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文档简介
第16讲圆的方程7种常见考法归类回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程.知识点1圆的标准方程1.圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径.2.圆的要素:是圆心和半径,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.如图所示.3.圆的标准方程:圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以原点为圆心、半径为r的圆.注:(1)圆的方程的推导:设圆上任一点M(x,y),则|MA|=r,由两点间的距离公式,得eq\r(x-a2+y-b2)=r,化简可得:(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)当圆心在原点即A(0,0),半径长r=1时,方程为x2+y2=1,称为单位圆.(3)相同的圆,建立坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,但是半径是不变的.(4)圆上的点都满足方程,满足方程的点都在圆上.知识点2点与圆的位置关系(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断:d>r⇔点在圆外;d=r⇔点在圆上;d<r⇔点在圆内.(2)根据点M(x0,y0)的坐标与圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的关系判断:(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点在圆外;(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点在圆上;(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔点在圆内.知识点3圆的一般方程1.圆的一般方程的概念当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.注:将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,配方可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(D,2)))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y+\f(E,2)))2=eq\f(D2+E2-4F,4),当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆.当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(D,2),-\f(E,2))).2.圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圆的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(D,2),-\f(E,2))),半径长为eq\f(1,2)eq\r(D2+E2-4F).注:圆的一般方程表现出明显的代数结构形式,其方程是一种特殊的二元二次方程,圆心和半径长需要代数运算才能得出,且圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F为常数)具有以下特点:(1)x2,y2项的系数均为1;(2)没有xy项;(3)D2+E2-4F>0.3.常见圆的方程的设法标准方程的设法一般方程的设法圆心在原点x2+y2=r2x2+y2-r2=0过原点(x-a)2+(y-b)2=a2+b2x2+y2+Dx+Ey=0圆心在x轴上(x-a)2+y2=r2x2+y2+Dx+F=0圆心在y轴上x2+(y-b)2=r2x2+y2+Ey+F=0与x轴相切(x-a)2+(y-b)2=b2x2+y2+Dx+Ey+eq\f(1,4)D2=0与y轴相切(x-a)2+(y-b)2=a2x2+y2+Dx+Ey+eq\f(1,4)E2=04.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A=C≠0,,B=0,,D2+E2-4AF>0.))5.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.知识点4圆的轨迹问题轨迹和轨迹方程区别:轨迹是指点在运动变化中形成的图形,比如直线、圆等.