第20讲 椭圆的简单几何性质10种常见考法归类原卷版-新高二数学暑假自学课讲义

第20讲椭圆的简单几何性质10种常见考法归类1.掌握椭圆的简单几何性质．2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想.知识点1椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0),_B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a),B1(－b,0)，B2(b,0)轴长长轴长＝eq\a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq\a\vs4\al(2b)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)（注：e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(\f(1,1＋\f(b2,c2))).）注：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.(4)椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置．(5)已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点．(6)椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．拓展：用离心率e＝eq\f(c,a)来刻画椭圆的扁平程度．如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝eq\f(c,a)，记e＝eq\f(c,a)，则0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越接近于圆．(7)常用椭圆方程的设法①与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：②有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）知识点2点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.知识点3直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．知识点4直线与椭圆相交的弦长公式1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．2．求弦长的方法(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．(2)根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).注：（1）已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为，运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上，两式相减得：，即，故（2）弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：1、用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式；(2)确定焦点位置；(3)求出a，b，c；(4)写出椭圆的几何性质．注：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．2、利用椭圆的几何性质求标准方程的思路利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：(1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq\f(c,a)等．3、求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．4、判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．5、解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，②))由①－②，得eq\f(1,a2)(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋eq\f(1,b2)(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，变形得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)，即kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).6、求与椭圆有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．7、解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．(3)用解得的结果说明原来的实际问题．考点一：由标准方程研究几何性质例1．（2023秋·高二课时练习）椭圆的焦点坐标为（

）A． B．C． D．变式1．（2023秋·高二课时练习）椭圆与椭圆的关系为（

）A．有相同的长轴长与短轴长 B．有相同的焦距C．有相同的焦点 D．有相同的离心率变式2．（2023秋·四川内江·高三期末）椭圆的焦点为、，点在椭圆上且轴，则到直线的距离为（

）A． B．3 C． D．变式3．（2023秋·高二课时练习）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，如果是直角三角形，求点的坐标．考点二：利用几何性质求标准方程例2．（2023秋·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；(2)经过两点和；(3)经过两点.(4)过点且与椭圆有相同焦点.变式1．（2023·高二课时练习）求与椭圆的焦点相同，且经过点的椭圆的标准方程.变式2．（2023·高二课时练习）与椭圆有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（

）A． B． C． D．变式3．（2023秋·高二课时练习）中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（

）A． B．C． D．变式4．（2023·全国·高二专题练习）若椭圆的中心在原点，对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（

）A． B．或C． D．考点三：点与椭圆的位置关系（一）点和椭圆位置关系的判断例3．（2023·全国·高二假期作业）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（

）A． B．C． D．变式1．（2023秋·高二课时练习）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（

）A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系变式2．（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定（二）根据点和椭圆位置关系求参数例4．（2023秋·高二课时练习）已知点(m,n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是________．变式1．（2023·高二课时练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．变式2．（2023秋·高二课时练习）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是______．（三）点和椭圆位置关系的应用例5．（2023秋·广东惠州·高二惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为___________.变式1．（2023·全国·高二专题练习）如果直线l：与椭圆C：（）总有公共点，求实数a的取值范围.变式2．（2023秋·湖南郴州·高二校考期中）已知点和焦点在轴上的椭圆：，且过作椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距的取值范围是（）A． B． C． D．变式3．【多选】（2023春·重庆渝中·高二重庆复旦中学校考开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（

）A． B． C． D．考点四：椭圆的离心率问题求椭圆的离心率例6．（2023秋·高二单元测试）设，是椭圆的两个焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为_______.变式1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．变式2．（2023春·河北·高二校联考期末）如图所示，斜率为的直线交椭圆于M、N两点，交轴、轴分别于Q、P两点，且，则椭圆的离心率为______．

变式3．（2023春·广东深圳·高二统考期末）已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．变式4．（2023春·上海虹口·高二统考期末）已知是等边三角形，、分别是边和的中点.若椭圆以、为焦点，且经过、，则椭圆的离心率等于________.变式5．（2023春·湖北武汉·高二校联考期末）已知椭圆的左､在顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（

）A． B． C． D．变式6．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上的动点．若，且点到直线的最小距离为，则的离心率为______．变式7．（2023·高二课时练习）已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．求椭圆的离心率的取值范围例7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆关于轴､轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是（

