第16讲 圆的方程7种常见考法归类解析版-新高二数学暑假自学课讲义

第16讲圆的方程7种常见考法归类回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.知识点1圆的标准方程1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示．3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．注：（1）圆的方程的推导：设圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，得eq\r(x－a2＋y－b2)＝r，化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆．(3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．(4)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上．知识点2点与圆的位置关系(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内．(2)根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断：(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外；(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内．知识点3圆的一般方程1．圆的一般方程的概念当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))2＝eq\f(D2＋E2－4F,4)，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).2．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径长为eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：(1)x2，y2项的系数均为1；(2)没有xy项；(3)D2＋E2－4F＞0.3．常见圆的方程的设法标准方程的设法一般方程的设法圆心在原点x2＋y2＝r2x2＋y2－r2＝0过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2x2＋y2＋Dx＋Ey＝0圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2x2＋y2＋Dx＋F＝0圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＋Ey＋F＝0与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)D2＝0与y轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)E2＝04.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))5.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.知识点4圆的轨迹问题轨迹和轨迹方程区别：轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等．轨迹方程是点的坐标满足的关系式．1、求圆的标准方程的方法确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．2、判断点与圆的位置关系的方法(1)确定圆的方程：化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)将点的坐标代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，比较代数式的值与r2的大小关系．(3)下结论：若(x－a)2＋(y－b)2＝r2，表示点在圆上；若(x－a)2＋(y－b)2＞r2，表示点在圆外；若(x－a)2＋(y－b)2＜r2，表示点在圆内．此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．3、圆的一般方程辨析判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．4、方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形条件图形D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))D2＋E2－4F>0表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，以eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆5、利用待定系数法求圆的方程的解题策略(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.6、求与圆有关的轨迹问题的方程(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．7、用代入法求轨迹方程的一般方法8、圆上的点到定点的最大、最小距离设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;①若点在外，则;②若点在上，则;③若点在内，则;9、与圆有关的最值问题常见的几种类型(1)形如u＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(l,b)截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．考点一：求圆的标准方程（一）由圆的标准方程求圆心、半径例1．（2023秋·高二课时练习）已知圆的标准方程为，则此圆的圆心及半径长分别为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据圆的标准方程直接求解即可.【详解】由标准方程可得：圆的圆心为，半径为，故选：B.变式1．（2023秋·高二单元测试）圆的圆心和半径分别是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据圆的标准方程的定义即可得圆心坐标和半径.【详解】由圆的标准方程可得，圆心坐标为,半径.故选：B变式2．（2023·江苏·高二假期作业）已知圆C的标准方程为，则圆心C的坐标为________，圆的面积为________．【答案】【分析】由圆的标准方程直接得出圆心和半径，进而得圆的面积.【详解】圆C的标准方程为,则圆心，半径，故圆的面积．故答案为：，．求圆的标准方程例2．（2023春·河北邯郸·高二统考期末）已知圆的圆心为点，且经过原点，则圆的标准方程为__________.【答案】【分析】先求出圆的半径，再写出圆的标准方程.【详解】由已知得圆的半径，所以圆的标准方程为.故答案为：.变式1．（广东省广州市培正中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题）求圆心在y轴上，半径为1，且过点的圆的标准方程.【答案】【分析】设圆的方程为，将点代入圆的方程，求得的值，即可求解.【详解】由题意，可设圆的方程为，因为点在圆上，可得，解得，所以所求圆的方程为.变式2．（福建省泉州外国语中学2022-2023学年高二上学期期中质量监测数学试题）与x轴相切，且圆心坐标为的圆的标准方程为_______________【答案】【分析】根据圆的圆心坐标结合与y轴相切可得到该圆的半径可得答案.【详解】∵圆心坐标为，又与y轴相切，∴圆的半径为2，∴圆的标准方程为.故答案为：.变式3．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出圆的标准方程.【详解】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点，圆的半径为，因此，圆的标准方程为.故选：A.变式4．（2023·江苏·高二假期作业）求经过点和坐标原点，并且圆心在直线上的圆的方程．【答案】【分析】利用待定系数法或几何法求解.【详解】法一（待定系数法）：设圆的标准方程为，则有，解得，∴圆的标准方程是．法二（几何法）：由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为．∵弦的垂直平分线过圆心，∴由，得，即圆心坐标为，半径r＝＝5．∴圆的标准方程是．变式5．（广东省肇庆市百花中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题）直线与直线相交于点，直线过点且与直线平行.(1)求直线的方程；(2)求圆心在直线上且过点的圆的方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题可得，然后根据直线的位置关系可设，进而即得；（2）根据圆的几何性质可得圆心和半径，即得.【详解】（1）由，可得，即，由题可设直线，又直线过点，所以，所以直线的方程为；（2）因为圆心在直线上且过点，由，可得线段的中垂线方程为，由，可得，所以圆心坐标为，半径为，所以圆心在直线上且过点的圆的方程为.考点二：圆的一般方程（一）圆的一般方程辨析例3．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）方程表示一个圆，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可.【详解】由，得，解得.故选：B变式1．（2023秋·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）方程表示圆，则实数a的可能取值为（