轨迹方程是点的坐标满足的关系式.1、求圆的标准方程的方法确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a,b)及半径r,其求解的方法:一是待定系数法,建立关于a,b,r的方程组,进而求得圆的方程;二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径.常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.一般地,在解决有关圆的问题时,有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.2、判断点与圆的位置关系的方法(1)确定圆的方程:化为(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)将点的坐标代入代数式(x-a)2+(y-b)2,比较代数式的值与r2的大小关系.(3)下结论:若(x-a)2+(y-b)2=r2,表示点在圆上;若(x-a)2+(y-b)2>r2,表示点在圆外;若(x-a)2+(y-b)2<r2,表示点在圆内.此外,也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断.当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当d<r时,点在圆内.3、圆的一般方程辨析判断二元二次方程与圆的关系时,一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征,当它具备圆的一般方程的特征时,再看它能否表示圆.此时有两种途径:一是看D2+E2-4F是否大于零;二是直接配方变形,看方程等号右端是否为大于零的常数.4、方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形条件图形D2+E2-4F<0不表示任何图形D2+E2-4F=0表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(D,2),-\f(E,2)))D2+E2-4F>0表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(D,2),-\f(E,2)))为圆心,以eq\f(\r(D2+E2-4F),2)为半径的圆5、利用待定系数法求圆的方程的解题策略(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.6、求与圆有关的轨迹问题的方程(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程.(3)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.7、用代入法求轨迹方程的一般方法8、圆上的点到定点的最大、最小距离设的方程,圆心,点是上的动点,点为平面内一点;记;①若点在外,则;②若点在上,则;③若点在内,则;9、与圆有关的最值问题常见的几种类型(1)形如u=eq\f(y-b,x-a)形式的最值问题,可转化为过点(x,y)和(a,b)的动直线斜率的最值问题.(2)形如l=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线y=-eq\f(a,b)x+eq\f(l,b)截距的最值问题.(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离的平方的最值问题.考点一:求圆的标准方程(一)由圆的标准方程求圆心、半径例1.(2023秋·高二课时练习)已知圆的标准方程为,则此圆的圆心及半径长分别为(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】根据圆的标准方程直接求解即可.【详解】由标准方程可得:圆的圆心为,半径为,故选:B.变式1.(2023秋·高二单元测试)圆的圆心和半径分别是(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】根据圆的标准方程的定义即可得圆心坐标和半径.【详解】由圆的标准方程可得,圆心坐标为,半径.故选:B变式2.(2023·江苏·高二假期作业)已知圆C的标准方程为,则圆心C的坐标为________,圆的面积为________.【答案】【分析】由圆的标准方程直接得出圆心和半径,进而得圆的面积.【详解】圆C的标准方程为,则圆心,半径,故圆的面积.故答案为:,.求圆的标准方程例2.(2023春·河北邯郸·高二统考期末)已知圆的圆心为点,且经过原点,则圆的标准方程为__________.【答案】【分析】先求出圆的半径,再写出圆的标准方程.【详解】由已知得圆的半径,所以圆的标准方程为.故答案为:.变式1.(广东省广州市培正中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题)求圆心在y轴上,半径为1,且过点的圆的标准方程.【答案】【分析】设圆的方程为,将点代入圆的方程,求得的值,即可求解.