高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)6.1幂函数(原卷版+解析)

6.1幂函数TOC\o"1-4"\h\z\u6.1幂函数 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1幂函数的概念 2知识点2幂函数的图象和性质 3二、典型题型 4题型1求幂函数解析式或参数值 5题型2求幂函数相关的定义域和值域 7题型3幂函数的单调性及其应用 9三、难点题型 9题型1由幂函数的单调性比较大小 11题型2幂函数的奇偶性问题 13题型3由幂函数的解不等式 14四、活学活用培优训练 23一．基础知识点知识点1幂函数的概念：一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．例1（多选题）下列函数为幂函数的是（

）A． B．C． D．例2已知幂函数的图象过点，则___________.例3函数是幂函数，且当时，是增函数，试确定的值．知识点2幂函数的图象和性质：1．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：2．幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减定点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)例1（多选题）下列结论中正确的是（

）A．幂函数的图像都经过点，B．幂函数的图像不经过第四象限C．当指数取1，3，时，幂函数是增函数D．当时，幂函数在其整个定义域上是减函数例2关于幂函数，下列命题正确的是___（填序号）．①当时，图象是一条直线；

②图象都过点和；③若是奇函数，则一定是增函数；

④图象不可能出现在第四象限．例3已知幂函数．(1)若的图象在时位于直线的上方，求实数的取值范围；(2)若的图象在时位于直线的上方，求实数的取值范围．二．典型题型题型1求幂函数解析式或参数值解题技巧：1．幂函数y＝xα满足的三个特征(1)幂xα前系数为1；(2)底数只能是自变量x，指数是常数；(3)项数只有一项．2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.例1（多选题）已知幂函数的图象不过原点，则实数的取值可以为（

）A．5 B．1 C．2 D．4例2若函数是幂函数，满足，则_________．例3幂函数在区间上是增函数，求实数的取值集合．题型2求幂函数相关的定义域和值域解题技巧：例1（多选题）下列说法中错误的是（

）A．幂函数的图象不经过第四象限B．的图象是一条直线C．若函数的定义域为，则它的值域为D．若函数的值域为是，则它的定义域一定是例21）函数的定义域是________，值域是________；（2）函数的定义域是________，值域是________；（3）函数的定义域是________，值域是________；（4）函数的定义域是________，值域是________．例3求函数的定义域和值域．题型3幂函数的单调性及其应用解题技巧：1．解决幂函数图象问题应把握研究一般的方法(1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究其它象限的图象．2．幂函数在第一象限的图象与性质(1)α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函数．(2)α<0，幂函数的图象恒经过(1,1)，在(0，＋∞)上是减函数．3．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律(1)在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；(2)在第一象限内直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．例1（多选题）已知函数，则下列结论中错误的是（

）A．的值域为B．是单调函数C．是偶函数D．的图像与直线有两个交点例2已知幂函数在内是单调递减函数，则实数______．例3求函数的单调区间.三．难点题型题型1由幂函数的单调性比较大小解题技巧：比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同、底数不在同一单调区间，则用奇偶性；(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入中间量．例1（多选题）下列不等式在的条件下能成立的是（

）A． B． C． D．例2已知幂函数的图象过点，则与的大小关系是__．例3比较下列各组数的大小：(1)，1，(2)，(3)，题型2幂函数的奇偶性问题解题技巧：例1（多选题）已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的a的值为（

）A．1 B． C．3 D．2例2已知，若函数在上随增大而减小，且图像关于轴对称，则_______例3已知幂函数的图象过点.（1）求此函数的解析式；（2）证明：函数在上是单调递减函数；（3）判断函数的奇偶性，并加以证明.题型3由幂函数的解不等式解题技巧：1．解决幂函数图象问题应把握研究一般的方法(1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究其它象限的图象．2．幂函数在第一象限的图象与性质(1)α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函数．(2)α<0，幂函数的图象恒经过(1,1)，在(0，＋∞)上是减函数．3．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律(1)在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；(2)在第一象限内直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．例1（多选题）已知幂函数，则下列结论正确的有（

）A．B．的定义域是C．是偶函数D．不等式的解集是例2，，,则实数的取值范围为___________.例3已知幂函数的图像经过点．(1)求函数的解析式；(2)若，且

，试求实数的取值范围．四．活学活用培优训练一、单选题1．现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．已知幂函数的图象过点，则的值是（

