高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)第5章函数概念与性质章末小结(原卷版+解析)

第5章函数概念与性质章末小结TOC\o"1-4"\h\z\u一、典型题型 1题型1函数值域的求法 5题型2函数性质的应用 10题型3函数的图象与数形结合思想 14一．典型例题题型1函数值域的求法反思领悟：常见的求值域的方法(1)直接法(观察法)：对于有些函数直接求出函数值，并将所有函数值组成集合，就得到函数的值域．例如求函数f(x)＝5x＋1(x∈{1,2,3,4})的值域，只需将所有自变量的函数值都求出来，即可得到函数f(x)的值域为{6,11,16,21}．(2)分离常数法：对于一些分式函数，可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式，然后根据分式的特点去求函数的值域．(3)反解法：例如求函数y＝eq\f(x－1,x＋2)(x＞－4)的值域．由y＝eq\f(x－1,x＋2)解出x得x＝eq\f(2y＋1,1－y).由x＞－4，得eq\f(2y＋1,1－y)＞－4，即eq\f(2y－5,y－1)＞0，∴y＞eq\f(5,2)或y＜1.故函数y＝eq\f(x－1,x＋2)(x＞－4)的值域为(－∞，1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞)).(4)图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域．(5)换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解．(6)判别式法：对于形如：y＝eq\f(fx,gx)的函数，(f(x)、g(x)是一次函数或二次函数，且至少一个二次函数)可以将方程转化为关于x的整式方程，利用一元二次方程有实数根，利用根的判别式不小于零，得到关于y的不等式，解出其解集，就是函数的值域．(7)基本不等式法：创造条件利用基本不等式可以求出函数的最值，再进一步求解．例1下列函数，最小值为2的函数是（

）．A． B．C． D．例2（多选题）如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（

）．A． B． C． D．例3求值域(用区间表示)：(1)，①；②；(2)；(3).题型2函数性质的应用反思领悟：函数单调性与奇偶性应用常见题型(1)用定义判断或证明单调性和奇偶性．(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间．(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式．(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围．例1若偶函数在区间上是增函数且最小值是，则在上是（

）A．增函数，最大值是 B．增函数，最小值是C．减函数，最小值是 D．减函数，最大值是例2（多选题）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称为取整函数.如，，，以下关于“高斯函数”的性质应用是真命题的有（）A．，B．，，则C．，D．若的定义域为，值域为M，的定义域为N，则例3已知函数是定义域为(－2，2)的奇函数，且．(1)求a，b的值；(2)判断函数f(x)在(－2，2)上的单调性，并用定义证明；(3)若函数f(x)满足＞0，求m的取值范围．题型3函数的图象与数形结合思想反思领悟：作函数图象的方法方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线．注意：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图．方法二：变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转．例1已知函数无最大值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．例2（多选题）已知f(x)是定义在区向[-c，c]上的奇函数，其图象如图所示，令，则下列关于函数g(x)的叙述中，正确的是（

）A．若a＜0，则函数g(x)的图象关于原点对称B．若a≠0，则函数|g(x)|的图象关于y轴对称C．若a＞0，则g(x)的单调减区间[-c，-2]，[2，c]D．若a≠0，则方程g(x)=0有3个互异实根例3函数是定义域为R的奇函数，当x>0时，.(1)求的解析式，并画出函数的图像；(2)求不等式.二．活学活用培优训练一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．2．某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（

）A．函数是奇函数 B．函数的值域是C．函数在R上是增函数 D．方程有实根3．已知偶函数的定义域为，且当时，，则使不等式成立的实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（

）A．13 B．0 C． D．15．形如的函数，因其图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列说法中正确的个数为（

）①函数的定义域为；②；③函数的图象关于直线对称；④当时，；⑤方程有四个不同的根.A． B． C． D．6．已知函数，则下列说法正确的个数为（

）①函数的定义域为；②；③函数的图象关于直线对称；④当时，；⑤函数的图象与x轴有4个交点．A．2 B．3 C．4 D．5二、多选题7．给定函数

，.表示，中的较小者，记为，则（

）A．B．函数的定义域为C．函数的值域为D．函数的单调区间有3个8．已知函数对任意都有，且．则下列结论正确的是（

）A．为偶函数 B．若，则C． D．若，则9．定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，给出下列四个结论正确结论的是（