【详解】由题意,可设圆的方程为,因为点在圆上,可得,解得,所以所求圆的方程为.变式2.(福建省泉州外国语中学2022-2023学年高二上学期期中质量监测数学试题)与x轴相切,且圆心坐标为的圆的标准方程为_______________【答案】【分析】根据圆的圆心坐标结合与y轴相切可得到该圆的半径可得答案.【详解】∵圆心坐标为,又与y轴相切,∴圆的半径为2,∴圆的标准方程为.故答案为:.变式3.(2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末)在平面直角坐标系中,已知、两点,若圆以为直径,则圆的标准方程为(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】求出圆心坐标以及圆的半径,即可得出圆的标准方程.【详解】由题意可知,圆心的横坐标为,纵坐标为,即点,圆的半径为,因此,圆的标准方程为.故选:A.变式4.(2023·江苏·高二假期作业)求经过点和坐标原点,并且圆心在直线上的圆的方程.【答案】【分析】利用待定系数法或几何法求解.【详解】法一(待定系数法):设圆的标准方程为,则有,解得,∴圆的标准方程是.法二(几何法):由题意知OP是圆的弦,其垂直平分线为.∵弦的垂直平分线过圆心,∴由,得,即圆心坐标为,半径r==5.∴圆的标准方程是.变式5.(广东省肇庆市百花中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题)直线与直线相交于点,直线过点且与直线平行.(1)求直线的方程;(2)求圆心在直线上且过点的圆的方程.【答案】(1);(2).【分析】(1)由题可得,然后根据直线的位置关系可设,进而即得;(2)根据圆的几何性质可得圆心和半径,即得.【详解】(1)由,可得,即,由题可设直线,又直线过点,所以,所以直线的方程为;(2)因为圆心在直线上且过点,由,可得线段的中垂线方程为,由,可得,所以圆心坐标为,半径为,所以圆心在直线上且过点的圆的方程为.考点二:圆的一般方程(一)圆的一般方程辨析例3.(2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末)方程表示一个圆,则的取值范围是(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】运用配方法,结合圆的标准方程的特征进行求解即可.【详解】由,得,解得.故选:B变式1.(2023秋·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习)方程表示圆,则实数a的可能取值为(
)A. B.2 C.0 D.【答案】D【分析】先把整理成圆的标准形式,满足右边关于的表达式大于零.【详解】由,可得,所以,解得或,选项中只有符合题意.故选:D.(二)由圆的一般方程求圆心、半径例4.(上海市第三女子中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题)圆的圆心坐标是________.【答案】【分析】化圆的一般方程为标准方程,即可求得圆心坐标.【详解】由,得,可得圆心坐标为.故答案为:.变式1.(2023春·湖北武汉·高二武汉市新洲区第一中学校考开学考试)已知圆C:,则圆C的圆心和半径为(
)A.圆心,半径 B.圆心,半径C.圆心,半径 D.圆心,半径【答案】A【分析】将圆的方程化为标准方程,从而可得圆心与半径.【详解】由化为标准方程可得,故圆心,半径.故选:A.变式2.(2023秋·高二课时练习)圆C:的圆心是_____,半径是_____.【答案】【分析】将圆的方程化为标准方程,即可得出答案.【详解】将圆方程化为标准方程可得,.所以,圆心,半径.故答案为:;.(三)求圆的一般方程例5.(2023秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中)求适合下列条件的圆的方程:(1)圆心在直线上,且过点的圆;(2)过三点的圆.【答案】(1)(2)【分析】(1)首先设圆的标准方程为,根据题意得到,再解方程组即可.(2)首先设圆的一般方程为:,,根据题意得到,再解方程组即可.【详解】(1)设圆的标准方程为,由题知:,解得.所以圆的标准方程为:.(2)设圆的一般方程为:,,由题知:,所以圆的方程为:.变式1.(2023·河南·校联考模拟预测)已知圆经过抛物线与轴的交点,且过点,则圆的方程为______.【答案】【分析】首先设圆的一般方程,结合条件,利用待定系数法,即可求解.【详解】设圆的方程为,令,,则由圆经过抛物线与轴的交点可知方程与同解,所以,,所以圆的方程为,又因为圆过点,所以,所以,所以圆的方程为.故答案为:变式2.(2023·河南郑州·模拟预测)已知点四点共圆,则点D到坐标原点O的距离为______.【答案】3【分析】待定系数法求得过的圆的方程为,从而可得,解得,再根据两点距离公式即可求解.【详解】设过的圆的方程为:,,则,解得,所以过的圆的方程为:.又因为点在此圆上,所以,解得,所以点D到坐标原点O的距离为.