2024年高考数学第一轮复习讲义第五章5.1　平面向量的概念及线性运算(学生版+解析)

§5.1平面向量的概念及线性运算考试要求1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有________的量叫做向量，向量的大小称为向量的________．(2)零向量：长度为________的向量，记作________．(3)单位向量：长度等于____________的向量．(4)平行向量：方向相同或________的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量________．(5)相等向量：长度相等且方向______的向量．(6)相反向量：长度相等且方向______的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝______；结合律：(a＋b)＋c＝_____减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝________，当λ>0时，λa的方向与a的方向________；当λ<0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝________λ(μa)＝________；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝________3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使________________．常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关．()(2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.()(3)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．()教材改编题1．下列命题不正确的是()A．零向量的长度等于0B．若a＝b，b＝c，则a＝cC．零向量是唯一没有方向的向量D．若a，b都为非零向量，则使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的条件是a与b反向共线2．下列各式化简结果正确的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))3．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.题型一平面向量的基本概念例1(1)下列说法中正确的是()①单位向量都相等；②任一向量与它的相反向量不相等；③若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关；④若a与b是相反向量，则|a|＝|b|.A．①③④ B．②③④C．②④ D．③④听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·福州模拟)如图，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和eq\o(FC,\s\up6(→))相等的是()A.eq\o(EF,\s\up6(→))B.eq\o(FB,\s\up6(→))C.eq\o(DF,\s\up6(→))D.eq\o(ED,\s\up6(→))听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)eq\f(a,|a|)是与a同方向的单位向量．跟踪训练1(1)下列命题中正确的个数是()①向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度与向量eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同；④两个终点相同的向量，一定是共线向量．A．1B．2C．3D．4(2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量为()A.eq\o(BA,\s\up6(→)) B.eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(OD,\s\up6(→))题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例2(2022·济南模拟)已知单位向量e1，e2，…，e2023，则|e1＋e2＋…＋e2023|的最大值是________，最小值是________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2向量的线性运算例3(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(→))＝n，则eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点3根据向量线性运算求参数例4(2022·大连模拟)在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，P为线段DE上的动点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，λ，μ∈R，则λ＋μ等于()A．1B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2)D．2听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练2(1)五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗．如图，在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是()A.eq\o(CH,\s\up6(→))＋eq\o(ID,\s\up6(→))＝0 B.eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(FE,\s\up6(→))C.eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＝2eq\o(HG,\s\up6(→)) D.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AJ,\s\up6(→))(2)P是△ABC所在平面上一点，满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，△ABC的面积是S1，△PAB的面积是S2，则()A．S1＝4S2 B．S1＝3S2C．S1＝2S2 D．S1＝S2(3)在△ABC中，P是BC上一点，若eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则2λ＋μ＝________.题型三共线定理及其应用例5已知O，A，B是不共线的三点，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(3)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.跟踪训练3(1)若a，b是两个不共线的向量，已知eq\o(MN,\s\up6(→))＝a－2b，eq\o(PN,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k等于()A．－1B．1C.eq\f(3,2)D．2(2)如图，△ABC中，点M是BC的中点，点N满足eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，AM与CN交于点D，eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))，则λ等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)§5.1平面向量的概念及线性运算考试要求1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关．(√)(2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(×)(3)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(×)(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(√)教材改编题1．下列命题不正确的是()A．零向量的长度等于0B．若a＝b，b＝c，则a＝cC．零向量是唯一没有方向的向量D．若a，b都为非零向量，则使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的条件是a与b反向共线答案C解析A项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故A正确；B项，由向量相等的定义知B正确；C项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故C不正确；D项，因为eq\f(a,|a|)与eq\f(b,|b|)都是单位向量，所以只有当eq\f(a,|a|)与eq\f(b,|b|)是相反向量，即a与b是反向共线时才成立，故D正确．