）A．方程有且仅有三个解B．方程有且仅有三个解C．方程有且仅有九个解D．方程有且仅有一个解三、填空题10．函数的值域是___________.11．请写出一个同时满足条件①②③的函数______．①，；②函数的最小值为1；③函数不是二次函数．12．已知偶函数，当时，，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为__________四、解答题13．求下列函数的值域：(1)；(2)；(3)；(4)．14．已知函数．(1)是否存在实数，使得函数在区间上的值域为？请说明理由；(2)若存在实数，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．15．已知函数，x∈.(1)试判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论；(2)若，求实数的取值范围.16．已知函数（为常数）.(1)若，请研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，并做出大概图象；(2)是否存在，使得该函数在区间上是严格增函数，并且函数值不恒为正，若存在，求出符合条件的的取值范围；若不存在，请说明理由.17．已知函数(1)作出函数的图象；(2)根据函数图象写出的单调区间；(3)方程恰有四个不同的实数根，写出实数的取值范围．第5章函数概念与性质章末小结TOC\o"1-4"\h\z\u一、典型题型 1题型1函数值域的求法 5题型2函数性质的应用 10题型3函数的图象与数形结合思想 14一．典型例题题型1函数值域的求法反思领悟：常见的求值域的方法(1)直接法(观察法)：对于有些函数直接求出函数值，并将所有函数值组成集合，就得到函数的值域．例如求函数f(x)＝5x＋1(x∈{1,2,3,4})的值域，只需将所有自变量的函数值都求出来，即可得到函数f(x)的值域为{6,11,16,21}．(2)分离常数法：对于一些分式函数，可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式，然后根据分式的特点去求函数的值域．(3)反解法：例如求函数y＝eq\f(x－1,x＋2)(x＞－4)的值域．由y＝eq\f(x－1,x＋2)解出x得x＝eq\f(2y＋1,1－y).由x＞－4，得eq\f(2y＋1,1－y)＞－4，即eq\f(2y－5,y－1)＞0，∴y＞eq\f(5,2)或y＜1.故函数y＝eq\f(x－1,x＋2)(x＞－4)的值域为(－∞，1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞)).(4)图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域．(5)换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解．(6)判别式法：对于形如：y＝eq\f(fx,gx)的函数，(f(x)、g(x)是一次函数或二次函数，且至少一个二次函数)可以将方程转化为关于x的整式方程，利用一元二次方程有实数根，利用根的判别式不小于零，得到关于y的不等式，解出其解集，就是函数的值域．(7)基本不等式法：创造条件利用基本不等式可以求出函数的最值，再进一步求解．例1下列函数，最小值为2的函数是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】对于A，分和两种情况用基本不等式求函数的值域即可；对于B,用配方法求函数的值域；对于C,先分离常数，再用基本不等式求值域；对于D,用配方法求函数的值域.【详解】解：对于A，当时，=2（当时，等号成立）；当时，=2(当时，等号成立)，所以，故函数的值域为，不符题意；对于B,由题意可知，(当时，等号成立)，不符题意；对于C,==,(当时，等号成立)；对于D,=,不符题意.故选：C.例2（多选题）如果某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“交汇函数”．下列函数是“交汇函数”的是（

）．A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据交汇函数的含义，分别求解各个选项中函数的定义域和值域，由交集结果可得正确选项.【详解】由交汇函数定义可知：交汇函数表示函数定义域与值域交集为；对于A，的定义域，值域，则，A错误；对于B，的定义域，值域，则，B正确；对于C，的定义域为，值域，则，C错误；对于D，的定义域为，值域，则，D正确.故选：BD.例3求值域(用区间表示)：(1)，①；②；(2)；(3).【答案】(1)①[7，28]；②[3，12](2)(3)(∞，1)∪(1，+∞)【分析】（1）①②,配方后利用二次函数的性质求解即可，（2）利用换元法求解，（3）利用分离常数法求解（1），①当时，，∴值域为[7，28]；②当时，，∴值域为[3，12]．（2）令，则，因为，所以，即，所以函数的值域为；（3），因为，所以所以函数的值域为(∞，1)∪(1，+∞).题型2函数性质的应用反思领悟：函数单调性与奇偶性应用常见题型(1)用定义判断或证明单调性和奇偶性．(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间．(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式．(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围．例1若偶函数在区间上是增函数且最小值是，则在上是（