故答案为:变式3.(2023·江苏·高二假期作业)过坐标原点,且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程,将三个点的坐标代入得到方程组,求出圆的方程.【详解】设圆的方程为,由题意知,圆过点,和,所以,解得,所以所求圆的方程为.故选:A变式4.(2023秋·高二校考课时练习)已知圆经过点和,该圆与两坐标轴的四个截距之和为,求圆的方程.【答案】.【分析】利用待定系数法设出圆的方程,然后利用圆与两坐标轴的四个截距之和为,即可求解.【详解】设圆的一般方程为,由圆经过点和,代入圆的一般方程,得(*)设圆在轴上的截距为、,则它们是方程的两个根,得.设圆在轴上的截距为、,则它们是方程的两个根,得.由已知,得,即.③由(*)③联立解得.故所求圆的方程为.考点三:根据对称性求圆的方程例6.(2023秋·重庆荣昌·高二重庆市荣昌永荣中学校校考期中)圆关于直线对称的圆的标准方程为______.【答案】【分析】两圆关于直线对称等价于圆心关于直线对称,半径不变,根据题意运算求解.【详解】∵圆的圆心,半径为,则关于直线对称的点为,∴对称圆的圆心为,半径为,故对称圆的方程为:.故答案为:.变式1.(2023秋·高二单元测试)圆关于直线对称的圆是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】求出圆心关于直线对称的点的坐标,即可得到对称圆的方程.【详解】圆圆心为,半径为,设点关于直线对称的点为,则,解得,所以点关于直线对称的点为,所以圆关于直线对称的圆是.故选:D.变式2.(2023·全国·高三专题练习)与圆关于直线对称的圆的标准方程是______.【答案】【分析】先求得所求圆的圆心坐标,进而得到该圆的标准方程.【详解】圆的圆心,半径,点关于直线对称的点坐标为则所求圆的标准方程为故答案为:变式3.(2023秋·高二课时练习)已知圆,圆与圆关于直线对称,则圆的方程为(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】先求得圆的圆心坐标和半径,再求得关于的对称点,得到圆的圆心坐标,进而求得圆的方程.【详解】由题意知,圆的圆心与关于直线对称,且两圆半径相等,因为圆,即,所以圆心,半径为,设圆关于直线对称点为,则,解得,即,所以圆的方程为,即.故选:A.变式4.(2023春·河南开封·高二统考期末)已知圆与圆关于直线对称,则圆的标准方程为(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】根据题意,求得圆心关于直线的对称点,即可得到结果.【详解】由题意可得,圆的圆心坐标为,半径为,设圆心关于直线的对称点为,则,解得,所以圆的标准方程为.故选:A变式5.(2023秋·高二课时练习)求圆关于直线的对称圆方程.【答案】【分析】求出已知圆的半径和圆心坐标,再求出其圆心关于直线对称的点的坐标,则可求对称圆的方程.【详解】由可得,故圆心坐标为,半径为1,设点P关于直线的对称点为,则有,解得,故,所以圆关于直线的对称圆的方程为:.考点四:点与圆的位置关系例7.【多选】(2023秋·高二课时练习)(多选)下列各点中,不在圆的外部的是(
)A. B.C. D.【答案】ACD【分析】利用给定的圆方程,把各选项中的点的坐标代入判断作答.【详解】对于A,,点在圆内;对于B,,点在圆外;对于C,,在圆上;对于D,,在圆内.故选:ACD变式1.(2023·江苏·高二假期作业)写出圆心为,半径为5的圆的标准方程,并判断点是否在这个圆上.若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内?【答案】答案见解析【分析】将点的坐标代入圆的方程,验证是否在这个圆上.根据点到圆心的距离判断该点在圆外还是在圆内.【详解】圆心为,半径为5的圆的标准方程是.把点的坐标代入方程的左边,得,左右两边相等,点的坐标满足圆的方程,所以点在这个圆上.把点的坐标代入方程的左边,得,左右两边不相等,点的坐标不满足圆的方程,所以点不在这个圆上.又因为点到圆心A的距离.故点在圆内.变式2.(2023秋·高二校考课时练习)若点在圆的内部,则a的取值范围是().A. B. C. D.【答案】D【分析】根据题意,将点的坐标代入圆的方程计算,即可得到结果.【详解】由题可知,半径,所以,把点代入方程,则,解得,所以故a的取值范围是.故选:D变式3.(2023秋·高二课时练习)点与圆的位置关系是(
)A.点在圆上 B.点在圆内 C.点在圆外 D.不确定【答案】C【分析】点到圆心的距离大于半径,点在圆外.【详解】因为,所以点在圆外,故选:C考点五:圆过定点问题例8.(2023秋·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期中)若圆过坐标原点,则实数m的值为(
)A.1 B.2 C.2或1 D.-2或-1【答案】A【分析】把坐标代入圆方程求解.注意检验,方程表示圆.【详解】将代入圆方程,得,解得或0,当时,,满足题意;当时,,不满足题意.故选:C.变式1.(2023·高二课时练习)点是直线上任意一点,是坐标原点,则以为直径的圆经过定点(
