福建省福州市华伦中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

2023-2024学年第二学期八年级期末知识检索数学科一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.下列方程是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的定义，解题关键是熟练掌握一元二次方程的定义．只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．解：选项，符合一元二次方程定义，符合题意，选项正确；选项，含有分式，不符合一元二次方程定义，不符合题意，选项错误；选项，含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不符合题意，选项错误；选项，含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不符合题意，选项错误．故选：．3.二次函数的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解答本题的关键．解：的顶点坐标为，故选：．4.如果两个相似三角形的周长之比为，那么这两个三角形的面积之比为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比．相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比．由此即可求解．解：两个相似三角形的周长之比为，两个相似三角形的相似比是，这两个三角形的面积之比为．故选：C．5.下图为某商家2023年1月至10月“人工智能机器人”的月销售量，下列说法错误的是（）A.这10个月的月销售量的众数为28B.这10个月中7月份的月销售量最高C.前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差D.4月至7月的月销售量逐月增加【答案】C【解析】【分析】本题考查了折线图，众数、方差等知识，解题的关键知道方差是描述波动程度的量，方差越大，波动越大．解：A．这10个月的月销售量的众数为28出现了两次，出现次数最多，故众数为28，选项说法正确，不符合题意；B．这10个月中7月份的月销售量为40，为最高，选项说法正确，不符合题意；C．前5个月的月销售量的波动程度小于后5个月的波动程度，故方差小于后5个月的方差，选项说法错误，符合题意；D．4月至7月的折线图是上升的，故月销售量逐月增加，选项说法正确，不符合题意；故选：C．6.如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，可以得到，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得，本题得以解决．解：∵，∴，∴，∴当添加条件时，则，故选项A不符合题意；当添加条件时，则，故选项B不符合题意；当添加条件时，则，故选项C不符合题意；当添加条件时，则不一定相似，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形相似的判定方法解答．7.如图，已知，与，，分别交于，，三点，与，，分别交于，，三点．若，，，则图中长度为的线段是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，由得，然后代入即可求解，熟练掌握相关知识是解题的关键．解：∵，∴，∴，∴，故选：．8.某企业今年3月份产值为万元，4月份比3月份减少了，5月份比4月份增加了，若这两个月的平均增长率为，则满足的关系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据3、4、5月份产值间的关系，可得出该企业今年5月份产值为万元，利用该企业今年5月份产值该企业今年3月份产值这两个月的平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解．解：该企业今年3月份产值为万元，4月份比3月份减少了，5月份比4月份增加了，该企业今年4月份产值为万元，5月份产值为万元．根据题意得：．故选：D9.如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为（）A.6 B. C. D.9【答案】D【解析】【分析】本题主要考查旋转的性质及含30度角的直角三角形的性质，结合图形，熟练掌握旋转的性质是解题关键．过A作于，根据旋转的性质得出，，利用含30度角的直角三角形的性质得出，结合图形得出即可求解．过A作于点D，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，，，是等腰三角形，，，，，且，，故选：D．10.如图，在矩形ABCD中，，，点P在直线AD上运动，以BP为直角边向右作，使得，，连接CQ，则CQ长的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】过点作于点，与交于点，证明，设，根据相似三角形的相似比，用表示，并求得，进而根据勾股定理，用表示，根据二次函数的性质求得的最小值，最后便可求得的最小值．解：过点作于点，与交于点，如图所示：，，，，，，，设，则，∵，，，，，，，即抛物线开口向上，当时，的最小值为，长的最小值为，故选：D【点睛】本题主要考查动点最值问题，涉及矩形性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11.若，则________．【答案】【解析】【分析】根据比例的基本性质变形，代入求职即可；由可设，，k是非零整数，则．故答案为：．【点睛】本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．12.把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________．【答案】或（答出这两种形式中任意一种均得分）【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．故答案为y=2（x+1）2﹣2．考点：二次函数图象与几何变换．13.若一组数据，，，…，的平均数为4，方差为2，则，，，…，的方差为__________．【答案】8【解析】【分析】根据平均数与方差的定义和性质，先得出，再得出，结合方差公式进行计算即可．本题考查了平均数与方差的定义与计算问题，是基础题．解∵一组数据，，，…，的平均数为4，方差为2，∴，∴，则，，，…，的平均数为则，，，…，的方差为，故答案为：8．14.关于的一元二次方程有实数根．则的取值范围_____．【答案】且【解析】【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．解：∵关于的一元二次方程有实数根，∴，解得：，∵，∴的取值范围是且，故答案为：且．15.如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是_____________．【答案】（1，1）或（4，4）【解析】解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示，∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），∴E点的坐标为（1，1）；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示，∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），∴M点的坐标为（4，4）．综上所述：这个旋转中心的坐标为（1，1）或（4，4）．