2．下列各式化简结果正确的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))答案B3．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.答案－eq\f(1,3)解析由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，,1＝3k，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))题型一平面向量的基本概念例1(1)下列说法中正确的是()①单位向量都相等；②任一向量与它的相反向量不相等；③若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关；④若a与b是相反向量，则|a|＝|b|.A．①③④ B．②③④C．②④ D．③④答案D解析对于①，单位向量方向不同时并不相等，①错误；对于②，0的相反向量为0，②错误；对于③，|a|＝|b|，则a与b的长度相等，与方向无关，③正确；对于④，相反向量是长度相等，方向相反的向量，④正确．(2)(2023·福州模拟)如图，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和eq\o(FC,\s\up6(→))相等的是()A.eq\o(EF,\s\up6(→))B.eq\o(FB,\s\up6(→))C.eq\o(DF,\s\up6(→))D.eq\o(ED,\s\up6(→))答案D解析∵eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(FB,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))与eq\o(FC,\s\up6(→))方向不同，∴eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(FB,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))与eq\o(FC,\s\up6(→))均不相等；∵eq\o(ED,\s\up6(→))与eq\o(FC,\s\up6(→))方向相同，长度相等，∴eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→)).思维升华平行向量有关概念的四个关注点(1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．(4)eq\f(a,|a|)是与a同方向的单位向量．跟踪训练1(1)下列命题中正确的个数是()①向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度与向量eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同；④两个终点相同的向量，一定是共线向量．A．1B．2C．3D．4答案B解析对于①，向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量a与b平行，且a或b为零向量时，不满足条件，故②错误；对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；对于④，两个终点相同的向量，不一定是共线向量，故④错误．(2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量为()A.eq\o(BA,\s\up6(→))B.eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))D.eq\o(OD,\s\up6(→))答案D解析A，B选项均与eq\o(BC,\s\up6(→))方向不同，C选项与eq\o(BC,\s\up6(→))长度不相等，D选项与eq\o(BC,\s\up6(→))方向相同，长度相等．题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例2(2022·济南模拟)已知单位向量e1，e2，…，e2023，则|e1＋e2＋…＋e2023|的最大值是________，最小值是________．答案20230解析当单位向量e1，e2，…，e2023方向相同时，|e1＋e2＋…＋e2023|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2023|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2023|＝2023；当单位向量e1，e2，…，e2023首尾相连时，e1＋e2＋…＋e2023＝0，所以|e1＋e2＋…＋e2023|的最小值为0.命题点2向量的线性运算例3(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(→))＝n，则eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n答案B解析因为BD＝2DA，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋3eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋3(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝－2eq\o(CA,\s\up6(→))＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2m＋3n.故选B.命题点3根据向量线性运算求参数例4(2022·大连模拟)在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，P为线段DE上的动点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，λ，μ∈R，则λ＋μ等于()A．1B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2)D．2答案B解析如图所示，由题意知，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，设eq\o(DP,\s\up6(→))＝xeq\o(DE,\s\up6(→))，x∈[0,1]，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋xeq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋x(eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝xeq\o(AE,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)xeq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(1－x)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以μ＝eq\f(2,3)x，λ＝eq\f(2,3)(1－x)，所以λ＋μ＝eq\f(2,3)x＋eq\f(2,3)(1－x)＝eq\f(2,3).思维升华平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义．(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练2(1)五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗．如图，在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是()A.eq\o(CH,\s\up6(→))＋eq\o(ID,\s\up6(→))＝0 B.eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(FE,\s\up6(→))C.eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＝2eq\o(HG,\s\up6(→)) D.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AJ,\s\up6(→))答案D解析A项，由图可知CH与ID相交，所以eq\o(CH,\s\up6(→))与eq\o(ID,\s\up6(→))不是相反向量，故A错误；B项，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(DE,\s\up6(→))共线，eq\o(DE,\s\up6(→))与eq\o(FE,\s\up6(→))不共线，所以eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(FE,\s\up6(→))不共线，故B错误；C项，eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))≠2eq\o(HG,\s\up6(→))，故C错误；D项，连接BF，JF，由五角星的性质可得四边形ABFJ为平行四边形，根据平行四边形法则可得eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AJ,\s\up6(→))，故D正确．