2023-2024学年度湖北省武汉市部分重点中学下学期高二期末联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年度湖北省武汉市部分重点中学下学期高二期末联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.从含有3件正品，2件次品的产品中随机抽取2件产品，则抽取出的2件产品中恰有1件次品的概率为(

)A.35 B.310 C.152.已知随机变量X服从正态分布N(0,σ2)，P(X≥3)=0.1，则P(−3≤X≤3)=A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.83.若函数f(x)=x3+12(a+3)x2A.(3,+∞) B.(−∞,3)

C.(−∞,−3)∪(3,+∞) D.[0,3]4.函数f(x)=(x−1x)lnA.

B.

C.

D.5.若函数f(x)=−x−1x,x<01+lnxxA.(1,+∞) B.(0,2)∪{−2} C.(2,3) D.[2,3)6.设某人在n次射击中击中目标的次数为X,且X~B(n,0.7),记Pk=P(X=k),k=0,1,2,⋯,n,若P7是唯一的最大值,则E(X)的值为()A.7 B.7.7 C.8.4 D.9.17.已知a=e2，b=e32lnA.a>c>b B.a>b>c C.b>c>a D.c>a>b8.设函数f(x)=x(ex+1)，g(x)=(x+1)lnx，若存在实数x1，x2，使得A.e B.2 C.1 D.1二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中，正确的命题是(

)A.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1

B.E(2X+3)=2E(X)+3，D(2X+3)=2D(X)

C.用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好

D.随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=0.3，设Y=2X−1，则P(Y=−1)=0.710.甲乙两人参加三局两胜制比赛(谁先赢满两局则获得最终胜利且比赛结束).已知在每局比赛中，甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4，且每局比赛的输赢相互独立.若用M表示事件“甲最终获胜”，N表示事件“有人获得了最终胜利时比赛共进行了两局”，Q表示事件“甲赢下第三局”.则下列说法正确的是(

)A.P(M|N)=913 B.P(N|Q)=1 C.N与Q互斥 D.11.若直线y=ax与曲线f(x)=ex相交于不同两点A(x1,y1)，B(x2,yA.a>e B.x1+x2−x0=1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知离散型随机变量ξ的分布列为ξ0123Pm42n若E(ξ)=1，则D(ξ)=

．13.已知函数f(x)=ax+b−lnx，若f(x)≥0恒成立，则a2+2b的最小值为14.从1，2，3，⋯，10这10个数中随机抽一个数记为X，再从1，2，⋯，X中随机抽一个数记为Y，则E(Y)=

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知命题p:∀x∈R，不等式2x2+4x+7−m>0恒成立;命题q:∃x∈R(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围;(2)若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围．16.(本小题12分)随着社会经济的发展，越来越多的人在抵达目的地后选择租车游玩，拉动了许多租车公司的业务，某租车公司为继续开拓市场，提升服务质量，迎接暑假旅游旺季的到来，对近5年的暑假的租车业务量y(单位：十万元)进行了汇总研究，情况如下：年份2019年2020年2021年2022年2023年业务量2024364352经过数据分析，已知年份与业务量具有线性相关关系．(1)假设2019年为第1年，求第x年的业务量y关于x的经验回归方程，并预测2024年暑假的业务量;(2)该公司从2023年暑假租车的客户中随机抽取了100名客户进行调研，现将100名客户的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将2×2列联表补充完整并根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析青年群体和中老年群体对租车服务的评价是否有差异．好评差评合计青年20中老年15合计45100附：经验回归直线方程y=bx+a独立性检验中的χ2=n(ad−bc临界值表：P(0.0500.0100.001x3.8416.63510.82817.(本小题12分)在数列{an}中，(1)求{an(2)令bn=(−1)n⋅an，求数列18.(本小题12分)已知函数f(x)=(1)求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程;(2)若不等式a≤f(x)≤b对任意x∈[0,π2]恒成立，求实数(3)证明：f(x)>4−exsinx−19.(本小题12分)

Catalan数列(卡特兰数列)最早由我国清代数学家明安图(1692−1765)在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圜密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰(Catalan,1814−1894)的名字来命名，该数列的通项被称为第n个Catalan数，其通项公式为Cn=1n+1⋅(2n)!n!(2n−n)!=1n+1C2nn.在组合数学中，有如下结论：由n个+1和n个−1构成的所有数列a1，a2，a3，⋯，a2n(1)设粒子第3秒末所处的位置为随机变量X(若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为−1;若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为1)，求X的分布列和数学期望E(X);(2)记第n秒末粒子回到原点的概率为pn(ⅰ)求p4及(ⅱ)设粒子在第n秒末第一次回到原点的概率为Qn，求Q2n．参考答案1.A

2.D

3.C

4.D

5.C

6.A

7.A

8.C

9.ACD

10.ABC

11.ABD

12.2313.−1

14.13415.解：(1)若命题p为真命题，则Δ1=16−8(7−m)=8m−40<0，∴m∈(−∞,5)．

(2)当q为真命题时：

Δ2=4m2−4(m+2)=4m2−4m−8>0，∴m∈(−∞,−1)∪(2,+∞).

当命题p，q中恰有一个为真命题时，

1∘p为真命题，q为假命题，即m<516.解：(1)x=3，y=35，

b=i=15xiyi−5x yi=15xi2−5x2好评差评合计青年203050中老年351550合计5545100

∴χ2=100×(20×15−30×35)255×45×50×5017.解：(1)因为an+1=2an−1，所以an+1−1=2(an−1)，

又a1−1=4，所以an+1−1an−1=2，

所以{an−1}是以4为首项，2为公比的等比数列．

故an−1=4×2n−1，即an=2n+1+1．

(2)由18.解：(1)函数f(x)=ex−exsinx，x∈[0,π2]，f(0)=e0−e0sin0=1，

则f′(x)=ex−ex(sinx+cosx)，f′(0)=e0−e0(sin0+cos0)=0，

所以曲线y=f(x)在x=0处的切点坐标为(0,1)，切线斜率为0，

切线方程为y=1；

(2)f′(x)=ex(1−sinx−cosx)=ex[1−2sin(x+π4)]=−2ex[sin(x+π4)−22]，

因为x∈[0,π2]，所以x+π4∈[π4,3π4]，

则sin(x+π4)≥22，所以f′(x)≤0，

所以函数f(x)在[0,π19.解：(1)P(X=−3)=(12)3=18，

P(X=−1)=C31X−3−113P1331

∴E(X)=(−3)×18+(−1)×38+1×38+3×18=0．

(2)(i)p4=C4224=38，p2n=C2nn22n．

(ii)设事件A:粒子在第2n秒末第一次回到原点，

事件B:粒子第1秒末向右移动一个单位．

∴Q2n=P(A)=P(AB)+P(A