）A．增函数，最大值是 B．增函数，最小值是C．减函数，最小值是 D．减函数，最大值是【答案】C【分析】利用函数单调性、最值的定义结合偶函数的性质判断可得出结论.【详解】任取、且，即，则，由题意可得，由偶函数的性质可得，且对任意的，，由题意可得，则，因此，在上是减函数，最小值是.故选：C.例2（多选题）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称为取整函数.如，，，以下关于“高斯函数”的性质应用是真命题的有（）A．，B．，，则C．，D．若的定义域为，值域为M，的定义域为N，则【答案】AB【分析】A选项可举出实例；B选项可进行推导；C选项可举出反例；D选项求出和，从而求出并集.【详解】时，，故A为真命题；设，则，，∴，故B为真命题；，时，有，但，故C为假命题．因为的定义域为，值域为，的定义域为:，解得：，所以，对于D，，所以D不正确.故选：AB例3已知函数是定义域为(－2，2)的奇函数，且．(1)求a，b的值；(2)判断函数f(x)在(－2，2)上的单调性，并用定义证明；(3)若函数f(x)满足＞0，求m的取值范围．【答案】(1)或，.(2)单调增函数，证明见解析.(3)【分析】（1）根据，即可求得结果；（2）利用单调性的定义，作差、定号，即可判断和证明函数单调性；（3）根据函数奇偶性以及（2）中所得单调性，结合函数定义域，即可求得的取值范围.(1)因为是定义在(－2，2)的奇函数，故可得，则；因为，故可得，解得或；综上所述：或，.(2)是(－2，2)上的单调增函数，证明如下：由（1）可知：，不妨设，则，即，故是上的单调增函数，即证.(3)＞0等价于，是奇函数，故可得，由可知，是单调增函数，故即，解得或.又的定义域为，则，且解得，且.综上所述：.题型3函数的图象与数形结合思想反思领悟：作函数图象的方法方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线．注意：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图．方法二：变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转．例1已知函数无最大值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意作出函数的图象，根据二次函数的性质，数形结合判断临界点即可求解.【详解】解：由题可知，当时，，其对称轴为，当时，函数有最大值为，当时，函数有最大值为，当时，，在单调递减，故，因为函数无最大值，故当时，需满足，解得，不符合题意，当时，需满足，解得，（舍去）.综上，实数a的取值范围是.故选：D.例2（多选题）已知f(x)是定义在区向[-c，c]上的奇函数，其图象如图所示，令，则下列关于函数g(x)的叙述中，正确的是（

）A．若a＜0，则函数g(x)的图象关于原点对称B．若a≠0，则函数|g(x)|的图象关于y轴对称C．若a＞0，则g(x)的单调减区间[-c，-2]，[2，c]D．若a≠0，则方程g(x)=0有3个互异实根【答案】ABD【分析】结合的正负和f(x)的图像依次判断选项即可.【详解】定义域为[-c，c]，当a＜0时，由，A正确；a≠0时，，B正确；g(x)=0等价于f(x)=0，D正确；a＞0时，g(x)的单调减区间和f(x)的单调减区间相同，C错误.故选：ABD.例3函数是定义域为R的奇函数，当x>0时，.(1)求的解析式，并画出函数的图像；(2)求不等式.【答案】(1)，图象见解析(2)【分析】（1）由奇偶性求出函数解析式，画出函数图象；（2）利用奇偶性对不等式化简，数形结合求不等式解集.(1)由于是定义域为R的奇函数，所以，当，，故，又因为，所以，所以，综上：；图象如图所示：(2)由可得：，由于在分母位置，所以，当时，只需，由图象可知：；当时，只需，由图象可知：；综上：不等式的解集为.二．活学活用培优训练一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求函数得，再解不等式得，再求集合交集运算即可.【详解】解：因为的定义域为，所以函数的值域为，所以，又因为，所以故选：D2．某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（

）A．函数是奇函数 B．函数的值域是C．函数在R上是增函数 D．方程有实根【答案】D【分析】由函数的奇偶性，单调性等对选项逐一判断【详解】对于A，，故是偶函数，，不是奇函数，故A错误，对于B，当时，，由对勾函数性质知，而是偶函数，的值域是，故B错误，对于C，当时，，由对勾函数性质知在上单调递增，而是偶函数，故在上单调递减，故C错误，对于D，当时，，即，解得，故D正确，故选：D3．已知偶函数的定义域为，且当时，，则使不等式成立的实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可知在上单调递增，且，将所求不等式转化为，可得出，解此不等式即可得解.【详解】当时，，所以在上单调递增，且，不等式即为.又因为是偶函数，所以不等式等价于，则，所以，，解得.综上可知，实数的取值范围为，故选：A.4．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（

）A．13 B．0 C． D．1【答案】D【分析】根据奇函数的性质得到，，再由，即可得到是以为周期的周期函数，再求出、、的值，即可得解.【详解】解：因为是定义域为的奇函数，所以，，又，所以，即，所以，即是以为周期的周期函数，又，所以，，，所以，所以.故选：D5．形如的函数，因其图象类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列说法中正确的个数为（

）①函数的定义域为；②；③函数的图象关于直线对称；④当时，；⑤方程有四个不同的根.A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式分母不为零可求得定义域，知①错误；利用解析式可求得，知②正确；通过可知③错误；分别在和的情况下得到，知④正确；作出与的图象，根据图象交点个数可知⑤正确.【详解】对于①，由得：，的定义域为，①错误；对于②，，，②正确；对于③，，，，不关于直线对称，③错误；对于④，当时，，此时；当时，，此时；综上所述：当时，，④正确；对于⑤，在平面直角坐标系中，作出与的图象如下图所示，由图象可知：与有四个不同交点，方程有四个不同的根，⑤正确.故选：B.6．已知函数，则下列说法正确的个数为（