(2)P是△ABC所在平面上一点，满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，△ABC的面积是S1，△PAB的面积是S2，则()A．S1＝4S2 B．S1＝3S2C．S1＝2S2 D．S1＝S2答案B解析∵eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＝2(eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))，∴3eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))并且方向一样，设AP与BC的距离为h，∵S△PAB＝eq\f(1,2)|eq\o(AP,\s\up6(→))|·h，S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|·h，又∵|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝3|eq\o(AP,\s\up6(→))|，∴S△PAB＝eq\f(1,3)S△ABC，S1＝3S2.(3)在△ABC中，P是BC上一点，若eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则2λ＋μ＝________.答案eq\f(4,3)解析在△ABC中，eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共线，则λ＝eq\f(1,3)，μ＝eq\f(2,3)，所以2λ＋μ＝eq\f(4,3).题型三共线定理及其应用例5已知O，A，B是不共线的三点，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明(1)若m＋n＝1，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝[m＋(1－m)]eq\o(OP,\s\up6(→))，故meq\o(OP,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(OB,\s\up6(→))，即m(eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝(1－m)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，meq\o(AP,\s\up6(→))＝(1－m)eq\o(PB,\s\up6(→))，即eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))共线，又eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))有公共点P，则A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))，变形得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，即(1＋λ)eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(λ\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OA,\s\up6(→)),1＋λ)＝eq\f(λ\o(OB,\s\up6(→)),1＋λ)＋eq\f(\o(OA,\s\up6(→)),1＋λ)，又eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，eq\f(λ,1＋λ)＋eq\f(1,1＋λ)＝1，故m＋n＝1.思维升华利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(3)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.跟踪训练3(1)若a，b是两个不共线的向量，已知eq\o(MN,\s\up6(→))＝a－2b，eq\o(PN,\s\up6(→))＝2a＋kb，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k等于()A．－1B．1C.eq\f(3,2)D．2答案B解析由题意知，eq\o(NQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PN,\s\up6(→))＝a－(k＋1)b，因为M，N，Q三点共线，故存在实数λ，使得eq\o(MN,\s\up6(→))＝λeq\o(NQ,\s\up6(→))，即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，整理得(1－λ)a＝[2－λ(k＋1)]b，因为向量a，b不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λ＝0，,2－λk＋1＝0，))解得λ＝1，k＝1.(2)如图，△ABC中，点M是BC的中点，点N满足eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，AM与CN交于点D，eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))，则λ等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)答案C解析在△ABC中，因为点M是BC的中点，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，于是得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3λ,4)eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，因为点C，D，N共线，则有eq\f(3λ,4)＋eq\f(λ,2)＝1，解得λ＝eq\f(4,5).课时精练1．化简2(a－3b)－3(a＋b)的结果为()A．a＋4b B．－a－9bC．2a＋b D．a－3b答案B解析2(a－3b)－3(a＋b)＝2a－6b－3a－3b＝－a－9b.2．下列命题中，正确的是()A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反D．如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向与a，b之一的方向一定相同答案C解析对于A选项，0平行于任意向量，若b＝0，满足a∥b，b∥c，但不一定满足a∥c，故A错误；对于B选项，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0而不是数0，故B错误；对于C选项，两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反(大小相等，方向相反)，故C正确；对于D选项，当a＋b＝0时，零向量的方向是任意的，故D错误．3．设a，b是平面内两个向量，“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当a＝－eq\f(1,2)b时，|a＋b|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)b＋b))＝eq\f(1,2)|b|＝|a|，推不出|b|＝0；当|b|＝0时，b＝0，则|a＋b|＝|a＋0|＝|a|，故“|a|＝|a＋b|”是“|b|＝0”的必要不充分条件．4．已知向量a和b不共线，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋mb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，若A，B，D三点共线，则m等于()A．3B．2C．1D．－2答案A解析因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使得eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋6b，所以2a＋6b＝λa＋mλb，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,6＝mλ，))解得m＝3.5．在边长为1的正方形ABCD中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，则|a－b＋c|等于()A．1B．2C．3D．