）A． B．C． D．变式3．（2023·全国·高二期末）已知点是椭圆的左右焦点，椭圆上存在不同两点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．变式4．（2023春·上海青浦·高二统考期末）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．变式5．（2023春·湖南益阳·高二统考期末）若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．由椭圆的离心率求参数（范围）例8．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）已知椭圆的离心率，则的值可能是（

）A．3 B．7 C．3或 D．7或变式1．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆的离心率为，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式2．（2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为___________.变式3．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，则长轴与短轴的比值为______.变式4．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．考点五：直线与椭圆的位置关系例9．（2023春·江西吉安·高二校考期中）直线与椭圆的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定变式1．（2023秋·黑龙江绥化·高二海伦市第一中学校考期中）直线：与椭圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交变式2．（2023春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）直线与曲线的公共点的个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4变式3．（2023秋·内蒙古赤峰·高二校考期末）若直线与：没有交点，则过点、两点的直线与椭圆的交点个数是（

）A．至多为 B． C． D．变式4．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）直线与椭圆(m>0)有且仅有一个公共点P，则m＝_______，点P的坐标是________.变式5．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆，离心率为，过的直线分别与相切于，两点，则直线方程为（

）A．或 B．C． D．或考点六：弦长及中点弦问题（一）弦长问题例10．（2023秋·高二课时练习）过椭圆的左焦点F引斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，则等于________．变式1．（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为_________．变式2．（2023秋·福建莆田·高二校联考期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于M，N两点.求弦MN的长.变式3．（2024秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）斜率为的直线l与椭圆C：交于A，B两点，且在直线l的左上方.若，则的周长是______.变式4．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知椭圆C的两个焦点分别是，，并且经过点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程．变式5．（2023春·河南开封·高二统考期末）已知点在圆上运动，过点作轴的垂线段为垂足，为线段的中点（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）．(1)求点的轨迹方程；(2)经过点作直线，与圆相交于两点，与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程．变式6．（2023春·广东广州·高二统考期末）已知椭圆的焦点坐标为、，点为椭圆上一点.(1)求椭圆的标准方程；(2)经过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，求的面积.变式7．（2023春·广东江门·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，且与双曲线有相同的焦距．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线交椭圆于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围．变式8．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知分别为椭圆的左､右焦点，直线过点与椭圆交于两点，且的周长为.(1)求椭圆的离心率；(2)直线过点，且与垂直，交椭圆于两点，若，求四边形面积的范围.（二）中点弦问题例11．（2023秋·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考阶段练习）已知椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程为______.变式1．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知过点的直线，与椭圆相交于A，B两点，且线段AB以点M为中点，则直线AB的方程是___________________.变式2．（2023·全国·高三对口高考）直线截椭圆所得弦的中点M与椭圆中心连线的斜率为_________．变式3．（2023秋·高二课时练习）椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则等于（）A． B． C． D．变式4．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为_________．变式5．（2023春·广西·高二校联考阶段练习）在直角坐标系xOy中已知，P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为．记点P的运动轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为，求．考点七：求椭圆的参数或范围问题例12．（2023秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知点A，B是椭圆上不关于长轴对称的两点，且A，B两点到点的距离相等，求实数m的取值范围．变式1．（2023秋·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）已知椭圆，若椭圆上存在两点、关于直线对称，则的取值范围是（

）A．B． C． D．变式2．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C：（）的右焦点，点是椭圆C上的一个动点．求证：．变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的焦点为，，椭圆上的动点坐标在第一象限，且为锐角，的取值范围为__________．变式4．（2023·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点为，，为椭圆上任意一点，求使的x的取值范围．变式5．（2023·全国·高三专题练习）若经过点的直线l与椭圆有A，B两个交点（其中点A在x轴上方），求的取值范围．考点八：求椭圆的最值问题例13．（2023秋·高二课时练习）已知点是椭圆上一点，求点P到点的距离的取值范围．变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的右顶点为，为上一点，则的最大值为______.变式2．（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（