)A.和 B.和 C.和 D.和【答案】D【分析】设点,求出以为直径的圆的方程,并将圆的方程变形,可求得定点坐标.【详解】设点,则线段的中点为,圆的半径为,所以,以为直径为圆的方程为,即,即,由,解得或,因此,以为直径的圆经过定点坐标为、.故选:D.变式2.(2023·全国·高三专题练习)若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、,则的外接圆恒过的定点坐标为_______【答案】【分析】设抛物线交轴于点,交轴于点、,根据题意设圆心为,求出,写出圆的方程,可得出关于、的方程组,即可得出圆所过定点的坐标.【详解】设抛物线交轴于点,交轴于点、,由题意可知,由韦达定理可得,,所以,线段的中点为,设圆心为,由可得,解得,,则,则,所以,圆的方程为,整理可得,方程组的解为.因此,的外接圆恒过的定点坐标为.故答案为:.变式3.(2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中)对任意实数,圆恒过定点,则定点坐标为__.【答案】或【分析】由已知得,从而,由此能求出定点的坐标.【详解】解:,即,令,解得,,或,,所以定点的坐标是或.故答案为:或.变式4.(2023秋·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习)已知曲线:.(1)当取何值时,方程表示圆?(2)求证:不论为何值,曲线必过两定点.(3)当曲线表示圆时,求圆面积最小时的值.【答案】(1);(2)证明见解析;(3).【分析】(1)当时,可知方程表示直线;当时,化简整理已知方程,可知满足圆的方程;(2)将已知方程整理为,从而可得方程组,解方程组求得两定点坐标,结论可证得;(3)根据(2)的结论,可知以为直径的圆面积最小,从而得到圆的方程,与已知方程对应相等可构造方程组,解方程组求得结果.【详解】解:(1)当时,方程为表示一条直线.当时,,整理得,由于,所以时方程表示圆.(2)证明:方程变形为.由于取任何值,上式都成立,则有.解得或所以曲线必过定点,,即无论为何值,曲线必过两定点.(3)由(2)知曲线过定点A,,在这些圆中,以为直径的圆的面积最小(其余不以为直径的圆的直径大于的长,圆的面积也大),从而以为直径的圆的方程为,所以,解得.考点六:与圆有关的轨迹问题例9.(上海市上海中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题)点与两个定点,的距离的比为,则点的轨迹方程为______.【答案】【分析】设出动点,利用条件得到,再化简即可得到结果.【详解】设点,由题知,两边平方化简得,即,所以点的轨迹方程为.故答案为:.变式1.(2023秋·高二课时练习)已知圆:,过点的直线与圆交于点,,线段的中点为,则点的轨迹方程为___________.【答案】【分析】先判断点在圆内,连接,设出点的坐标,在利用垂径定理得到,写出和坐标,利用,得到,的关系,即可得出结果.【详解】由圆:方程变形为标准式,进而得出,所以点在圆内部,又因为为线段的中点,连接,由垂径定理得,设点的坐标,得,,所以,得,整理得,所以点的轨迹方程为,故答案为:
变式2.(2023秋·安徽阜阳·高二校联考阶段练习)已知圆经过点,且被直线平分.(1)求圆的一般方程;(2)设是圆上的动点,求线段的中点的轨迹方程.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据直线方程求定点,结合圆的性质,可得圆心,利用两点之间距离公式,可得答案;(2)设动点坐标,根据题意,建立等量关系,代入圆的方程,可得答案.【详解】(1)直线恒过点.因为圆恒被直线平分,所以恒过圆心,所以圆心坐标为,又圆经过点,所以圆的半径,所以圆的方程为,即.(2)设.因为为线段的中点,所以,因为点是圆上的动点,所以,即,所以的轨迹方程为.变式3.(2023秋·山东日照·高二校考阶段练习)已知圆C经过点且圆心C在直线上.(1)求圆C方程;(2)若E点为圆C上任意一点,且点,求线段EF的中点M的轨迹方程.【答案】(1);(2).【分析】(1)利用待定系数法即得;(2)根据相关点法,设出点M的坐标,利用中点公式结合圆的方程即得.【详解】(1)由题可设圆C的标准方程为,则,解之得,所以圆C的标准方程为;(2)设M(x,y),,由及M为线段EF的中点得,解得,又点E在圆C:上,所以有,化简得:,故所求的轨迹方程为.变式4.(2023秋·高二课时练习)正方形与点在同一平面内,已知该正方形的边长为1,且,则的取值范围为___________.【答案】【分析】以为坐标原点,建立平面直角坐标系,求出点的轨迹方程为圆,再求出的取值范围即可.【详解】如图,以为坐标原点,建立平面直角坐标系,则,设点,则由,得,整理得,即点的轨迹是以点为圆心,为半径的圆,圆心M到点D的距离为,所以,所以的取值范围是.故答案为:.