4答案B解析因为四边形ABCD是边长为1的正方形，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，所以a－b＋c＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，所以|a－b＋c|＝|2eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2.6．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，且eq\o(FC,\s\up6(→))＝λeq\o(FD,\s\up6(→))＋μeq\o(FE,\s\up6(→))，则λ＋μ等于()A．1 B．2C．3 D．4答案D解析∵eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝4eq\o(FO,\s\up6(→))＝4×eq\f(1,2)(eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→)))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))＋2eq\o(FE,\s\up6(→))，∴λ＝μ＝2，∴λ＋μ＝4.7．已知向量e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ等于()A．2B．－2C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)答案C解析因为a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，所以ka＝b，k≠0，所以k(2e1－e2)＝e1＋λe2.因为向量e1，e2是两个不共线的向量，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k＝1，,－k＝λ，))解得λ＝－eq\f(1,2).8．已知△ABO中，OA＝OB＝1，∠AOB＝eq\f(π,3)，若OC与线段AB交于点P，且满足eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，则λ＋μ的最大值为()A.eq\f(2,3)B．1C.eq\r(3)D．2答案D解析∵线段OC与线段AB交于点P，设eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OP,\s\up6(→))(x≥1)，则xeq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(λ,x)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(μ,x)eq\o(OB,\s\up6(→))，又∵P，A，B三点共线，则eq\f(λ,x)＋eq\f(μ,x)＝1，即λ＋μ＝x，∵OA＝OB＝1，∴当P为AB中点时|eq\o(OP,\s\up6(→))|最小，此时x最大，又∠AOB＝eq\f(π,3)，故此时|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，又因为|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OP,\s\up6(→))，即x＝2，即λ＋μ的最大值为2.9．设向量a，b不平行，向量ta＋b与a＋3b平行，则实数t的值为________．答案eq\f(1,3)解析∵向量ta＋b与a＋3b平行，∴存在实数k使得ta＋b＝k(a＋3b)，化为(t－k)a＋(1－3k)b＝0，∵向量a，b不平行，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t－k＝0，,1－3k＝0，))解得t＝k＝eq\f(1,3).10．已知△ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于D，交AC于E，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝________.答案3解析如图，设F为BC的中点，则eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,λ)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,μ)eq\o(AE,\s\up6(→))，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3λ)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3μ)eq\o(AE,\s\up6(→))，又G，D，E三点共线，∴eq\f(1,3λ)＋eq\f(1,3μ)＝1，即eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝3.11．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若eq\o(OA,\s\up6(→))－4eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(CA,\s\up6(→))|)等于()A.eq\f(1,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(4,3)答案B解析由eq\o(OA,\s\up6(→))－4eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝3(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，即eq\o(BA,\s\up6(→))＝3eq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(CA,\s\up6(→))|，即eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(CA,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,4).12．已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是()A．|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝|eq\o(MC,\s\up6(→))|B.eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0C.eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))D．S△MBC＝eq\f(1,3)S△ABC答案D解析如图，M为△ABC的重心，则eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，A错误，B错误；eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(→))，C错误；由DM＝eq\f(1,3)AD得S△MBC＝eq\f(1,3)S△ABC，D正确．13．设P，Q为△ABC内的两点，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为()A.eq\f(4,5)B.eq\f(8,5)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,10)答案D解析如图，设eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))，由平行四边形法则知NP∥AB，∴△ABP的面积与△ABC的面积之比为eq\f(1,5)，同理，由eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，可得△ABQ的面积与△ABC的面积之比为eq\f(2,3)，∴△ABP的面积与△ABQ的面积之比为eq\f(1,5)∶eq\f(2,3)＝eq\f(3,10).14．(2023·丽江模拟)在△ABC中，点D在线段AC上，且满足|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(AC,\s\up6(→))|，点Q为线段BD上任意一点，若实数x，y满足eq\o(AQ,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值为________．答案4＋2eq\r(3)解析由题意知点D满足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故eq\o(AQ,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋3yeq\o(AD,\s\up6(→))，由点Q，B，D三点共线可得x＋3y＝1，x>0，y>0，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))·(x＋3y)＝4＋eq\f(3