）A． B． C． D．变式3．（2023·全国·高二专题练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________.变式4．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）若，且在上，在圆上，则的最小值为______.变式5．（2023秋·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）已知点是曲线上的动点则的取值范围是_________.考点九：椭圆的定点、定值问题例14．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知椭圆离心率为，焦距为.(1)求的方程；(2)过点分别作斜率和为的两条直线与，设交于、两点，交于、两点，、的中点分别为、.求证：直线过定点.变式1．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，点P、Q为椭圆上异于A、B的两点，面积的最大值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线AP、BQ的斜率分别为、，且.求证：直线PQ经过定点.变式2．（福建省泉州市部分中学2022-2023学年高二下期末联考数学试题）已知为坐标原点，点到点的距离与它到直线的距离之比等于，记的轨迹为．点在上，三点共线，为线段的中点．(1)证明：直线与直线的斜率之积为定值；(2)直线与相交于点，试问以为直径的圆是否过定点，说明理由．变式3．（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知椭圆的离心率是，其左、右焦点分别为、，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于.(1)设，求的值；(2)求证：；(3)设，过椭圆Γ右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于、两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.例15．（2023春·河南平顶山·高二统考期末）已知椭圆经过点，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.变式1．（2023秋·江苏扬州·高二校考期中）已知分别为椭圆W：的左、右焦点，M为椭圆W上的一点．（1）若点M的坐标为（），求的面积；（2）若点M的坐标为(x0，y0)，且是钝角，求横坐标x0的范围；（3）若点M的坐标为，且直线（）与椭圆W交于两不同点，求证：为定值，并求出该定值；变式2．（2023·高二课时练习）已知点M为椭圆上的任一点，它与此椭圆的短轴两端点、的连线分别交x轴于点P、Q．求证：为定值．（O为坐标原点）变式3．（2023春·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知点在椭圆上，点为椭圆上异于顶点的任意一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为．记直线的斜率分别为．(1)求证：为定值；(2)若，求证：为定值．考点十：椭圆的实际应用问题例16．（2023春·河北邯郸·高二统考期末）开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（

）A．39 B．52 C．86 D．97变式1．（2023秋·北京西城·高二统考期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（

）A． B． C． D．变式2．（2023·广东韶关·统考模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．变式3．（2023秋·河南郑州·高二郑州四中校考期末）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（

）A． B． C． D．变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：上、下顶点分别为，且短轴长为，T为椭圆上（除外）任意一点，直线的斜率之积为，，分别为左、右焦点．(1)求椭圆C的方程．(2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收到百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆C为代表，证明：由焦点发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光线必经过另一焦点．（提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线）1．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（

）．A． B． C． D．3．（2023·天津·统考高考真题）设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．4．（2023·北京·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．(1)求的方程；(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．5．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．一、单选题1．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（

）A． B． C． D．2．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，点是椭圆上关于轴对称的两点.若直线的斜率之积为，则的离心率为（

）A． B． C． D．3．（2023秋·高二课时练习）若某卫星运行的轨道是以地心为一个焦点的椭圆，该卫星近地点离地面的距离为km，远地点离地面的距离为km，地球的半径为km，则通信卫星运行轨道的短轴长等于（）A． B．C． D．4．（2023春·广东揭阳·高二统考期末）已知椭圆：，若矩形的四个顶点都在上，则称为矩形的外接椭圆，已知边长为4的正方形的外接椭圆的短轴长为，则的方程为（

）A． B．C． D．5．（2023春·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率（

）

A． B． C． D．6．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交于点，若为等腰三角形，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．7．（2023春·陕西汉中·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过作垂直于轴的直线，在第二象限分别交及圆于点，若为的中点，为的上顶点，则（

）A． B． C． D．8．（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，点到两个定点，的距离的积等于，记点的轨迹为曲线，则下列说法不正确的是（

）A．曲线关于坐标轴对称 B．周长的最小值为C．面积的最大值为 D．点到原点距离的最小值为9．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习）已知分别为曲线与圆上的动点，若存在，使得三角形是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的取值范围是（

）A．B．C． D．10．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知圆与圆交点的轨迹为，过平面内的点作轨迹的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．二、多选题11．（2023春·福建厦门·高二厦门双十中学校考阶段练习）已知椭圆的两个焦点为是椭圆上的动点，且的面积最大值是，则下列结论中正确的是（

）A．椭圆的离心率是B．若是左，右端点，则的最大值为C．若点坐标是，则过的的切线方程是D．若过原点的直线交于两点，则12．（2023·广东·校联考模拟预测）已知椭圆的焦点在轴上，且分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，则下列结论正确的是（

）A．B．的离心率为C．存在，使得D．面积的最大值为13．（2023春·河南许昌·高二统考期末）椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以下说法正确的是（

）A．椭圆的离心率为B．过点的直线与椭圆交于、两点，则的周长为C．椭圆上存在点，使得的面积为D．为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为14．（2023春·湖北·高二统考期末）“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，是中国探月工程的收官之战，实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示，月球探测器飞到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则以下说法正确的是（

）

A．椭圆轨道Ⅱ的焦距为B．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为C．若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大D．若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大15．（2023秋·