）A． B．2 C．0 D．【答案】D【分析】先把整理成圆的标准形式，满足右边关于的表达式大于零.【详解】由，可得，所以，解得或，选项中只有符合题意.故选：D.（二）由圆的一般方程求圆心、半径例4．（上海市第三女子中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）圆的圆心坐标是________.【答案】【分析】化圆的一般方程为标准方程，即可求得圆心坐标．【详解】由，得，可得圆心坐标为．故答案为：．变式1．（2023春·湖北武汉·高二武汉市新洲区第一中学校考开学考试）已知圆C：，则圆C的圆心和半径为（

）A．圆心，半径 B．圆心，半径C．圆心，半径 D．圆心，半径【答案】A【分析】将圆的方程化为标准方程，从而可得圆心与半径.【详解】由化为标准方程可得，故圆心，半径.故选:A.变式2．（2023秋·高二课时练习）圆C：的圆心是_____，半径是_____．【答案】【分析】将圆的方程化为标准方程，即可得出答案.【详解】将圆方程化为标准方程可得，.所以，圆心，半径.故答案为：；.（三）求圆的一般方程例5．（2023秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线上，且过点的圆；(2)过三点的圆.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先设圆的标准方程为，根据题意得到，再解方程组即可.（2）首先设圆的一般方程为：，，根据题意得到，再解方程组即可.【详解】（1）设圆的标准方程为，由题知：，解得.所以圆的标准方程为：.（2）设圆的一般方程为：，，由题知：，所以圆的方程为：.变式1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆经过抛物线与轴的交点，且过点，则圆的方程为______.【答案】【分析】首先设圆的一般方程，结合条件，利用待定系数法，即可求解.【详解】设圆的方程为，令，，则由圆经过抛物线与轴的交点可知方程与同解，所以，，所以圆的方程为，又因为圆过点，所以，所以，所以圆的方程为.故答案为：变式2．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为______．【答案】3【分析】待定系数法求得过的圆的方程为，从而可得，解得，再根据两点距离公式即可求解.【详解】设过的圆的方程为：，，则，解得，所以过的圆的方程为：.又因为点在此圆上，所以，解得，所以点D到坐标原点O的距离为.故答案为：变式3．（2023·江苏·高二假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程.【详解】设圆的方程为，由题意知,圆过点，和，所以，解得，所以所求圆的方程为.故选：A变式4．（2023秋·高二校考课时练习）已知圆经过点和，该圆与两坐标轴的四个截距之和为，求圆的方程.【答案】.【分析】利用待定系数法设出圆的方程，然后利用圆与两坐标轴的四个截距之和为，即可求解.【详解】设圆的一般方程为，由圆经过点和，代入圆的一般方程，得(*)设圆在轴上的截距为、，则它们是方程的两个根，得.设圆在轴上的截距为、，则它们是方程的两个根，得.由已知，得，即.③由(*)③联立解得.故所求圆的方程为.考点三：根据对称性求圆的方程例6．（2023秋·重庆荣昌·高二重庆市荣昌永荣中学校校考期中）圆关于直线对称的圆的标准方程为______.【答案】【分析】两圆关于直线对称等价于圆心关于直线对称，半径不变，根据题意运算求解.【详解】∵圆的圆心，半径为，则关于直线对称的点为，∴对称圆的圆心为，半径为，故对称圆的方程为：.故答案为：.