）A．-3 B． C． D．33．已知为幂函数且，则（

）A． B．C． D．4．当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（

）A． B．C．或 D．5．已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（

）A．的定义域为 B．的值域为C．为偶函数 D．为减函数6．函数的图像大致是（

）A． B．C． D．二、多选题7．已知函数的图象经过点则（

）A．的图象经过点 B．的图象关于y轴对称C．在上单调递减 D．在内的值域为8．下列关于幂函数的性质说法正确的有（

）A．当时，函数在其定义域上递减B．当时，函数图象是一条直线C．当时，函数是偶函数D．当时，函数的图象与轴交点的横坐标为9．已知幕函数的图象经过点，则（

）A．函数是偶函数B．函数是增函数C．函数的图象一定经过点D．函数的最小值为0三、填空题10．函数的减区间是___________．11．已知，若函数在上单调递减，且为偶函数，则______．12．如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它们具有性质：①都经过点（0，0）和（1，1）；

②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．四、解答题13．已知幂函数在上单调递增，.(1)求实数m的值；(2)当时，记，的值域分别为集合A，B，设命题p：，命题q：，若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数t的取值范围.14．已知幂函数在上是减函数.(1)求的解析式；(2)若，求的取值范围.15．已知（）的图像关于y轴对称且在上随着x值的增大而减小，求的解析式及其定义域、值域，并比较与的大小.6.1幂函数TOC\o"1-4"\h\z\u6.1幂函数 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1幂函数的概念 2知识点2幂函数的图象和性质 3二、典型题型 4题型1求幂函数解析式或参数值 5题型2求幂函数相关的定义域和值域 7题型3幂函数的单调性及其应用 9三、难点题型 9题型1由幂函数的单调性比较大小 11题型2幂函数的奇偶性问题 13题型3由幂函数的解不等式 14四、活学活用培优训练 23一．基础知识点知识点1幂函数的概念：一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．例1（多选题）下列函数为幂函数的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据幂函数的定义可得结果.【详解】由幂函数的定义知，函数，为幂函数.故选：BD.例2已知幂函数的图象过点，则___________.【答案】【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可求解.【详解】设，由的图象过点，可得，解得，故.故答案为：.例3函数是幂函数，且当时，是增函数，试确定的值．【答案】3【分析】由幂函数的定义，得,求出的值，代入验证函数单调性，确定m的值．【详解】由幂函数的定义，得，解得或.当时，在上是增函数；当时，在上是减函数；故m＝3.知识点2幂函数的图象和性质：1．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：2．幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减定点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0)(1,1)例1（多选题）下列结论中正确的是（

）A．幂函数的图像都经过点，B．幂函数的图像不经过第四象限C．当指数取1，3，时，幂函数是增函数D．当时，幂函数在其整个定义域上是减函数【答案】BC【分析】根据常见的几种幂函数及其图像的性质，逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，当指数时，幂函数的图像不经过原点，故A错误；B选项，所有的幂函数在区间上都有定义且，所以幂函数的图像不可能经过第四象限，故B正确；C选项，当α为1，3，时，是增函数，显然C正确；D选项，当时，在区间和上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误.故选：BC例2关于幂函数，下列命题正确的是___（填序号）．①当时，图象是一条直线；

②图象都过点和；③若是奇函数，则一定是增函数；

④图象不可能出现在第四象限．【答案】④【分析】当时，化简函数的解析式，可判断①；取，可判断②；取函数可判断③；利用函数的定义可判断④.【详解】对于①，当时，函数的定义域为，即，故当时，图象是两条射线，①错；对于②，当时，函数的图象不过点，②错；对于③，函数为奇函数，该函数在、上均为减函数，③错；对于④，因为幂函数在第一象限有图象，若该函数在第四象限有图象，这与函数的定义相矛盾，故函数图象不可能出现在第四象限，④对.故答案为：④.例3已知幂函数．(1)若的图象在时位于直线的上方，求实数的取值范围；(2)若的图象在时位于直线的上方，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据题意求得，由指数函数的单调性，即可求得参数的范围；（2）根据题意求得，由指数函数的单调性，即可求得参数的范围.(1)根据题意，当时，，因为指数函数（以为自变量，底数为常数）是单调减函数，故，即的取值范围为.(2)根据题意，当时，，因为指数函数（以为自变量，底数为常数）是单调增函数，故，即的取值范围为.二．典型题型题型1求幂函数解析式或参数值解题技巧：1．幂函数y＝xα满足的三个特征(1)幂xα前系数为1；(2)底数只能是自变量x，指数是常数；(3)项数只有一项．2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.例1（多选题）已知幂函数的图象不过原点，则实数的取值可以为（

）A．5 B．1 C．2 D．4【答案】BC【分析】由幂函数的系数为，列方程求出实数的值，并检验函数的图象是否过原点，得出答案．【详解】令，解得或，当时，图象不过原点，成立；当时，图象不过原点，成立；故选：BC例2若函数是幂函数，满足，则_________．【答案】【分析】利用幂函数定义设，由，求解，从而得的解析式，即可求值.【详解】解：函数是幂函数，设，又，所以，即，所以，得所以，则.故答案为：.例3幂函数在区间上是增函数，求实数的取值集合．【答案】【分析】解方程得到的值，再检验即得解.【详解】解：由题得，所以或．当时，在上是增函数；当时，在上不是增函数，舍去．故所求实数的取值集合为．题型2求幂函数相关的定义域和值域解题技巧：例1（多选题）下列说法中错误的是（

