2024八年级数学下册专题4.3平行四边形的判定定理重难点题型含解析新版浙教版

Page1专题4.3平行四边形的判定定理-重难点题型【学问点1平行四边形的判定】两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

（5）对角线相互平分的四边形是平行四边形．【题型1平行四边形的判定条件】【例1】（玄武区期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能推断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠ABC＝∠ADC，AD∥BC B．∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB C．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC D．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可．【解答】解：A、∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；B、∵∠ABD＝∠BDC，∠BAD＝∠DCB，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥CB，∵∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；C、∵∠ABD＝∠BDC，OA＝OC，又∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD（AAS），∴DO＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；D、∠ABC＝∠ADC，AB＝CD不能推断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；故选：D．【变式1-1】（驿城区期末）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在下列条件中，①AB∥CD，AD∥BC，②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC，④OA＝OC，OB＝OD，⑤AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，能够判定四边形ABCD是平行四边形的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】依据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．【解答】解：①AB∥CD，AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形；②AB＝CD，AD＝BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形；③AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形；④OA＝OC，OB＝OD，对角线相互平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形；⑤∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形；故选：C．【变式1-2】（凤翔县期末）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中确定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【分析】依据平行四边形的5个推断定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线相互平分的四边形是平行四边形，即可作出推断．【解答】解：①依据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能推断这个四边形是平行四边形；②依据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能推断这个四边形是平行四边形；③依据平行四边形的判定定理：两条对角线相互平分的四边形是平行四边形，可知③能推断这个四边形是平行四边形；④依据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能推断这个四边形是平行四边形（例可能是等腰梯形）；故给出下列四组条件中，①②③能推断这个四边形是平行四边形．故选：A．【变式1-3】（宜兴市月考）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AB∥CD，AD＝BC；④AO＝CO，BO＝DO．其中确定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（）A．4组 B．3组 C．2组 D．1组【分析】依据平行四边形的5个推断定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线相互平分的四边形是平行四边形，即可作出推断．