变式1．（2023秋·高二单元测试）圆关于直线对称的圆是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出圆心关于直线对称的点的坐标，即可得到对称圆的方程.【详解】圆圆心为，半径为，设点关于直线对称的点为，则，解得，所以点关于直线对称的点为，所以圆关于直线对称的圆是.故选：D.变式2．（2023·全国·高三专题练习）与圆关于直线对称的圆的标准方程是______.【答案】【分析】先求得所求圆的圆心坐标，进而得到该圆的标准方程.【详解】圆的圆心，半径，点关于直线对称的点坐标为则所求圆的标准方程为故答案为：变式3．（2023秋·高二课时练习）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得圆的圆心坐标和半径，再求得关于的对称点，得到圆的圆心坐标，进而求得圆的方程.【详解】由题意知,圆的圆心与关于直线对称，且两圆半径相等，因为圆，即，所以圆心，半径为，设圆关于直线对称点为，则，解得，即，所以圆的方程为，即.故选：A.变式4．（2023春·河南开封·高二统考期末）已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，求得圆心关于直线的对称点，即可得到结果.【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以圆的标准方程为.故选：A变式5．（2023秋·高二课时练习）求圆关于直线的对称圆方程.【答案】【分析】求出已知圆的半径和圆心坐标，再求出其圆心关于直线对称的点的坐标，则可求对称圆的方程.【详解】由可得，故圆心坐标为，半径为1，设点P关于直线的对称点为，则有，解得，故，所以圆关于直线的对称圆的方程为：.考点四：点与圆的位置关系例7．【多选】（2023秋·高二课时练习）(多选)下列各点中，不在圆的外部的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用给定的圆方程，把各选项中的点的坐标代入判断作答.【详解】对于A，，点在圆内；对于B，，点在圆外；对于C，，在圆上；对于D，，在圆内.故选：ACD变式1．（2023·江苏·高二假期作业）写出圆心为,半径为5的圆的标准方程,并判断点是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？【答案】答案见解析【分析】将点的坐标代入圆的方程，验证是否在这个圆上．根据点到圆心的距离判断该点在圆外还是在圆内.【详解】圆心为,半径为5的圆的标准方程是．把点的坐标代入方程的左边,得,左右两边相等,点的坐标满足圆的方程,所以点在这个圆上．把点的坐标代入方程的左边,得,左右两边不相等,点的坐标不满足圆的方程,所以点不在这个圆上．又因为点到圆心A的距离．故点在圆内．变式2．（2023秋·高二校考课时练习）若点在圆的内部，则a的取值范围是（）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果.【详解】由题可知，半径，所以，把点代入方程，则，解得，所以故a的取值范围是.故选：D变式3．（2023秋·高二课时练习）点与圆的位置关系是（

）A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定【答案】C【分析】点到圆心的距离大于半径，点在圆外.【详解】因为，所以点在圆外，故选：C考点五：圆过定点问题例8．（2023秋·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期中）若圆过坐标原点，则实数m的值为（