变式5.【多选】(2023秋·高一单元测试)已知点,动点满足,则下面结论正确的为(
)A.点的轨迹方程为 B.点到原点的距离的最大值为5C.面积的最大值为4 D.的最大值为18【答案】ABD【分析】设动点,根据两点之间的距离公式结合条件化简即可判断A选项,再由圆外一点到圆上一点的距离范围判断B和C选项,利用向量的数量积公式和代入消元法即可判断D选项.【详解】设动点,则由得:,即,化简得:,即,所以A选项正确;所以点轨迹是圆心为,半径为的圆,则点到原点的距离最大值为,所以B选项正确;又,和点轨迹的圆心都在轴上,且,所以当圆的半径垂直于轴时,面积取得最大值,所以C选项错误;又,因为(),所以(),则,所以D选项正确;故选:ABD.考点七:与圆有关的最值问题例10.(2023秋·四川巴中·高二统考期末)已知圆C过点,当圆C到原点O的距离最小时,圆C的标准方程为______.【答案】【分析】根据圆的几何性质可知圆C到原点O的距离最小时,则,进而联立直线方程可得圆心坐标,即可求解.【详解】由可得线段中点坐标为,又,所以垂直平分线的方程为,所以圆心C在线段垂直平分线上,当圆C到原点O的距离最小时,则,所以直线方程为,联立,所以圆心,又半径,故圆的方程为:故答案为:变式1.(2023秋·高二课时练习)已知圆经过点,且圆心在直线上运动,求当半径最小时的圆的标准方程为_______________【答案】【分析】设出圆心,表达出半径,配方求出最小值,从而得到圆心和圆的标准方程.【详解】设圆心,则半径为,故当时,取得最小值为,此时圆心为,故当半径最小时的圆的方程为.故答案为:变式2.(2023秋·高二课时练习)圆过点,求面积最小的圆的方程为_________【答案】【分析】根据题意知所求圆为以为直径的圆,再利用条件即可求出结果.【详解】当为直径时,过的圆的半径最小,从而面积最小,又,所以,所求圆的圆心为中点,半径为,则所求圆的方程为:.故答案为:.变式3.(2023秋·高二课时练习)如果圆的方程为,那么当圆面积最大时,该圆的方程为________,最大面积为________.【答案】【分析】设圆的半径为,将圆的方程化为标准方程,可得.即可得出半径的最大值,以及的取值,代入圆的方程以及根据圆的面积公式,即可得出答案.【详解】设圆的半径为,将圆的方程化为标准方程可得,.因为,当最大时,圆的面积最大.所以,当时,半径最大为1,此时圆的方程为,面积为.故答案为:;.变式4.(2023春·山东青岛·高二校联考期中)圆上的点到直线的最大距离是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】将圆的一般方程化为标准方程得圆心及半径,圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径.【详解】圆化为标准方程得,圆心坐标为,半径为,圆心到直线的距离为所以圆上的点到直线的最大距离为.故选:C.1.(2020·山东·统考高考真题)已知圆心为的圆与轴相切,则该圆的标准方程是(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】圆的圆心为,半径为,得到圆方程.【详解】根据题意知圆心为,半径为,故圆方程为:.故选:B.2.(2022·全国·统考高考真题)设点M在直线上,点和均在上,则的方程为______________.【答案】【分析】设出点M的坐标,利用和均在上,求得圆心及半径,即可得圆的方程.【详解】[方法一]:三点共圆∵点M在直线上,∴设点M为,又因为点和均在上,∴点M到两点的距离相等且为半径R,∴,,解得,∴,,的方程为.故答案为:[方法二]:圆的几何性质由题可知,M是以(3,0)和(0,1)为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线的交点(1,-1).,的方程为.故答案为:3.(2022·全国·统考高考真题)过四点中的三点的一个圆的方程为____________.