湖南省株洲市炎陵县2023-2024学年高二下学期4月素质质量检测数学试卷【含答案解析】

湖南省株洲市炎陵县2024年高二4月素质质量检测数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接求交集即可.【详解】集合，则，故选：B．2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.【详解】对于选项A，当时，，当时，，即，所以选项A不满足题意，对于选项B，因在区间上不单调，所以选项B不满足题意，对于选项C，因为图象不关于轴对称，所以选项C不满足题意，对于选项D，令，易得其定义域为，关于原点对称，又，所以为偶函数，当时，，又在区间上单调递增，所以选项D满足题意，故选：D.3.已知．则“且”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果.【详解】当且时，，所以，当且仅当，即时取等号，所以由且可以得出，显然，当，有成立，但得不出且，所以“且”是“”的充分而不必要条件，故选：A.4.已知复数，其中是虚数单位，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数运算法则及共轭复数定义判定即可.【详解】易知的虚部为.故选：B．5.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由诱导公式可得，结合诱导公式和二倍角的余弦公式计算即可求解.【详解】由，得，则.故选：D.6.若向量，满足，，，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将展开，利用数量积的定义以及，即可求解.【详解】由可得：，即，将，代入可得：，所以，故选：B7.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对个成语的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】记、分别表示甲两轮猜对个、个成语的事件，、分别表示乙两轮猜对个、个成语的事件，求出事件、、、发生的概率，再利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设、分别表示甲两轮猜对个、个成语的事件，、分别表示乙两轮猜对个、个成语的事件.根据独立事件的性质，可得，，，，设“两轮活动“星队”猜对个成语”，则，且与互斥，与、与分别相互独立，所以，因此，“星队”在两轮活动中猜对个成语的概率是.故选：A.8.中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为（，，且a，b，c不全相等）.若该建筑的室内地面是面积为的圆，给出下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确命题的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据已知得，结合题设判断各项正误即可.【详解】在中，令可得该建筑室内地面对应的曲线方程为，由室内地面是面积为的圆，故，①对；且，则，又不全相等，故，②错；若，则，可得，与不全相等矛盾，③错；若，则，故，④对.故选：B.二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.设，是两个平面，，是两条直线，下列命题正确的是（）A.如果，，那么.B.如果，，那么.C.如果，，，那么.D.如果内有两条相交直线与平行，那么.【答案】ABD【解析】【分析】由立体几何知识对选项逐一判断【详解】对于A，由线面垂直的性质知A正确对于B，由面面平行的性质知B正确对于C，若，，，可得或，而位置关系不确定，故C错误对于D，由面面平行的判定定理知D正确故选：ABD10.下列说法正确的是（）A.两个变量，的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱B.在回归分析中，为0.99的模型比为0.88的模型拟合的更好C.在的展开式中，所有项的系数和为0D.某时间段的第1天为星期三，则第天为星期四【答案】AB【解析】【分析】对于AB：根据统计知识判断AB；对于CD：根据二项式定理分析判断.【详解】对于A：两个变量，的相关系数为，越小，与之间的相关性越弱，A正确：对于B：越接近1，模型拟合越好，且，B正确；对于C：取，得所有项的系数之和为1，C错误；对于D：因为，可知被7除余数为6，所以第天是星期一，D错误.故选：AB.11.袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（）A. B. C.X的期望 D.X的方差【答案】ACD【解析】【分析】分别计算概率，计算期望与方差.【详解】从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，取4次球总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量服从二项分布，故A正确；，记其概率为，故B错误；因为，所以的期望，故C正确；因为，所以的方差，故D正确．故选：ACD．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.展开式中的常数项为________．【答案】15【解析】【分析】根据二项式定理展开式的通项公式可得，令即可求解.【详解】由题意知，二项式定理展开式的通项公式为：，令，得，则常数项为：.故答案为：1513.某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有______.【答案】18【解析】【分析】要做到每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，可以分两步完成：甲在三个项目中任选一个，另外三个同学在剩下的三个项目中各任选一个，根据计数原理即可得到结果.【详解】要做到每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，可以分两步完成：①让甲在三个项目中任选一个，有种方法；②让另外三个同学在剩下的三个项目中各任选一个，有种方法.由分步乘法计数原理，可得符合条件的报名方法种数为.故答案为：14已知随机变量，若，则______.【答案】0.14##【解析】【分析】由正态分布的对称性即可求解.【详解】因为，所以，故答案为：0.14.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化天数x12345678910作物高度y/cm9101011121313141414（1）观察散点图可知，天数与作物高度之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度关于天数的线性回归方程（其中用分数表示）；（2）小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差.参考公式：.参考数据：.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据表格数据利用公式求出即可求解.（2）将代入回归方程求得预测值，然后根据残差定义求解即可.【小问1详解】依题意，，，故，，故所求回归直线方程为.【小问2详解】由（1）可知，当时，，故所求残差为.16.2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：不太了解比较了解合计男生204060女生202040合计4060100（1）判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；（2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为，求的分布列及.附：①，其中；②当时有95%的把握认为两变量有关联.【答案】（1）没有（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据题意和公式求出，然后根据附②即可得出结论；（2）由题得出的取值依次为0，1，2，依次求出各种取值的概率，然后写出分布列求出期望.【小问1详解】根据列联表中的数据，得，所以没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异.【小问2详解】这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，则抽取的男生有3人，女生在2人，所以的取值依次为0，1，2，，，，所以的分布列为012.17.已知函数的图象在点处的切线方程为．（1）求实数a，n的值；（2）求函数在区间上的最值．【答案】（1）（2）在上的最大值为36，最小值为【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义及题中条件列出方程组，解出即可；（2）利用导数考查函数在区间上的单调性，求得极值及端点处的函数值，进行比较即可求解.【小问1详解】由于，因此，根据题意得，解得.【小问2详解】当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，的极大值为的极小值为又在上的最大值为36，最小值为．18.如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线线平行证明面面平行；（2）向量法求二面角.【小问1详解】如图，连接，设，连接．因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以为的中点．因为为的中点，所以．又因平面，平面，所以平面．【小问2详解】因为，，又，平面，平面，所以平面，又因平面，所以．又，所以，，两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系，则，，，．所以，．设平面的法间量为，则即，令，则，于是．因为平面，所以是平面的一个法向量．所以．由题设，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为．19.已知椭圆的离心率为，右焦点为，圆，过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为．（1）求的标准方程；（2）若直线与曲线交于两点，求面积的最大值．【答