）A．幂函数的图象不经过第四象限B．的图象是一条直线C．若函数的定义域为，则它的值域为D．若函数的值域为是，则它的定义域一定是【答案】BCD【解析】对四个说法，结合幂函数的图像与性质逐一分析，由此确定说法错误的序号.【详解】解：对于A，由幂函数的图象知，它不经过第四象限，所以A对；对于B，因为当时，无意，即在无定义，所以B错；对于C，函数的定义域为，则它的值域为，不是，所以C错；对于D，定义域不一定是，如，所以D错.故选：BCD.例21）函数的定义域是________，值域是________；（2）函数的定义域是________，值域是________；（3）函数的定义域是________，值域是________；（4）函数的定义域是________，值域是________．【答案】

【分析】画出对应幂函数的图像，结合幂函数的图像特征，写出定义域与值域【详解】（1）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,（2）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,（3）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,（4）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,故答案为：（1）;,（2）;,（3）;,（4）;.例3求函数的定义域和值域．【答案】定义域是，值域是．【分析】把化为根式的形式，容易写出它的定义域和值域．【详解】解：∵函数，∴，且；∴函数的定义域是，值域是．题型3幂函数的单调性及其应用解题技巧：1．解决幂函数图象问题应把握研究一般的方法(1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究其它象限的图象．2．幂函数在第一象限的图象与性质(1)α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函数．(2)α<0，幂函数的图象恒经过(1,1)，在(0，＋∞)上是减函数．3．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律(1)在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；(2)在第一象限内直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．例1（多选题）已知函数，则下列结论中错误的是（

）A．的值域为B．是单调函数C．是偶函数D．的图像与直线有两个交点【答案】ABC【分析】根据分段函数的性质分别判断各选项.【详解】当时，单调递减，且，当时，单调递增，且，所以的值域为，A选项错误；在上单调递减，在上单调递增，B选项错误；当时，，，所以函数不是偶函数，C选项错误；又函数与直线在和上分别有一个交点，共有两个交点正确，D选项正确；故选：ABC.例2已知幂函数在内是单调递减函数，则实数______．【答案】【分析】由已知，函数为幂函数且在内是单调递减，可进行列式，即且即可完成求解.【详解】由题意得，函数为幂函数且在内是单调递减，所以，解得．故答案为：.例3求函数的单调区间.【答案】增区间为，减区间为【分析】根据幂函数的图象和性质可得在上单调递增，在上单调递减，结合函数图象的平移即可得出的单调区间.【详解】由题意知，函数的定义域为，因为幂函数在上单调递增，在上单调递减，所以将函数图象向右平移1个单位可得的图象，所以函数在上单调递增，在上单调递减，即函数的单调增区间为，单调减区间为.三．难点题型题型1由幂函数的单调性比较大小解题技巧：比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同、底数不在同一单调区间，则用奇偶性；(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入中间量．例1（多选题）下列不等式在的条件下能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】分别构造函数，利用幂函数的单调性判断即可求解.【详解】分别构造函数，其中函数在(－∞，0)上为减函数，而为(－∞，0)上的增函数，，，，，.故D不成立，ABC成立.故选：ABC例2已知幂函数的图象过点，则与的大小关系是__．【答案】【分析】求出幂函数的解析式，利用幂函数的单调性与奇偶性，即可判断与的大小，得到答案．【详解】设幂函数为，因为幂函数的图象过点，可得，解得，所以幂函数为，此时函数的偶函数，且当时，函数是减函数，则，所以.故答案为：.例3比较下列各组数的大小：(1)，1，(2)，(3)，【答案】(1)；(2)；(3).【分析】(1)根据幂函数y＝的单调性即可判断大小；(2)根据幂函数的单调性即可判断大小；(3)根据指数函数与幂函数的单调性即可判断大小.（1），幂函数在区间上是增函数，故；（2），幂函数在上减函数，故；（3）函数为减函数，，又函数在上是增函数，，即.题型2幂函数的奇偶性问题解题技巧：例1（多选题）已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的a的值为（