故答案为（1，1）或（4，4）．16.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则；③若，则；④若抛物线上存在三点、、，当，，时，存在，则m的取值范围是．其中说法正确的有________．（填写正确结论的序号）【答案】①③【解析】【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等．由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得到，点B的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标为，据此可判断③；由题意可得，且，，且离对称轴最远，离对称轴最近，从而得到，，又，，因此，，求解即可判断④．解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，∴当时，，∴当时，，即，故①正确；当且时，则直线和直线关于对称轴对称，∴，故②错误；∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，∵，∴，∴点B的坐标为，把代入抛物线解析式中得，∴，∴，∴点B的坐标为，∴，故③正确；∵当，，时，存在，∴，且，，且离对称轴最远，离对称轴最近，∴，∴，，∵，，∴，，解得，故④错误．综上所述，说法正确的有①③．故答案为：①③三．解答题（共9小题，共86分）17.解方程：．【答案】【解析】【分析】此题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法是解本题的关键．方程利用配方法求出解即可解：方程整理得：，配方得：，即，开方得：，解得．18.如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别是、、，结合平面直角坐标系解答下列问题．（1）画出绕点O顺时针旋转得到的，并写出点的坐标；（2）以点O为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为，且不在同一象限．【答案】（1）图见解析，点的坐标为；（2）图见解析；【解析】【分析】（1）利用旋转的性质，分别作出对应点、、，依次连接即可得到和点的坐标；（2）利用位似变换的性质分别作出对应点，依次连接即可得到答案．【小问1】解：如下图，点坐标为；【小问2】解：位似三角形如图所示．【点睛】本题考查了作图—旋转变换、位似变换，张哦我旋转变换和位似变换的性质是解题关键．19.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，令这两个实数根为，，且，求的取值范围．【答案】的取值范围是．【解析】【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式确定参数的范围，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，；熟记一元二次方程的两个根为，，则，．解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，∵关于的一元二次方程的两个实数根为，，∴，，∵，∴，解得：，∴的取值范围是．20.如图，在中，，．（1）实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）应用与计算：在（1）的条件下，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，作一个角等于已知角；（1）作，交于点，即可求解;（2）根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解．【小问1】解：如图所示，作，交于点，根据作图可得又∵∴；【小问2】解：∵∴∵，．∴解得：21.如图，中，边上的中线与的平分线交于F点，．（1）求证：；（2）求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（）根据等边对等角得到，由是的平分线，得到，再根据三角形外角性质得，即可证明；（）取中点，连接，利用三角形中位线的性质，得，证，得到，进而的得到，即可求证；本题考查了三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握知识点的应用及正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键．【小问1】证明：∵，∴，∵是的平分线，∴，∵，，∴，∴；【小问2】证明：取中点，连接，如图，∴，∵是边上的中线，即点为的中点，∴是的中位线，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴．22.为了进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，某校举行了安全知识网络竞赛活动，并对各班安全知识测试成绩（共题，每题分，满分分）进行整理、描述和分析．信息一：该校八年级部分班级学生测试成绩如下表：分数（单位：分）八年（）班人数八年（）班人数信息二：成绩统计如下表：年级平均数中位数众数方差八年（）班八年（）班（1）根据题目信息填空：________，________．（2）求的值；（3）若从成绩的稳定性的角度选一个班级代表年级参加安全知识网络竞赛，你认为选哪个班更合适？请说明理由．【答案】（1），；（2）；（3）八年（）班代表年级参加安全知识网络竞赛更合适．【解析】【分析】本题考查了频数分布表，中位数，众数，平均数，方差的意义等知识．（）根据中位数和众数的定义即可求解；（）利用平均数公式即可求解；（）根据方差的意义即可解答；【小问1】解：八年（）班人数共（人），∴中位数为第个的平均数，八年（）班出现次数最多的为共次，∴，故答案为：，；【小问2】，【小问3】∵从成绩的稳定性的角度来看，，∴八年（）班代表年级参加安全知识网络竞赛更合适．23.小明和小亮玩打水仗，两人相距米，两人身高都是米．以水平线为轴，小明所站立线为轴建立如图所示直角坐标系，点是小明水枪的喷口，小明的喷水枪喷出的水行走的路线为抛物线，小亮为了喷到小明，踮脚抬臂，使得喷枪的喷口坐标为，小亮水枪喷出的水行走路线为抛物线，且其过点．（1）请通过计算说明小明能否喷到小亮；（2）如果是抛物线的顶点，请通过计算说明小亮能否喷到小明．【答案】（1）小明能喷到小亮，理由见解析；（2）小亮能喷到小明，理由见解析．【解析】【分析】（）根据抛物线过点，代入求出，得出抛物线解析式，将代入解析式求出即可判断；（）根据抛物线的顶点坐标为，设抛物线为，再根据抛物线过点，即可求出抛物线解析式，再算出时，的值，即可判断；本题考查了二次函数的实际应用，熟悉掌握二次函数图象上点的坐标特征及性质是解题的关键．【小问1】∵抛物线过点，∴，解得：，∴抛物线，∵当时，，∵且小于，∴小明能喷到小亮；【小问2】∵抛物线的顶点坐标为，∴设抛物线∵抛物线过点，∴，解得：，∴抛物线为，又∵当时，，∵且小于，∴小亮能喷到小明．24.某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究．【问题发现】如图1，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边、连接．则的长为________；【问题提出】如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．试说明与相等；【问题解决】如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接，若正方形的边长为6，，求正方形的边长．【答案】问题发现：；问题提出：见解析；问题解决：【解析】【分析】问题发现：证明，即可得到结