第12讲 倾斜角与斜率5种常见考法归类原卷版-新高二数学暑假自学课讲义

第12讲倾斜角与斜率5种常见考法归类1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.知识点1直线的倾斜角1．倾斜角的定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线知识点2直线的斜率1．斜率的定义一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα.2．斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．注：①若直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，则直线P1P2的方向向量eq\o(P1P2,\s\up7(→))的坐标为(x2－x1，y2－y1)，也可表示为(1，k)，其中k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).②倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行③斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换知识点3斜率与倾斜角的联系倾斜角（范围）斜率（范围）不存在1、求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.2、利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．3、在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.倾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k0eq\f(\r(3),3)1eq\r(3)－eq\r(3)－1－eq\f(\r(3),3)4、斜率与倾斜角的关系（1）由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tanα(α≠90°)解决．（2）由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．考点一：求直线的倾斜角例1．（2023秋·江西九江·高二校考阶段练习）直线的倾斜角α的取值范围是（）A． B． C． D．变式1．（2023秋·高二课时练习）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4变式2．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考期中）若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（

）A． B． C． D．变式3．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为________．

变式4．（2023·江苏·高二假期作业）如图，直线l的倾斜角为（）

A．60° B．120°C．30° D．150°变式5．【多选】（2023秋·高二课时练习）若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转45°后得直线，则直线的倾斜角可能为（

）A． B． C． D．变式6．（2023·高二课时练习）直线与直线的夹角为______．考点二：求直线的斜率例2．（2023秋·湖南娄底·高二统考期末）已知直线的倾斜角是，则此直线的斜率是（）A． B． C． D．变式1．（2023·江苏·高二假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)；(2)；(3)．变式2．（2023秋·天津南开·高二崇化中学校考期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（）A． B． C． D．变式3．（2023·全国·高二专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（

）A． B．C． D．变式4．（2023秋·江西·高二校联考阶段练习）已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为，则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为________，________.变式5．【多选】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（

）A．2 B． C． D．考点三：斜率与倾斜角的关系（一）由倾斜角求斜率值（范围）例3．【多选】（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）已知经过点和的直线的倾斜角，则实数的可能取值有（

）A．11 B．12 C．13 D．14变式1．（2023·江苏·高二假期作业）过不重合的两点的直线的倾斜角为，则的取值为________．变式2．（2023·江苏·高二假期作业）过两点A(5,y)，B(3,－1)的直线的倾斜角是135°，则y等于________．变式3．（2023·江苏·高二假期作业）若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是________．变式4．（2023秋·安徽六安·高二校考阶段练习）若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．由斜率求倾斜角的值（范围）例4．（2023春·上海普陀·高二上海市宜川中学校考期末）已知直线l经过点．直线l的倾斜角是___________．变式1．（2023秋·高二课时练习）若直线的斜率的取值范围是，则该直线的倾斜角的取值范围是________.变式2．（2023·全国·高三专题练习）若直线的倾斜角满足，则的取值范围是__________变式3．（2023秋·高二课时练习）直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围是__________．变式5．（2023秋·安徽六安·高二校考阶段练习）将直线绕原点旋转得到直线，若直线的斜率为，则直线的倾斜角是（

）A． B． C．或 D．或考点四：斜率公式的应用（一）利用直线斜率处理共线问题例5．（2023秋·河南·高二校联考阶段练习）判断下列三点是否在同一条直线上：(1)；(2).变式1．（2023秋·高二课时练习）已知三点共线，则的值为________.变式2．（2023秋·高二课时练习）已知直线l经过三点，则直线l的斜率k＝__________，y＝__________．变式3．（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是________.（二）斜率公式的几何意义的应用例6．（2023秋·高二课时练习）已知直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的最大值是________.变式1．（2023·全国·高二专题练习）若实数、满足，，则代数式的取值范围为______变式2．【多选】（2023·全国·高三专题练习）点在函数的图象上，当，则可能等于（

）A．-1 B． C． D．0变式3．（2023秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（

）A． B．C． D．考点五：直线与线段的相交关系求斜率的范围例7．（2023秋·广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)，．(1)求直线BC，AC的斜率和倾斜角；(2)若D为的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围．变式1．（2023·江苏·高二假期作业）已知两点，过点的直线与线段有公共点．(1)求直线的斜率的取值范围；(2)求直线的倾斜角的取值范围．变式2．（2023·江苏·高二假期作业）已知．(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．变式3．（2023秋·江西抚州·高二统考期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（

）A． B．C． D．变式4．（2023秋·安徽滁州·高二校考期中）已知点，，，若点是线段上的一点，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．变式5．（2023秋·安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是______．变式6．（2023秋·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．1．直线与直线的夹角是（

）A． B． C． D．2．图中的直线的斜率分别为，则有（

）A． B．C． D．3．若三点，，，（）共线，则的值等于___________.一、单选题1．（2023秋·贵州贵阳·高二统考期末）以下四个命题，正确的是（

）A．若直线l的斜率为1，则其倾斜角为45°或135°B．经过两点的直线的倾斜角为锐角C．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应D．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应2．（2023·江苏·高二假期作业）已知一直线经过两，，且倾斜角为，则的值为（）A．－6 B．－4C．0 D．63．（2023秋·北京密云·高二统考期末）已知直线.则下列结论正确的是（

）A．点在直线上 B．直线的倾斜角为C．直线在轴上的截距为8 D．直线的一个方向向量为4．（2023秋·山西临汾·高二统考期末）若三点在同一直线上，则实数等于（

）A． B． C．6 D．125．（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）过点P(2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，那么m的值为（

）A．1或4 B．4 C．1或3 D．16．（2023春·河南安阳·高二安阳一中校联考开学考试）已知点，直线的倾斜角为，则（

）A． B． C． D．7．（2023秋·湖南湘潭·高二校联考期末）若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（

）A．或 B．或 C．或 D．或8．（2023秋·山西晋中·高二统考期末）经过点的直线的斜率为（

）A． B． C． D．29．（2023·江苏·高二假期作业）若直线经过点，则直线的倾斜角为（）A．0° B．30°C．60° D．90°10．（2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．11．（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（

）A． B．C． D．12．（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（

）A． B．C． D．13．（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题14．（2023·全国·高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（）A．若直线的倾斜角为，则B．直线的倾斜角的取值范围为C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为15．（2023秋·广西柳州·高二校考期末）下列说法正确的是（

）A．直线的倾斜角取值范围是B．若直线的斜率为，则该直线的倾斜角为C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大16．（2023·江苏·高二假期作业）下列各组点中，共线的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，17．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点，，斜率为的直线过点，则下列满足直线与线段相交的斜率取值范围是（

）A． B． C． D．三、填空题18．（2023春·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）将直线MN绕原点旋转60°得到直线，若直线的斜率1，则直线MN的倾斜角是______（结果用角度制表示）．19．（2023·高三课时练习）已知过点和的直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是______.20．（2023·高二课时练习）若直线的斜率为，则直线的倾斜角的取值范围是______.21．（2023春·上海宝山·高一统考期末）在平面直角坐标系中，锐角的大小如图所示，则______.四、解答题22．（2023春·高二单元测试）过点的直线与以、为端点