）A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1【答案】A【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．【详解】将代入圆方程，得，解得或0，当时，，满足题意；当时，，不满足题意.故选：C．变式1．（2023·高二课时练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】D【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.【详解】设点，则线段的中点为，圆的半径为，所以，以为直径为圆的方程为，即，即，由，解得或，因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.故选：D.变式2．（2023·全国·高三专题练习）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______【答案】【分析】设抛物线交轴于点，交轴于点、，根据题意设圆心为，求出，写出圆的方程，可得出关于、的方程组，即可得出圆所过定点的坐标.【详解】设抛物线交轴于点，交轴于点、，由题意可知，由韦达定理可得，，所以，线段的中点为，设圆心为，由可得，解得，，则，则，所以，圆的方程为，整理可得，方程组的解为.因此，的外接圆恒过的定点坐标为.故答案为：.变式3．（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__．【答案】或【分析】由已知得，从而，由此能求出定点的坐标．【详解】解：，即，令，解得，，或，，所以定点的坐标是或．故答案为：或.变式4．（2023秋·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知曲线：．（1）当取何值时，方程表示圆？（2）求证：不论为何值，曲线必过两定点．（3）当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）当时，可知方程表示直线；当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程；（2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得；（3）根据（2）的结论，可知以为直径的圆面积最小，从而得到圆的方程，与已知方程对应相等可构造方程组，解方程组求得结果．【详解】解：（1）当时，方程为表示一条直线．当时，，整理得，由于，所以时方程表示圆．（2）证明：方程变形为．由于取任何值，上式都成立，则有．解得或所以曲线必过定点，，即无论为何值，曲线必过两定点.（3）由（2）知曲线过定点A，，在这些圆中，以为直径的圆的面积最小（其余不以为直径的圆的直径大于的长，圆的面积也大），从而以为直径的圆的方程为，所以，解得．考点六：与圆有关的轨迹问题例9．（上海市上海中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）点与两个定点，的距离的比为，则点的轨迹方程为______．【答案】【分析】设出动点，利用条件得到，再化简即可得到结果.【详解】设点，由题知，两边平方化简得，即，所以点的轨迹方程为.故答案为：.变式1．（2023秋·高二课时练习）已知圆：，过点的直线与圆交于点，，线段的中点为，则点的轨迹方程为___________.【答案】【分析】先判断点在圆内，连接，设出点的坐标，在利用垂径定理得到，写出和坐标，利用，得到，的关系，即可得出结果.【详解】由圆：方程变形为标准式，进而得出，所以点在圆内部，又因为为线段的中点，连接，由垂径定理得，设点的坐标，得，，所以，得，整理得，所以点的轨迹方程为，故答案为：

变式2．（2023秋·安徽阜阳·高二校联考阶段练习）已知圆经过点，且被直线平分.(1)求圆的一般方程；(2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据直线方程求定点，结合圆的性质，可得圆心，利用两点之间距离公式，可得答案；（2）设动点坐标，根据题意，建立等量关系，代入圆的方程，可得答案.【详解】（1）直线恒过点.因为圆恒被直线平分，所以恒过圆心，所以圆心坐标为，又圆经过点，所以圆的半径，所以圆的方程为，即.（2）设.因为为线段的中点，所以，因为点是圆上的动点，所以，即，所以的轨迹方程为.变式3．（2023秋·山东日照·高二校考阶段练习）已知圆C经过点且圆心C在直线上.(1)求圆C方程；(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用待定系数法即得；（2）根据相关点法，设出点M的坐标，利用中点公式结合圆的方程即得.【详解】（1）由题可设圆C的标准方程为，则，解之得，所以圆C的标准方程为；（2）设M（x，y），，由及M为线段EF的中点得，解得,又点E在圆C：上，所以有，化简得：,故所求的轨迹方程为．变式4．（2023秋·高二课时练习）正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的取值范围为___________.【答案】【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出点的轨迹方程为圆，再求出的取值范围即可.【详解】如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，设点，则由，得，整理得，即点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，圆心M到点D的距离为，所以，所以的取值范围是.故答案为：.