【答案】或或或.【分析】方法一:设圆的方程为,根据所选点的坐标,得到方程组,解得即可;【详解】[方法一]:圆的一般方程依题意设圆的方程为,(1)若过,,,则,解得,所以圆的方程为,即;(2)若过,,,则,解得,所以圆的方程为,即;(3)若过,,,则,解得,所以圆的方程为,即;(4)若过,,,则,解得,所以圆的方程为,即;故答案为:或或或.[方法二]:【最优解】圆的标准方程(三点中的两条中垂线的交点为圆心)设(1)若圆过三点,圆心在直线,设圆心坐标为,则,所以圆的方程为;(2)若圆过三点,设圆心坐标为,则,所以圆的方程为;(3)若圆过三点,则线段的中垂线方程为,线段的中垂线方程为,联立得,所以圆的方程为;(4)若圆过三点,则线段的中垂线方程为,线段中垂线方程为,联立得,所以圆的方程为.故答案为:或或或.【整体点评】方法一;利用圆过三个点,设圆的一般方程,解三元一次方程组,思想简单,运算稍繁;方法二;利用圆的几何性质,先求出圆心再求半径,运算稍简洁,是该题的最优解.4.(2022·北京·统考高考真题)若直线是圆的一条对称轴,则(
)A. B. C.1 D.【答案】A【分析】若直线是圆的对称轴,则直线过圆心,将圆心代入直线计算求解.【详解】由题可知圆心为,因为直线是圆的对称轴,所以圆心在直线上,即,解得.故选:A.一、单选题1.(2023·江苏·高二假期作业)将圆平分的直线是(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】由题意可知所求的直线过圆心,所以先求出圆的圆心,然后将圆心坐标代入各直线方程验证即可.【详解】要使直线平分圆,只要直线经过圆的圆心即可,由,得,所以圆心坐标为,对于A,因为,所以直线不过圆心,所以A错误,对于B,因为,所以直线不过圆心,所以B错误,对于C,因为,所以直线过圆心,所以C正确,对于D,因为,所以直线不过圆心,所以D错误,故选:C2.(2022秋·高二课时练习)若点是圆的弦的中点,则弦所在的直线方程为(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】先求出圆心坐标,由题意可得,从而可求出直线的斜率,进而可求出直线的方程.【详解】因为圆心,,所以圆心,因为是圆的弦的中点,所以,所以,则直线的方程为,即,故选:C.3.(2022秋·高二课时练习)过三点的圆的一般方程为(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】设出圆的一般方程,代入点坐标,计算得到答案.【详解】设圆的方程为,将A,B,C三点的坐标代入方程,整理可得,解得,故所求的圆的一般方程为,故选:D.4.(2021秋·高二课时练习)已知圆与圆关于直线对称,则圆的方程是(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】设所求圆的圆心,根据点关于直线的对称得到关于的方程,解出即可.【详解】将圆化成标准形式得,所以已知圆的圆心为,半径,因为圆与圆关于直线对称,所以圆的圆心与点关于直线对称,半径也为1,设可得,解得,所以,圆的方程是,故选:B5.(2023·重庆·高二统考学业考试)已知圆C的一条直径的两个端点是分别是和,则圆的标准方程是(
)A.B.C.D.【答案】C【分析】根据条件求出圆心与半径写出圆的方程.【详解】因为圆C的一条直径的两个端点是分别是和,所以圆心为,直径为,所以圆的标准方程是.故选:C.6.(2023·广东佛山·统考模拟预测)已知圆C:,过点的两条直线,互相垂直,圆心C到直线,的距离分别为,,则的最大值为(
)A. B.1 C. D.4【答案】B【分析】由四边形是矩形,应用勾股定理可求,再利用基本不等式可得答案.【详解】过圆心C分别作直线,的垂线,垂足分别为,.,互相垂直,所以四边形为矩形.由圆C:,可得,又,,所以,当且仅当时取等号,即的最大值为1,故选:B.
