备战2024年高考数学一轮复习2.1不等式的性质及一元二次不等式(精讲)(原卷版+解析)

2.1不等式的性质及一元二次不等式（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一不等式的性质【例1-1】（2022·浙江）已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的是（

）A． B． C． D．【例1-2】（2016·浙江）设实数，，满足，，则下列不等式中不成立的是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2022·福建·三模）若，则“”的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）若实数，，满足，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．3．（2022·江苏苏州·高三期末）已知则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．考点二不等式恒成立【例2-1】（2022·海南·嘉积中学）对任意的，恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【例2-2】（2022·重庆·高三阶段练习）若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高三专题练习）若不等式对任意的恒成立，则（

）A．， B．，C．， D．，考点三一元二次方程（不等式）根的分布【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）关于的一元二次方程：有两个实数根、，则=（

）A． B． C．4 D．-4【例3-2】（2022·浙江·高三专题练习）若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则实数的取值范围是___________.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）若和分别是一元二次方程的两根，则的是______.2．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为______3．（2021·全国·专题练习）已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2021·上海·华师大二附中高一期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(

)A． B．C． D．考点四比较大小【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【例4-2】．（2022·广东茂名·高三阶段练习）（多选）已知，，（其中为自然对数的底数），则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2021·全国·高三专题练习（文））已知，，则（

）A． B． C． D．2．（2022·山东·模拟预测）已知非零实数m，n满足，则下列关系式一定成立的是（

）A． B．C． D．3．（2022·广东广州·一模）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．考点五解含参的一元二次不等式【例5】（2022·全国·高三专题练习）解关于的不等式．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式：，当时解不等式．2．（2022·上海·高三专题练习）解关于的不等式：.3．（2022·全国·高三专题练习）设函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若（1），，求的最小值．2.1不等式的性质及一元二次不等式（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一不等式的性质【例1-1】（2022·浙江）已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A，取，该不等式成立，但不满足；对于C，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足；对于D，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足；下面证明B法一：不等式等价于，而.函数在上单增，故.法二：若，则，故，矛盾.故选：B【例1-2】（2016·浙江）设实数，，满足，，则下列不等式中不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】选项A，要证，只需证即可.由题意可知，则成立，则成立.要证，只需证由题意可知，则，又因为，所以，则，即成立故选项A成立，不符合题意.选项B，要证，只需证即可.由题意可知，则，成立.所以成立，即.要证，只需证，只需证由题意可知，则，，，.所以成立，即成立.故选项B成立，不符合题意.选项C，要证，只需证即可.由题意可知则.又因为，所以.所以成立，即.要证，只需证即可由题意可知则.又因为，所以.所以成立，即成立.故选项C成立，不符合题意.选项D，令，，则即，所以不成立，符合题意.故选：D【一隅三反】1．（2022·福建·三模）若，则“”的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，对于A，当，取，明显可见，不成立，故必要性不成立，A错误；对于B，当，，得，必要性成立；当，取，，明显可见，，则不成立，充分性不成立；则B正确对于C，当，取，明显可见，，则不成立，故必要性不成立，则C错误；对于D，当成立，则，明显可见，成立；当，两边平方，同样有，充分性也成立，D错误；故选：B2．（2022·全国·高三专题练习）若实数，，满足，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】实数，，满足，所以对于：当，，时，不成立，故错误；对于：当，，时，，故错误；对于：由于，所以，故，故正确；对于：当，，时，无意义，故错误．故选：．3．（2022·江苏苏州·高三期末）已知则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】取，则，故A选项错误；取，，，则B选项错误；取，，则，，即，故D选项错误；关于C选项，先证明一个不等式：，令，，于是时，递增；时，递减；所以时，有极小值，也是最小值，于是，当且仅当取得等号，由，当时，同时取对数可得，，再用替换，得到，当且仅当取得等号，由于，得到，，，即，C选项正确.故选：C.考点二不等式恒成立【例2-1】（2022·海南·嘉积中学）对任意的，恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，由得：，（当且仅当，即时取等号），，解得：，即的取值范围为.选：D.【例2-2】（2022·重庆·高三阶段练习）若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，则.（1）当时，则，令，.故.（2）当时，则，令①当时，，则②当时，，则故（3）当时，则在上恒成立，故.综上所述：故选：A.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，对一切均大于0恒成立，所以，或，或，解得或，，或，综上，实数的取值范围是，或.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵不等式的解集为R，当a-2＝0，即a＝2时，不等式为3>0恒成立，故a＝2符合题意；当a﹣2≠0，即a≠2时，不等式的解集为R，则，解得，综合①②可得，实数a的取值范围是．故选：B．3．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若不等式对一切恒成立，则，即，在单调递增，，所以.故选：C4．（2022·全国·高三专题练习）若不等式对任意的恒成立，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】由选项可知，故原不等式等价于，当时，显然不满足题意，故，由二次函数的性质可知，此时必有，即，故选：B考点三一元二次方程（不等式）根的分布【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）关于的一元二次方程：有两个实数根、，则=（

