线性代数与概率统计 课件 第四章 样本及抽样分布

第四章样本及抽样分布数理统计的任务序数理统计是应用广泛的一个数学分支，它以概率论为理论基础，根据试验或观察得到的数据来研究随机现象，对研究对象的客观规律性做出合理的估计和判断，以便对所考察的问题尽可能地作出精确而可靠的推断和预测,直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。总体与样本第一节基本概念1定义1

01总体（population）02个体（individual）被研究对象的全体组成总体的各个元素在研究2000名学生的年龄时,这些学生的年龄的全体就构成一个总体,每个学生的年龄就是个体。例1某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的总体中，个体的总数就是10月份生产的灯泡数，这是个有限总体；而该工厂生产的所有灯泡寿命所组成的总体是一个无限总体，它包括以往生产和今后生产的灯泡寿命。例2总体可以记作X个体用xi表示01抽样(sampling)从总体中抽取若干个体的过程02样本(sample)所得到的部分个体定义2定义303样本容量(samplesize)样本中所含个体的数量01样本观测值(sampleobservations)从总体中抽取样本容量为

n的样本，即得到n个随机变量：X1

,

X

2

,

,

Xn

.当n次试验结束后，得到n个数值：x1

,

x2

,

,

xn

.

称这n个数值为样本观测值.定义401简单随机样本(simplerandomsample)从总体中抽取样本容量为n的样本，若满足：1随机性：X1

,

X

2

,

,

Xn与总体X同分布2独立性：X1

,

X

2

,

,

Xn相互独立.则称此样本为简单随机样本。样本的分布2设X1

,

X

2

,

,

Xn为总体X的一个简单随机样本.01nx p

x

p

x1 21 2 n*x

,

x ,

,

xp

p

若X是离散型随机变量,其分布律为P{X

x}

p(x)

则样本

X1

,

X2

,

,

Xn

的分布律为02

n

f

x1 2 n 1 2*f

x

,

x ,

,

x

f

x

f

x若X是连续型随机变量,其概率密度为f

(

x)则样本

X1

,

X2

,

,

Xn

的概率密度为

niniii

x n

xn

p

q

p

qi

1i

1x 1

x

i

1*nn1 2 n 1 1 2 2

x

}p (x,x

,

,

x )

P{X

x

}P{X

x

}

P{X设X1

,

X

2

,

,

Xn是来自两点分布总体X的样本，X的分布为例1P{X

1}

p,P{X

0}

q(q

1

p,0

p

1

)

求样本分布律解(k

0,

1)P{X

k}

pk

q1

k由题知则样本分布律为样本样本容量简单随机抽样小结基本概念个体总体有限总体无限总体说明2在实际中遇到的总体往往是有限总体，它对应一个离散型随机变量；当总体中包含的个体的个数很大时，在理论上可认为它是一个无限总体。一个总体对应一个随机变量X，以后将不区分总体和相应的随机变量，统称为总体X。说明1样本函数与统计量第二节统计量的概念一若样本函数g

X1

,

X

2

,

,

Xn

中不含任何未知参数，则称样本函数g(

X1

,

X

2

,

,

Xn

)为统计量.定义Note：1.统计量实质上是特殊的样本函数.2.统计量中一定不能含有未知参数.样本方差：2其观测值为:其观测值为：样本均值：1常用的统计量二样本k阶原点矩4其观测值为:其观测值为：样本标准差3常用的统计量二其观测值为:样本k阶中心矩5常用的统计量二本小节结束！第四章样本及抽样分布抽样分布第四节定义1设总体X

~

N

0,

1

，X1,

X

2

,

,

Xn是来自X的一个样本，则称统计量(1)22212nX

X

X

X

…

223Note自由度是指(1)式右端包含的独立变量个数

2分布的性质可加性

2分布的期望和方差E(

2

)

n,

D(

2

)

2n.

2一分布~

2

n

.

2服从自由度为n的

2分布

记为定义2设X的分布函数为F

x

，对给定的

(0

1)，若有P

X

x

则称点x

为

F

x

的上

分位点.

f

x

dx

.P{X

x }

x

对于不同的α和n，上α分位点的值，可查阅

2分布表Note当X有密度函数f(x)时，(2)式可写成20.05

20

31.410.查得取

0.05，n

20例如t分布二定义1设

X

~

N

0,

1

，Y

~

2

(n)，且相互独立，则称定义2若对给定的

(0

1)，有P

T

t

(n)

.

f

t

dt

.P{T

t (n)}

t

(

n

)TNote随机变量Y nXT

服从自由度为n

的t

分布.记为

T

~

t

n

.t

分布的上α分位点则称点

t

(n)

为

t

n

分布的上

分位点.

t(n)的上α分位点t

(n)

可查t分布表.t

n

1.7058.利用t

分布的对称性，可得

t1

n

t

n

.当n

26，

0.05时例如，且相互独立，则称2212

n

，V

~

(n)设

U

~

F

分布三定义1

若F～F(n1

,

n2

)，则

1/F～F(n2

,

n1

).Note服从自由度为(n1

,n2

)

的F

分布.记为

F

~

F

n1

,

n2

.随机变量V

n2n1F

U

1

2

f

x

dx

.

(1) P{F

F

(n

,

n

)}

F

(

n1

,n2

)FF1

n1

,

n2

1

F

(n2

,

n1

).(2)利用F

分布的性质，有：定义2若对给定的

(0

1)，有

P

F

F

(n1

,

n2

)

.则称点F

(n1

,

n2

)

为

F

n1

,

n2

分布的上

分位点.NoteF(n1

,n2

)的上α分位点F

(n1

,

n2

)

可查F分布表当n1

10,

n2

30,

0.05时，F

n1

,

n2

2.16.例如正态总体统计量的分布四定理1设总体

X

~

N

,

2

，X

,

X,,

X

是来自总体

X的样本，则X

12

3n定理2设总体

X

~

N

,

2

，X

,

X,

,

X是来自总体

X的样本，有X

12

3nX

~

N

n

2

(1)

,

X