7.(2021秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中)过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M,则的最大值是(
)A. B.3 C. D.【答案】C【分析】求出A,B的坐标,并判断两直线垂直,推出点M在以为直径的圆上,求得,即,结合基本不等式即可求得答案.【详解】由题意知过定点,动直线即过定点,对于直线和动直线满足,故两直线垂直,因此点M在以为直径的圆上,,则,所以,当且仅当时等号成立,故的最大值为,故选:C8.(2023春·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中)已知A,B,P是直径为4的圆上的三个动点,且,则最小值为(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】设出圆心和AB中点,结合圆的性质,利用向量的运算及数量积的运算即可.【详解】设圆心为O,AB的中点为D,如图:
因为A,B,P是直径为4的圆上的三个动点,且,所以,且|PD|的最小值为2-1=1,又,,所以,故选:C二、多选题9.(2023·江苏·高二假期作业)若直线始终平分圆的周长,则的取值可能是()A. B.-C. D.2【答案】ABC【分析】由题可知直线过圆心,有,代入利用二次函数的性质求出范围即可判断.【详解】由题可知直线过圆心,有,即,则,故ABC符合题意.故选:ABC.10.(2023·辽宁葫芦岛·统考二模)过四点中的三点的圆的方程为(
)A. B.C. D.【答案】AB【分析】可以把点代入圆的方程,验证点是否在圆上,再判断各选项.【详解】对于A,点在圆上,故A正确;对于B,点在圆上,故B正确;对于C,点都不在圆上,故C错误;对于D,点都不在圆上,故D错误;故选:AB.11.(2022·高二课时练习)设有一组圆:,下列命题正确的是()A.不论如何变化,圆心始终在一条直线上B.所有圆均不经过点C.经过点的圆有且只有一个D.所有圆的面积均为【答案】ABD【分析】对A根据圆心横纵坐标关系即可判断,对B和C代入,再利用判别式即可判断,对D由圆的半径不变即可判断.【详解】A选项,圆心为,一定在直线上,A正确;B选项,将代入得:,其中,方程无解,即所有圆均不经过点,B正确;C选项,将代入得:,其中,故经过点的圆有两个,故C错误;D选项,所有圆的半径为2,面积为4,故D正确.故选:ABD.12.(2023·江苏·高二假期作业)已知曲线(
)A.若,则C是圆B.若,,则C是圆C.若,,则C是直线D.若,,则C是直线【答案】BC【分析】根据圆的一般方程对选项一一判断即可.【详解】对于A,当时,,若,则C是圆;若,则C是点;若,则C不存在.故A错误.对于B,当时,,且,则C是圆,故B正确.对于C,当时,,且,则C是直线,故C正确.对于D,当,时,,若,则表示一元二次方程,若,则表示抛物线,故D错误.故选:BC13.(2023秋·高二课时练习)已知圆关于直线对称,则下列结论正确的是(
)A.圆的圆心是B.圆的半径是2C.D.的取值范围是【答案】ABCD【分析】将圆的方程化为标准方程,即可得出A、B;根据已知可知圆心在直线上,代入即可得出C;根据C的结论得,代入根据二次函数的性质,即可得出D项.【详解】对于A、B,将圆的方程化为标准方程可得,所以,圆心为,半径为,故A、B正确;对于C项,由已知可得,直线经过圆心,所以,整理可得,故C项正确;对于D项,由C知,所以,所以的取值范围是,故D项正确.故选:ABCD.三、填空题14.(2023秋·高二课时练习)圆过原点,则a,b,r应满足的条件是__________.【答案】【分析】把点的坐标代入圆的方程可得答案.【详解】因为圆过原点,所以,即;故答案为:.15.(2023春·上海宝山·高二统考期末)若表示圆,则实数的值为______.【答案】【分析】依题意可得,解得,再代入检验.【详解】因为表示圆,所以,解得或,当时方程,即,不表示任何图形,故舍去;当时方程,即,表示以为圆心,为半径的圆,符合题意;故答案为:16.(2023秋·高二课时练习)过点的直线与圆交于点B,则线段中点P的轨迹方程为___________.【答案】【分析】设点P的坐标为,点B为,结合中点坐标公式可得,代入圆的方
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