【解答】解：①AB∥CD，AD∥BC，能判定这个四边形是平行四边形，故此选项正确；②AB＝CD，AD＝BC，能判定这个四边形是平行四边形，故此选项正确；③AB∥CD，AD＝BC，不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项错误；④AO＝CO，BO＝DO，能判定这个四边形是平行四边形，故此选项正确；故选：B．【题型2平行四边形的判定与坐标】【例2】（江油市期末）如图，△OAB的顶点O、A、B的坐标分别是（0，0）（3，0），（1，1），下列点M中，O、A、B、M为顶点的四边形不是平行四边形的是（）A．（1，﹣1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（4，1）【分析】分三种状况，①AB为对角线时；②OB为对角线时；③OA为对角线时；分别求出点M的坐标，即可求解．【解答】解：分三种状况：①AB为对角线时，∵BM∥OA，点O、A、B的坐标分别是（0，0）（3，0），（1，1），∴M的坐标为（3+1，1），即M（4，1）；②OB为对角线时，∵BM'∥OA，点O、A、B的坐标分别是（0，0）（3，0），（1，1），∴M'的坐标为（1﹣3，1），即M（﹣2，1）；③OA为对角线时，点M''与M'关于原点O对称，∴M''的坐标为（2，﹣1），即M（4，1）；综上所述，点M的坐标为（4，1）或（﹣2，1）或（2，﹣1），故选：A．【变式2-1】（石狮市期末）在平面直角坐标系中，已知点A（0，0）、B（2，2）、C（3，0），若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不行能为（）A．（﹣1，2） B．（5，2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣2）【分析】分三种状况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质简洁得出点D的坐标．【解答】解：分三种状况：①BC为对角线时，点D的坐标为（5，2）②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣1，2），③AC为对角线时，点D的坐标为（1，﹣2），综上所述，点D的坐标可能是（5，2）或（﹣1，2）或（1，﹣2）．故选：D．【变式2-2】（彭州市期末）如图，Rt△OAB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，A（﹣2，0），B（0，4），将△OAB绕O点顺时针旋转90°得到△OCD，直线AC、BD交于点E．点M为直线BD上的动点，点N为x轴上的点，若以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点M的坐标为．【分析】由A、B的坐标可求得AO和OB的长，由旋转的性质可求得OC、OD的长，从而可求得∠AEB＝90°，再由勾股定理可求得CD和AB的长，可求得AB＝CD，可证得△ABE≌△DCE，得到OD＝OB，由B、D坐标可求得直线BD解析式，当M点在x轴上方时，则有CM∥AN，则可求得M点纵坐标，代入直线BD解析式可求得M点坐标，当M点在x轴下方时，同理可求得M点纵坐标，则可求得M点坐标．【解答】解：∵A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∵将△OAB绕O点顺时针旋转90°得△OCD，∴OC＝OA＝2，OD＝OB＝4，AB＝CD，∴∠ACO＝∠ECB＝∠CBE＝45°，∴∠CEB＝90°，∴∠AEB＝∠CED，且CE＝BE，在Rt△ABE和Rt△DCE中AB=CDBE=CE∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），∴OD＝OB＝4，∴D（4，0），且B（0，4），∴直线BD解析式为y＝﹣x+4，当M点在x轴上方时，则有CM∥AN，即CM∥x轴，∴M点到x轴的距离等于C点到x轴的距离，∴M点的纵坐标为2，在y＝﹣x+4中，令y＝2可得x＝2，∴M（2，2）；当M点在x轴下方时，同理可得M点的纵坐标为﹣2，在y＝﹣x+4中，令y＝﹣2可求得x＝6，∴M点的坐标为（6，﹣2）；综上可知M点的坐标为（2，2）或（6，﹣2），故答案为：（2，2）或（6，﹣2）．【变式2-3】（开封期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．【分析】须要分类探讨：以AB为边的平行四边形和以AB为对角线的平行四边形．【解答】解：如图，①当BC为对角线时，易求M1（3，2）；②当AC为对角线时，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；③当AB为对角线时，AC∥BM，且AC＝BM．则|My|＝OC＝2，|Mx|＝OB+OA＝5，所以M3（5，﹣2）．综上所述，符合条件的点D的坐标是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．故答案为：（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．【题型3平行四边形的判定与动点】【例3】（阳谷县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，BC＝6cm，动点P，Q分别从点D，B同时动身，点P以1cm/s的速度向点A运动，点Q以2cm/s的速度向点C运动，几秒后四边形CDPQ是平行四边形（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由运动时间为t秒，则AP＝t，QC＝2t，而四边形CDPQ是平行四边形，所以DP＝CQ，则得方程t＝6﹣2t求解．