变式5．【多选】（2023秋·高一单元测试）已知点，动点满足，则下面结论正确的为（

）A．点的轨迹方程为 B．点到原点的距离的最大值为5C．面积的最大值为4 D．的最大值为18【答案】ABD【分析】设动点，根据两点之间的距离公式结合条件化简即可判断A选项，再由圆外一点到圆上一点的距离范围判断B和C选项，利用向量的数量积公式和代入消元法即可判断D选项.【详解】设动点，则由得：，即，化简得：，即，所以A选项正确；所以点轨迹是圆心为，半径为的圆，则点到原点的距离最大值为，所以B选项正确；又，和点轨迹的圆心都在轴上，且，所以当圆的半径垂直于轴时，面积取得最大值，所以C选项错误；又，因为（），所以（），则，所以D选项正确；故选：ABD.考点七：与圆有关的最值问题例10．（2023秋·四川巴中·高二统考期末）已知圆C过点，当圆C到原点O的距离最小时，圆C的标准方程为______．【答案】【分析】根据圆的几何性质可知圆C到原点O的距离最小时，则，进而联立直线方程可得圆心坐标，即可求解.【详解】由可得线段中点坐标为，又，所以垂直平分线的方程为，所以圆心C在线段垂直平分线上，当圆C到原点O的距离最小时，则,所以直线方程为，联立，所以圆心,又半径,故圆的方程为：故答案为：变式1．（2023秋·高二课时练习）已知圆经过点，且圆心在直线上运动，求当半径最小时的圆的标准方程为_______________【答案】【分析】设出圆心，表达出半径，配方求出最小值，从而得到圆心和圆的标准方程.【详解】设圆心，则半径为，故当时，取得最小值为，此时圆心为，故当半径最小时的圆的方程为.故答案为：变式2．（2023秋·高二课时练习）圆过点，求面积最小的圆的方程为_________【答案】【分析】根据题意知所求圆为以为直径的圆，再利用条件即可求出结果.【详解】当为直径时，过的圆的半径最小，从而面积最小，又，所以，所求圆的圆心为中点，半径为，则所求圆的方程为：.故答案为：.变式3．（2023秋·高二课时练习）如果圆的方程为，那么当圆面积最大时，该圆的方程为________，最大面积为________．【答案】【分析】设圆的半径为，将圆的方程化为标准方程，可得.即可得出半径的最大值，以及的取值，代入圆的方程以及根据圆的面积公式，即可得出答案.【详解】设圆的半径为，将圆的方程化为标准方程可得，.因为，当最大时，圆的面积最大.所以，当时，半径最大为1，此时圆的方程为，面积为.故答案为：；.变式4．（2023春·山东青岛·高二校联考期中）圆上的点到直线的最大距离是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将圆的一般方程化为标准方程得圆心及半径，圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径.【详解】圆化为标准方程得，圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为所以圆上的点到直线的最大距离为.故选:C.1．（2020·山东·统考高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】圆的圆心为，半径为，得到圆方程.【详解】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：.故选：B.2．（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．【答案】【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】[方法一]：三点共圆∵点M在直线上，∴设点M为，又因为点和均在上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴，，解得，∴，，的方程为.故答案为：[方法二]：圆的几何性质由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线的交点(1,-1).,的方程为.故答案为：3．（2022·全国·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】或或或．【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为，（1）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（2）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（3）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；故答案为：或或或．[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）设（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；（2）若圆过三点，设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；（3）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段的中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为；（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为，线段中垂线方程为，联立得，所以圆的方程为．故答案为：或或或．【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．4．（2022·北京·统考高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．故选：A．一、单选题1．（2023·江苏·高二假期作业）将圆平分的直线是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意可知所求的直线过圆心，所以先求出圆的圆心，然后将圆心坐标代入各直线方程验证即可.【详解】要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，由，得，所以圆心坐标为，对于A，因为，所以直线不过圆心，所以A错误，对于B，因为，所以直线不过圆心，所以B错误，对于C，因为，所以直线过圆心，所以C正确，对于D，因为，所以直线不过圆心，所以D错误，故选：C2．（2022秋·高二课时练习）若点是圆的弦的中点，则弦所在的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出圆心坐标，由题意可得，从而可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程.【详解】因为圆心，，所以圆心，因为是圆的弦的中点，所以，所以，则直线的方程为，即，故选：C.3．（2022秋·高二课时练习）过三点的圆的一般方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设出圆的一般方程，代入点坐标，计算得到答案.【详解】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程，整理可得，解得，故所求的圆的一般方程为，故选：D．4．（2021秋·高二课时练习）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设所求圆的圆心，根据点关于直线的对称得到关于的方程，解出即可.【详解】将圆化成标准形式得，所以已知圆的圆心为，半径，因为圆与圆关于直线对称，所以圆的圆心与点关于直线对称，半径也为1，设可得，解得，所以，圆的方程是，故选：B5．（2023·重庆·高二统考学业考试）已知圆C的一条直径的两个端点是分别是和，则圆的标准方程是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据条件求出圆心与半径写出圆的方程.【详解】因为圆C的一条直径的两个端点是分别是和，所以圆心为，直径为，所以圆的标准方程是.故选：C.6．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知圆C：，过点的两条直线，互相垂直，圆心C到直线，的距离分别为，，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．4【答案】B【分析】由四边形是矩形，应用勾股定理可求，再利用基本不等式可得答案.【详解】过圆心C分别作直线，的垂线，垂足分别为，．，互相垂直，所以四边形为矩形．由圆C：，可得，又，，所以，当且仅当时取等号，即的最大值为1，故选：B.

