是3厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方

体的棱长必须是整厘米数.如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成个小

正方体.

【巩固】（第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘

米，在这个盒子里放长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体木块.最多可放块.

【例541有甲、乙、丙3种大小的正方体木块，棱长比是1:2:3.如果用这三种正方体拼成尽量小的一

个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？

【例55】用1x1x2、1x1x3、1x2x2三种小木块拼成3x3x3的正方体.现有足够多的1x2x2的小木

块，还有14块1x1x3的小木块，如果要拼成10个3x3x3的正方体，则最少需要1xlx2的小木块

_块.

【例56]把一个长方体形状的木料分割成3小块，使这3小块的体积相等.已知这长方体的长为15厘米,

宽为12厘米，高为9厘米.分割时要求只能锯两次，如图1就是一种分割线的图.除这种分割的方

法外，还可有其他不同的分割方法，请把分割线分别画在图2的各图中.

图2

【例57］（第五届走进美妙数学花园六年级初赛试题）如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开,

分成三个长方体.这三个长方体的表面积比是3:4:5时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积

比：

［例58］（第三届“华杯赛”复赛）如图从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2

厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的体积是多少立方厘米？

【巩固】（第七届“祖冲之杯”数学邀请赛）现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只

深是5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出的铁皮盒容积是

多少立方厘米？

焊上

[例59]一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个

正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的

切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？

【例60]小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下图左，从上面看

如下图右.那么这个几何体至少用了块木块.

【巩固】右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成

的长方体有多少个？

【例61】有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻（有公共面）的积木颜色不

同，标A的为黑色，图中共有黑色积木多少块？

【巩固】这个图形，是否能够由1x1x2的长方体搭构而成？

【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字（不同的立方体可以写相同的数字）

先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻（见

左下图）.依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少？

【例62]如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视

图和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？

【例63】（第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛）用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体图

形，从上向下看这个立体图形，如下图0,从正面看这个立体图形，如下图加则这个立体图形的

表面积最多是.

[例64]（2009年“希望杯”二试六年级）用棱长为1的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上

面看到的视图均如下图所示，那么粘成这个立体最多需要块小立方体.

【例65]（第十届华杯赛）第9届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛于2004年5月10日在潮州举行，北

京的选手们用N个大小相同的小正方体木块粘贴成了一个从正面看是2004,从左面看是9的模型（如

图）.问：N最大为多少？N最小为多少？

【例66]（日本第七届算术奥林匹克）有很多白色或黑色的棱长是1cm的小正方体.取其中的27个，拼成

一个棱长是3cm的大正方体，每一面都各用2个黑色的小正方体拼成了相同的图案。见例图.例图

中正方体的每一面的图案都相同，因此，用8个或9个黑色小正方体就可拼成这样的大正方体.除

例图的图案之外，还可以拼成每面的图案都相同的大正方体.

问⑴：在下图的①〜⑦中找出可以拼成每面都相同的图案.

问⑵：在问⑴中，可以按要求拼成的大正方体各用几个黑色小正方体？最多的用几个？最少的用几

【例67]（2008年三帆中学考题）一个长、宽、高分别为12、9、7厘米的长方体，在它的每组两两相对

的面的正中央都打一个底面为4平方厘米的正方形的贯穿洞.

那么这个长方体剩下部分的体积是立方厘米.

【例68】（05年武汉明心杯数学挑战赛）如图所示，一个5x5x5的立方体，在一个方向上开有lx1x5的

孔，在另一个方向上开有2x1x5的孔，在第三个方向上开有3x1x5的孔，剩余部分的体积是多少？

表面积为多少？

【巩固】（2008年香港保良局第12届小学数学世界邀请赛）如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成

的.其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分.请问剩下的

部分共有多少个小正方体？

【巩固】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方

体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态.右图中剩下的小正方体有多少个？

[例69]（第七届“华杯赛”决赛）用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大

正方体A8CD-A旦GR（如图），大正方体内的对角线AG，B。，CA「OB1所穿的小正方体都是

红色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401个，问：无色透

明小正方体用了多少个？

【例70】（2008年台湾小学数学竞赛选拔赛决赛）连接正方体各面的中心构成一个正八面体（如图所示）。

已知正方体之边长为12cm,请问正八面体之体积为多少立方厘米？

【例71]如图，已知A、B、C分别是相邻的三条棱的中点.沿三个中点连成一个正三角形，把原来的立

方体切掉一角.如果原来的立方体棱长为8,求：

⑴切掉的小部分的体积是多少？

⑵剩下的大部分的体积是多少？

【例721（2008年第六届走美决赛六年级）如图，正方体的棱长为6cm,连接正方体其中六条棱的中点形

成一个正六边形，而连接其中三个顶点形成一个正三角形.正方体夹