【解答】解：设t秒后，四边形CDPQ为平行四边形，则DP＝tcm，QC＝（6﹣2t）cm，∵AD∥BC所以DP∥CQ，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，知：DP＝CQ即可，即：t＝6﹣2t，∴t＝2，当t＝2时，DP＝CQ＝2（cm），综上所述，2秒后四边形CDPQ是平行四边形，故选：B．【变式3-1】（芝罘区期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A动身以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C动身，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（）A．34 B．3 C．3或32 D．3【分析】分两种情形由平行四边形的判定列出方程即可解决问题．【解答】解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝9+3t﹣12，解得t=3②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则有t＝12﹣9﹣3t，解得t=3综上所述，t=34或32时，以A、M、E故选：D．【变式3-2】（抚州期末）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（﹣3，2），点C（0，2），点P从点B动身，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A动身，起先以1个单位每秒的速度向原点O运动，到达原点后立即以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时动身，设运动时间为t秒，则当t＝1或3或13时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．【分析】利用A、B、C的坐标可得到OA＝4，BC＝3，BC∥x轴，依据平行四边形的判定，当PC＝AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，探讨：若0＜t＜32时，3﹣2t＝t；若32＜t＜4时，2t﹣3＝t；若4＜t＜163时，2t﹣3＝4﹣3（t﹣4）；若t＞163时，2【解答】解：∵A（4，0），B（﹣3，2），C（0，2），∴OA＝4，BC＝3，BC∥x轴，∵PC∥AQ，∴当PC＝AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，若0＜t＜32时，BP＝2t，PC＝3﹣2t，AQ＝t，此时3﹣2t＝t，解得若32＜t＜4时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，AQ＝t，此时2t﹣3＝t，解得若4＜t＜163时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，OQ＝3（t﹣4），AQ＝4﹣3（t﹣4），此时2t﹣3＝4﹣3（t﹣4），解得t若t＞163时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，OQ＝3（t﹣4），AQ＝3（t﹣4）﹣4，此时2t﹣3＝3（t﹣4）﹣4，解得综上所述，当t为1或3或13秒时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．故答案为1或3或13．【变式3-3】（惠来县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，BD⊥AC于点D，且BD＝16cm．点M从点A动身，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点动身，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）线段AD＝12cm；（2）求证：PB＝PQ；（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？【分析】（1）由勾股定理求出AD即可；（2）由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠PBQ＝∠PQB，再由等腰三角形的判定定理即可得出结论；（3）分两种状况：①当点M在点D的上方时，PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，得出MD＝AD﹣AM＝（12﹣4t）cm，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可；②当点M在点D的下方时，PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，得出MD＝AM﹣AD＝（4t﹣12）cm，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可．