）A．1 B． C．3 D．2【答案】AC【分析】根据幂函数的性质分析可得.【详解】因为的值域为R，所以，又因为为奇函数，所以.故选：AC例2已知，若函数在上随增大而减小，且图像关于轴对称，则_______【答案】【分析】利用幂函数的单调性、奇偶性与参数之间的关系可得出的值.【详解】若函数在上递减，则.当时，函数为偶函数，合乎题意；当时，函数为奇函数，不合乎题意.综上所述，.故答案为：.例3已知幂函数的图象过点.（1）求此函数的解析式；（2）证明：函数在上是单调递减函数；（3）判断函数的奇偶性，并加以证明.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）函数既不是奇函数也不是偶函数，证明见解析.【分析】（1）设幂函数的解析式，将点代入即可得答案；（2）利用定义进行证明；（3）先判断函数的定义域，即可得答案；【详解】（1）设幂函数为，∵的图象过点，∴，解得，∴，（2）任取且，则，，函数在上是单调递减函数；（3）函数的定义域为不关于原点对称，函数既不是奇函数也不是偶函数.【点睛】本题考查幂函数的概念、单调性和奇偶性的判断，考查运算求解能力，属于基础题.题型3由幂函数的解不等式解题技巧：1．解决幂函数图象问题应把握研究一般的方法(1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究其它象限的图象．2．幂函数在第一象限的图象与性质(1)α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函数．(2)α<0，幂函数的图象恒经过(1,1)，在(0，＋∞)上是减函数．3．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律(1)在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；(2)在第一象限内直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．例1（多选题）已知幂函数，则下列结论正确的有（

）A．B．的定义域是C．是偶函数D．不等式的解集是【答案】ACD【分析】首先求函数的解析式，再根据幂函数的性质，判断定义域，奇偶性，以及解不等式.【详解】因为函数是幂函数，所以，得，即，，故A正确；函数的定义域是，故B不正确；，所以函数是偶函数，故C正确；函数在是减函数，不等式等价于，解得：，且，得，且，即不等式的解集是，故D正确.故选：ACD例2，，,则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】分别根据对数和指数函数的单调性解不等式，再求交集即可．【详解】,当时成立；当时，解得．所以又,∴a的取值范围是．故答案为：例3已知幂函数的图像经过点．(1)求函数的解析式；(2)若，且

，试求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由条件可得，得到的值即可；（2）根据的单调性解不等式即可.（1）因为，所以，所以．（2）因为，且

在上为增函数，所以

，解得：．四．活学活用培优训练一、单选题1．现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B2．已知幂函数的图象过点，则的值是（

）A．-3 B． C． D．3【答案】D【分析】将点代入，可得函数解析式，从而得到的值.【详解】因为幂函数的图象经过点，所以，解得，则，所以故选：D.3．已知为幂函数且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据原函数为幂函数，利用待定系数法，设出其形式为，再将点代入求出其解析式，再代入，得出其值.【详解】设幂函数为常数,因为,所以,解得,所以,所以.故选：D.4．当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（

）A． B．C．或 D．【答案】A【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.【详解】因为函数既是幂函数又是的减函数，所以解得：.故选：A.5．已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（

）A．的定义域为 B．的值域为C．为偶函数 D．为减函数【答案】C【分析】首先求出幂函数解析式，再根据幂函数的性质一一判断即可.【详解】解：因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以，定义域为，且，即为偶函数，因为，所以，所以，故A错误，B错误，C正确，又在上单调递减，根据偶函数的对称性可得在上单调递增，故D错误；故选：C6．函数的图像大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用时排除选项D，利用时排除选项C，利用时排除选项B，所以选项A正确.【详解】函数的定义域为当时，，可知选项D错误；当时，，可知选项C错误；当时，，可知选项B错误，选项A正确.故选：A二、多选题7．已知函数的图象经过点则（

）A．的图象经过点 B．的图象关于y轴对称C．在上单调递减 D．在内的值域为【答案】CD【分析】根据函数解析式和图象经过的点求出，结合选项可得答案.【详解】将点的坐标代入，可得，则的图象不经过点，A错误；在上单调递减，C正确；根据反比例函数的图象与性质可得B错误，D正确．故选：CD.8．下列关于幂函数的性质说法正确的有（

）A．当时，函数在其定义域上递减B．当时，函数图象是一条直线C．当时，函数是偶函数D．当时，函数的图象与轴交点的横坐标为【答案】CD【分析】根据幂函数的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】当时，，函数在(-∞，0)和(0，+∞)上递减，不能说在定义域上递减，故A选项错误；当时，，，其图象是去掉点的直线，故B选项错误；当时，，函数的定义域为，是偶函数，所以C选项正确；当时，，其图象与轴只有个交点，且交点的横坐标为，所以D选项正确.故选：CD.9．已知幕函数的图象经过点，则（

）A．函数是偶函数B．函数是增函数C．函数的图象一定经过点D．函数的最小值为0【答案】BD【分析】先求得，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，所以，由于的定义域是，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，A选项错误.在上递增，所以B选项正确.，所以C选项错误.，所以D选项正确.故选：BD三、填空题10．函数的减区间是___________．【答案】和．【分析】由幂函数性质作答．【详解】定义域是，的减区间是和．故答案为：和．11．已知，若函数在上单调递减，且为偶函数，则______．【答案】【分析】根据