2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第27讲解三角形应用举例学生版

第27讲解三角形应用举例思维导图学问梳理1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．区分两种角(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．题型归纳题型1解三角形的实际应用【例1-1】海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙隐私的最终遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为A． B．80 C．160 D．【例1-2】小华想测出操场上旗杆的高度，在操场上选取了一条基线，请从测得的数据①，②处的仰角，③处的仰角，④，⑤中选取合适的，计算出旗杆的高度为A． B． C． D．【例1-3】新安江某段南北两岸平行，一艘游船从南岸码头动身航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，游船正好抵达处时，A． B． C． D．【跟踪训练1-1】为了测量河对岸两地、之间的距离，先在河这岸选择一条基线，测得米，再测得，，，，据此计算、两地之间的距离是A． B． C． D．【跟踪训练1-2】如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得．已知山高，则山高（单位：为A．750 B． C．850 D．【跟踪训练1-3】俗语云：天王盖地虎，宝塔镇河妖．萍乡塔多，皆因旧时萍城多水患，民不聊生．迷信使然，建塔以辟邪镇邪．坐落在萍城小西门汪公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔”．此塔始建于唐代，后该塔曾因久失修倒塌，在清道光年间重建．某爱好小组为了测量塔的高度，如图所示，在地面上一点处测得塔顶的仰角为，在塔底处测得处的俯角为．已知山岭高为36米，则塔高为A．米 B．米 C．米 D．米【跟踪训练1-4】公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走80米到点处，测得仰角为，再行走80米到点处，测得仰角为．则．【名师指导】1.测量距离问题的2个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则干脆求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，假如都可用，就选择更便于计算的定理．2.高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中，运用正、余弦定理或其他相关学问求出该高度．3.测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最终将解得的结果转化为实际问题的解．题型2正、余弦定理在平面几何中的应用【例2-1】如图，在平面四边形中，的面积为，，，，，则，．【例2-2】如图，在四边形中，，且，，．（1）求的面积；（2）若，求的长．【跟踪训练2-1】如图，在中，，，是边上一点，，，则的长为A． B． C．8 D．【跟踪训练2-2】如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为A． B． C． D．【跟踪训练2-3】如图，在中，角的平分线交于，且．若，，则．【跟踪训练2-4】如图，在平面四边形中，，，．（1）若，求四边形的面积；（2）若，求．【名师指导】与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所供应的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)找寻各个三角形之间的联系，交叉运用公共条件，求出结果．题型3解三角形与三角函数的综合问题【例3-1】设函数，．（Ⅰ）已知，，函数是偶函数，求的值；（Ⅱ）设的三边，，所对的