【解答】（1）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=AB2故答案为：12；（2）证明：如图1所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，即∠PBQ＝∠C，∵PQ∥AC，∴∠PQB＝∠C，∴∠PBQ＝∠PQB，∴PB＝PQ；（3）解：分两种状况：①当点M在点D的上方时，如图2所示：由题意得：PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，∴MD＝AD﹣AM＝（12﹣4t）cm，∵PQ∥AC，∴PQ∥MD，∴当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，即当t＝（12﹣4t）cm时，四边形PQDM是平行四边形，解得：t=125（②当点M在点D的下方时，如图3所示：依据题意得：PQ＝BP＝tcm，AM＝4tcm，AD＝12cm，∴MD＝AM﹣AD＝（4t﹣12）cm，∵PQ∥AC，∴PQ∥MD，∴当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，即当t＝（4t﹣12）cm时，四边形PQDM是平行四边形，解得：t＝4（s）；综上所述，当t=125s或t＝4s时，以P、Q、D、【题型4平行四边形的判定与证明】【例4】（郓城县模拟）如图，F、C是线段AD上的两点，AB∥DE，BC∥EF，AF＝DC，连结AE、BD，求证：四边形ABDE是平行四边形．【分析】由“ASA”可证△ABC≌△DEF，可得AB＝DE，由平行四边形的判定可得结论．【解答】证明：∵AF＝DC，∴AF+FC＝DC+FC，∴AC＝DF，∵AB∥DE，∴∠BAC＝∠EDF，∵BC∥EF，∴∠ACB＝∠EFD，在△ABC和△DEF中，∠ACB=∠EFDAC=DF∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB＝DE，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形．【变式4-1】（西安期末）如图，在△AFC中，∠FAC＝45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB＝FC，过点A作AD⊥AF，且AD＝BC，连接CD，求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】证Rt△AEB≌Rt△FEC（HL），得BE＝CE，则∠CBE＝∠BCE＝45°，再证出∠BCE＝∠CAD，得BC∥AD，即可证出四边形ABCD是平行四边形；【解答】证明：∵FE⊥AC，∴∠FEA＝∠FEC＝90°，∵∠FAC＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝EF，∠AFE＝∠FAE＝45°，在Rt△AEB和Rt△FEC中，AB=FCAE=FE∴Rt△AEB≌Rt△FEC（HL），∴BE＝CE，∴∠CBE＝∠BCE＝45°，∵AD⊥AF，∴∠FAD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∴∠BCE＝∠CAD，∴BC∥AD，又∵BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形．【变式4-2】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O画直线EF分别交AD、BC于点E、F，已知OE＝OF，且AO+AE＝CO+CF，求证：四边形ABCD为平行四边形．【分析】如图，延长OA到M，使得AM＝AE，延长OC到N，使得CN＝CF．首先证明△EOM≌△FON（SAS），再证明△AEM≌△CFN（ASA），想方法提出AD＝BC，AD∥BC即可．【解答】解：如图，延长OA到M，使得AM＝AE，延长OC到N，使得CN＝CF．∵AO+AE＝CO+CF，∴OA+OM＝OC+CN，∴OM＝ON，∵OE＝OF，∠EOM＝∠FON，∴△EOM≌△FON（SAS），∴∠M＝∠N，EM＝FN，∵AE＝AM，CN＝CF，∴∠M＝∠AEM＝∠N＝∠CFN，∴△AEM≌△CFN（ASA），∴AE＝CF，∵AO+AE＝CO+CF，∴OA＝OC，∵OE＝OF，∴△EOA≌△FOC（SSS），∴∠EAO＝∠FCO，∴AD∥CB，∵∠AOD＝COB，OA＝OC，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝CB，∴四边形ABCD是平行四边形．【变式4-3】（长宁区期末）已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，EF∥BC交AC于点F，联结BE．求证：四边形BEFC为平行四边形．【分析】证△ABE≌△ACD（SAS），得∠EBA＝∠DCA＝60°，再证∠EBC+∠BCA＝180°，则BE∥CF，然后由EF∥BC，即可得出结论．【解答】证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE＝AD，AB＝AC，∠BCA＝∠EAD＝∠BAC＝∠ABC＝60°，∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠EAB＝∠DAC，在△ABE和△ACD中，AB=AC∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠EBA＝∠DCA＝60°，∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝120°，∴∠EBC+∠BCA＝180°，∴BE∥CF，又∵EF∥BC，∴四边形BEFC为平行四边形．