）A． B． C．4 D．-4【答案】D【解析】由有两个实数根，可得，所以．故选：D．【例3-2】（2022·浙江·高三专题练习）若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】因为，所以，解得，所以原不等式的解集为，又解集中的整数有且仅有1，2，3，所以解得：，即，故答案为：．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）若和分别是一元二次方程的两根，则的是______.【答案】【解析】由韦达定理：，，故答案为：.2．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为______【答案】【解析】解：因为不等式的解集中恰有个正整数，即不等式的解集中恰有个正整数，所以，所以不等式的解集为，所以这三个正整数为，所以，故答案为：.3．（2021·全国·专题练习）已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令由题可知：则，即故选：C4．（2021·上海·华师大二附中高一期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.故选：A.考点四比较大小【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，构造函数，，令，则，∴在上单减，∴，故，所以在上单减，∴，同理可得，故，故选：C.【例4-2】．（2022·广东茂名·高三阶段练习）（多选）已知，，（其中为自然对数的底数），则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】令，，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，，又，所以，所以；故选：AD【一隅三反】1．（2021·全国·高三专题练习（文））已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，，所以，又因为，因为，所以，又因为，所以且，所以，所以，故选：B.2．（2022·山东·模拟预测）已知非零实数m，n满足，则下列关系式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以.取，，得，故A选项不正确；取，，得，所以，故B选项不正确；取，，得，故C选项不正确；当时，则，所以，所以，当时，则，，所以，当时，，所以，综上得D选项正确，故选：D.3．（2022·广东广州·一模）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，为单调递增函数，故，由于，故，或，当时，，此时；，故；，；当时，，此时，，故；，；故ABC均错误；D选项，，两边取自然对数，，因为不管，还是，均有，所以，故只需证即可，设（且），则，令（且），则，当时，，当时，，所以，所以在且上恒成立，故（且）单调递减，因为，所以，结论得证，D正确故选：D考点五解含参的一元二次不等式【例5】（2022·全国·高三专题练习）解关于的不等式．【答案】答案见解析【解析】若，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1．若，原不等式等价于，解得或x>1．若，原不等式等价于．①当时，，无解；②当时，，解，得；③当时，，解，得；综上所述，当时，解集为或；

当时，解集为{x|x>1}；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式：，当时解不等式．【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】原不等式可变形为：，当时，，所以，即原不等式的解集为；当时，，所以，即原不等式的解集为；当时，，令，所以，若时，，所以原不等式的解集为，若时，，所以原不等式的解集为，若时，，所以原不等式的解集为，综上可知：时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为．2．（2022·上海·高三专题练习）解关于的不等式：.【答案】答案见解析【解析】当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得，或；当时，，不等式化为，解得；当时，不等式化为，此时无解；当时，，不等式化为，解得；