）①函数的定义域为；②；③函数的图象关于直线对称；④当时，；⑤函数的图象与x轴有4个交点．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据分母不等于0，求解函数的定义域，判断①；代入验证判断②；画出函数的图象，判断④⑤；画出函数和的图象，即可判断函数图象的交点个数.【详解】函数的定义域为，故①错误；，故②正确；作出的图象如图所示，由图可知③错误，④正确．令，得方程，在上图中作出抛物线，由图可知的图象与抛物线有4个交点，故函数的图象与轴有4个交点，故⑤正确．故选：B．二、多选题7．给定函数

，.表示，中的较小者，记为，则（

）A．B．函数的定义域为C．函数的值域为D．函数的单调区间有3个【答案】ABD【分析】当时，，可判断A;作出函数的大致图象，由此可判断B,C,D.【详解】当时，，故，A正确；作出函数,的图象，可得到的图象如图：（实线部分）函数的定义域为，B正确；函数的值域为，故C错误；函数的单调区间有，故D正确，故选：ABD8．已知函数对任意都有，且．则下列结论正确的是（

）A．为偶函数 B．若，则C． D．若，则【答案】ACD【分析】根据分别取特殊情况验证各选项即可.【详解】选项A：因为，令可得，解得．令可得，所以，故为偶函数，A正确；选项B：令可得，所以，B错误；选项C:令可得，C正确；选项D：令可得，所以，所以，D正确．故选：ACD．9．定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，给出下列四个结论正确结论的是（

）A．方程有且仅有三个解B．方程有且仅有三个解C．方程有且仅有九个解D．方程有且仅有一个解【答案】AD【分析】由函数图象和复合函数的性质依次判断即可.【详解】由可得，对于A，，结合图象可得，或，结合的图象可得，，，各有一个解，即方程有且仅有三个解，A正确；对于B，，结合图象可得，结合的图象可得，有一个解，即方程有且仅有一个解，B错误；对于C，，结合图象可得，或，又有3个解，，各有一个解，即方程有且仅有五个解，C错误；对于D，，结合图象可得，又有一个解，即方程有且仅有一个解，D正确.故选：AD.三、填空题10．函数的值域是___________.【答案】【分析】令，，换元后利用二次函数的单调性，即可求出答案.【详解】设则所以因为函数在上单调递增，当，，所以函数的值域为故答案为：.11．请写出一个同时满足条件①②③的函数______．①，；②函数的最小值为1；③函数不是二次函数．【答案】【分析】根据给定信息可得是图象关于对称，最小值为1且不是二次函数的函数，写出一个含绝对值符号的函数即可.【详解】由，可得：函数图象的一条对称轴为直线．因为函数的最小值为1，且函数不是二次函数，所以可选取.（答案不唯一）故答案为：12．已知偶函数，当时，，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为__________【答案】【分析】作出函数的图象,将问题转化为函数与有4个不同的交点，由图示可得答案.【详解】解：作出函数的图象如下图所示，令，则，若函数恰有4个不同的零点，则需函数与有4个不同的交点，所以实数的取值范围为，故答案为：.四、解答题13．求下列函数的值域：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用不等式的性质即可得到值域；（2）将原函数化简为，根据即可得到值域；（3）将原函数化简为，根据二次函数的性质和根号的取值，即可得到值域；（4）令，，所以可将原函数化简为，根据二次函数的性质可求得值域（1）因为，，所以恒成立，所以，所以所求函数的值域为；（2）因为，且，所以，所以函数的值域为；（3）因为，所以，所以函数的值域为；（4）设，则且，得，因为，所以，所以函数的值域为14．已知函数．(1)是否存在实数，使得函数在区间上的值域为？请说明理由；(2)若存在实数，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．【答案】(1)不存在，使得函数在区间上的值域为，理由见解析(2)【分析】（1）分类讨论可得分段函数解析式，由此可得图象，由可知，分别在、的情况下，结合单调性可构造方程组，由方程组结果可知不存在满足题意的；当时，由可推导得到，可知不合题意；综合三种情况可得结论；（2）由和可推导得到，当和时，结合（1）的方法可知不合题意；当时，可知是的大于的两根，由一元二次方程根的分布可构造不等式组求得结果.(1)由题意知：，则图象如下图所示，假设存在，使得函数在区间上的值域为，，，则；①当时，在上单调递减，，两式作差得：，或；当时，不满足；当时，，不合题意；此时不存在，使得函数在区间上的值域为；②当时，在上单调递增，，则是方程，即方程的两根，但方程无实根；此时不存在，使得函数在区间上的值域为；③当时，此时，又，，不合题意；此时不存在