【题型5二次证明平行四边形】【例5】如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，M、N分别为ED、FB的中点，试说明四边形ENFM为平行四边形．【分析】ME＝FN，理由为：由四边形ABCD为平行四边形得到对边平行且相等，再由AE＝CF，得到BE＝DF，一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到四边形AECF与四边形BEDF都为平行四边形，利用平行四边形的对边平行得到四边形MEFN为平行四边形．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，且AB∥CD，AD∥BC，∵AE＝CF，∴EB＝DF，∴四边形AECF和四边形BEDF都为平行四边形，∴FM∥NE，FN∥ME，∴四边形ENFM为平行四边形．【变式5-1】如图，O为四边形ABCD的对角线BD的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE＝OF，AE∥CF，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】首先连接BE、DF、ED、BF，依据BO＝DO，EO＝FO可得四边形EBFD是平行四边形，进而得到EB∥DF，EB＝DF，DE＝EF，DE∥BF，再证明△AEB≌△CFD可得AB＝CD，再证明△AED≌△CFB可得AD＝BC，然后依据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得到结论．【解答】证明：连接BE、DF、ED、BF，∵BO＝DO，EO＝FO，∴四边形EBFD是平行四边形，∴EB∥DF，EB＝DF，DE＝EF，DE∥BF，∴∠2＝∠1，∵AE∥CF，∴∠AEF＝∠CFE，∴∠AEF+∠1＝∠CFE+∠2，即∠AEB＝∠CFD，在△AEB和△CFD中，AE=CF∠AEB=∠CFD∴△AEB≌△CFD（SAS），∴AB＝CD，∵ED∥BF，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠AEF﹣∠DEF＝∠CFE﹣∠BFE，即∠3＝∠4，在△AED和△CFB中，AE=CF∠3=∠4∴△AED≌△CFB（SAS），∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．【变式5-2】如图，E、F是△ABC的边AB、BC边的中点，在AC上取G、H两点，使AG＝GH＝HC，连接EG、FH并延长交于点D求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】连接BD交AC于O，连接BG，BH，首先证得四边形BHDG是平行四边形得到AO＝OC，然后利用对角线相互平分的四边形是平行四边形判定即可．【解答】证明：连接BD交AC于O，连接BG，BH，∵E是AB中点，AG＝GH，∴EG是△ABH的一条中位线，∴EG∥BH，即GD∥BH，同理可证BG∥DH，∴四边形BHDG是平行四边形．∴BO＝OD，GO＝OH，又∵AG＝HC，∴AG+GO＝HC+OH，即AO＝OC，又∵BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形【变式5-3】如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上两点，DF＝BE，AE∥CF，AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】依据已知条件可以判定四边形AECF是平行四边形，则其对角线相互平分：OA＝OB，OE＝OF；结合已知条件DF＝BE，则OB＝OD．所以由“对角线相互平分是四边形是平行四边形”证得结论．【解答】证明：如图，连接AF、EC，连接AC交BD于点O．∵AE∥CF，AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OB，OE＝OF．又∵DF＝BE，∴DF+OF＝BE+OE，即OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形．【题型6平行四边形的判定与性质综合】【例6】（西湖区校级月考）如图，已知△ABC为等边三角形，动点P在△ABC内，以PB，PC为边向外作等边三角形△PBD，△PCE．（1）若PB＝8，PC＝6，BC＝10，①求证：四边形PEAD是平行四边形；②求出四边形PEAD的面积；（2）随着点P在△ABC所在平面上运动时，当△PBC满足什么条件时，平行四边形PEAD确定存在？（干脆写出答案）【分析】（1）①证明△DBA≌△PBC（SAS），得出AD＝CP，则AD＝EP，同理△BCP≌△ACE（SAS），得出BP＝AE，则DP＝AE，即可得出结论；②证明△BPC是直角三角形，得出∠BPC＝90°，过点P作PH⊥AD于点H，由直角三角形的性质得出PH=12DP=12（2）当点P在△△ABC内部时，由（1）①得四边形PEAD是平行四边形；当点P在△△ABC外部，且∠BPC≠60°时，同（1）①得：△DBA≌△PBC（SAS），△BCP≌△ACE（SAS），得出AD＝CP，BP＝AE，得出AD＝EP，DP＝AE，得出四边形PEAD是平行四边形；当点P在△△ABC外部，且∠BPC＝60°时，证出点P、D、E三点共线，P、E、A、D不能构成四边形；当点P在直线BC下方时，四边形PEAD不是平行四边形；即可得出答案．