7．（2021秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M，则的最大值是（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】求出A，B的坐标，并判断两直线垂直，推出点M在以为直径的圆上，求得，即，结合基本不等式即可求得答案.【详解】由题意知过定点,动直线即过定点，对于直线和动直线满足，故两直线垂直，因此点M在以为直径的圆上，，则，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故选：C8．（2023春·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）已知A，B，P是直径为4的圆上的三个动点，且，则最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出圆心和AB中点，结合圆的性质，利用向量的运算及数量积的运算即可.【详解】设圆心为O，AB的中点为D，如图：

因为A，B，P是直径为4的圆上的三个动点，且，所以，且|PD|的最小值为2-1=1，又，，所以，故选：C二、多选题9．（2023·江苏·高二假期作业）若直线始终平分圆的周长，则的取值可能是()A． B．-C． D．2【答案】ABC【分析】由题可知直线过圆心，有，代入利用二次函数的性质求出范围即可判断.【详解】由题可知直线过圆心，有，即，则，故ABC符合题意．故选：ABC．10．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）过四点中的三点的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】可以把点代入圆的方程，验证点是否在圆上，再判断各选项.【详解】对于A，点在圆上，故A正确；对于B，点在圆上，故B正确；对于C，点都不在圆上，故C错误；对于D，点都不在圆上，故D错误；故选：AB.11．（2022·高二课时练习）设有一组圆：，下列命题正确的是（）A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上B．所有圆均不经过点C．经过点的圆有且只有一个D．所有圆的面积均为【答案】ABD【分析】对A根据圆心横纵坐标关系即可判断，对B和C代入，再利用判别式即可判断，对D由圆的半径不变即可判断.【详解】A选项，圆心为，一定在直线上，A正确；B选项，将代入得：，其中，方程无解，即所有圆均不经过点，B正确；C选项，将代入得：，其中，故经过点的圆有两个，故C错误；D选项，所有圆的半径为2，面积为4，故D正确.故选：ABD.12．（2023·江苏·高二假期作业）已知曲线（

）A．若，则C是圆B．若，，则C是圆C．若，，则C是直线D．若，，则C是直线【答案】BC【分析】根据圆的一般方程对选项一一判断即可.【详解】对于A，当时，，若，则C是圆；若，则C是点；若，则C不存在.故A错误.对于B，当时，，且，则C是圆，故B正确.对于C，当时，，且，则C是直线，故C正确.对于D，当，时，，若，则表示一元二次方程，若，则表示抛物线，故D错误.故选：BC13．（2023秋·高二课时练习）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的是（

）A．圆的圆心是B．圆的半径是2C．D．的取值范围是【答案】ABCD【分析】将圆的方程化为标准方程，即可得出A、B；根据已知可知圆心在直线上，代入即可得出C；根据C的结论得，代入根据二次函数的性质，即可得出D项.【详解】对于A、B，将圆的方程化为标准方程可得，所以，圆心为，半径为，故A、B正确；对于C项，由已知可得，直线经过圆心，所以，整理可得，故C项正确；对于D项，由C知，所以，所以的取值范围是，故D项正确.故选：ABCD.三、填空题14．（2023秋·高二课时练习）圆过原点，则a，b，r应满足的条件是__________．【答案】【分析】把点的坐标代入圆的方程可得答案.【详解】因为圆过原点，所以，即；故答案为：.15．（2023春·上海宝山·高二统考期末）若表示圆，则实数的值为______.【答案】【分析】依题意可得，解得，再代入检验.【详解】因为表示圆，所以，解得或，当时方程，即，不表示任何图形，故舍去；当时方程，即，表示以为圆心，为半径的圆，符合题意；故答案为：16．（2023秋·高二课时练习）过点的直线与圆交于点B，则线段中点P的轨迹方程为___________.【答案】【分析】设点P的坐标为，点B为，结合中点坐标公式可得，代入圆的方