【解答】（1）①证明：∵△ABC、△PBD、△PCE都是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，BD＝BP＝DP，CP＝CE＝EP，∠ABC＝∠DBP＝60°，∠ACB＝∠ECP＝60°，∴∠BCP＝∠ACE，∠DBA＝∠PBC，在△DBA和△PBC中，BD=BP∠DBA=∠PBC∴△DBA≌△PBC（SAS），∴AD＝CP，∴AD＝EP，同理：△BCP≌△ACE（SAS）∴BP＝AE，∴DP＝AE，∴四边形PEAD是平行四边形；②解：∵PB＝8，PC＝6，BC＝10，∴BC2＝PB2+PC2，∴△BPC是直角三角形，∴∠BPC＝90°，∵△PBD、△PCE都是等边三角形，∴∠BPD＝∠CPE＝60°，∴∠DPE＝360°﹣∠BPD﹣∠CPE﹣∠BPC＝360°﹣60°﹣60°﹣90°＝150°，过点P作PH⊥AD于点H，如图1所示：∵四边形PEAD是平行四边形，∴AD∥PE，∴∠HPE＝∠PHD＝90°，∴∠DPH＝60°，∴PH=12DP=∴四边形PEAD的面积＝PH•AD＝PH•PC＝4×6＝24；（2）解：当△PBC满足点P在直线BC的上方，且∠BPC≠60°时，平行四边形PEAD确定存在；理由如下：当点P在△ABC内部时，由（1）①得：四边形PEAD是平行四边形；当点P在△ABC外部，且∠BPC≠60°时，如图2所示：同（1）①得：△DBA≌△PBC（SAS），△BCP≌△ACE（SAS），∴AD＝CP，BP＝AE，∴AD＝EP，DP＝AE，∴四边形PEAD是平行四边形；当点P在△ABC外部，且∠BPC＝60°时，如图3所示：∵△PBD、△PCE都是等边三角形，∴∠BPD＝∠CPE＝60°，∵∠BPC＝60°，∴∠BPD+∠BPC+∠CPE＝180°，∴点P、D、E三点共线，∴P、E、A、D不能构成四边形；当点P在直线BC下方时，如图4所示：很明显，四边形PEAD不是平行四边形；综上所述，当△PBC满足点P在直线BC的上方，且∠BPC≠60°时，即点P不在三角形ABC的外接圆上时，平行四边形PEAD确定存在．【变式6-1】（南岗区校级月考）如图，在△AFC中，∠FAC＝45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB＝FC，过点A作AD⊥AF，且AD＝BC，连接CD．（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如图2，若AB平分∠FAC，延长FE交CD于点H，请干脆写出与∠ABE相等的角．【分析】（1）证Rt△AEB≌Rt△FEC（HL），得BE＝CE，则∠CBE＝∠BCE＝45°，证出∠BCE＝∠CAD，得BC∥AD，即可证出四边形ABCD是平行四边形；（2）由平行四边形的性质证出∠CHB＝∠ABE，∠BAE＝∠DCA，证△ABC≌△ABF（AAS），得BC＝BF，AC＝AF，由等腰三角形的性质得∠BCF＝∠BFC，∠FCA＝∠CFA＝45°+∠CFE，进而得出∠BCH＝∠BAD＝∠FCA＝∠CFA＝∠ABE．【解答】（1）证明：∵FE⊥AC，∴∠FEA＝∠FEC＝90°，∵∠FAC＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝EF，∠AFE＝∠FAE＝45°，在Rt△AEB和Rt△FEC中，AB=FCAE=FE∴Rt△AEB≌Rt△FEC（HL），∴BE＝CE，∴∠CBE＝∠BCE＝45°，∵AD⊥AF，∴∠FAD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∴∠BCE＝∠CAD，∴BC∥AD，又∵BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：与∠ABE相等的角有：∠CHB、∠BCH、∠BAD、∠FCA、∠CFA；理由如下：由（1）得：Rt△AEB≌Rt△FEC，四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE＝∠CFE，∠BCH＝∠BAD，AB∥CD，∴∠CHB＝∠ABE，∠BAE＝∠DCA，∵AB平分∠FAC，∴∠BAC＝∠BAF，在△ABC和△ABF中，∠BAC=∠BAF∠ACB=∠AFB=45°∴△ABC≌△ABF（AAS），∴BC＝BF，AC＝AF，∴∠BCF＝∠BFC，∠FCA＝∠CFA＝45°+∠CFE，∵∠ABE＝∠AFE+∠BAF，∴∠CHB＝∠BCH＝∠BAD＝∠FCA＝∠CFA＝∠ABE．【变式6-2】（安国市期末）如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），连接OD，点E是线段OD的中点．（1）求点E和点D的坐标；（2）平面内是否存在一点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由A，B两点坐标，可以得到AB＝6，因为四边形ABCD为平行四边形，所以CD∥AB，且CD＝AB＝6，由此干脆得到D点坐标，利用中点坐标公式，得到E点坐标；（2）N为动点，故须要分三类探讨，即CE，DE，CD均可以为对角线构造平行四边形，画出草图，依据坐标与平移的关系，