第04讲 利用几何法解决空间角和距离19种常见考法归类原卷版-新高二数学暑假自学课讲义

第04讲利用几何法解决空间角和距离19种常见考法归类学会利用几何法求空间角及空间距离．1、异面直线所成的角(1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).注：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．2、直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°.(2)范围：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3、二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB．(3)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180°.4、点到平面的距离已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离。即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离（转化为点到点的距离）结论：连结平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短.1、求异面直线所成的角的方法和步骤(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成角一般步骤：一作、二证、三求①平移：经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，作出异面直线所成的角．②证明：证明所作的角是异面直线所成的角．③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．2、求直线与平面所成的角的方法和步骤（1）垂线法求线面角：①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；②连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；③把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）.（2）平移法求线面角是指利用图形平移变换的性质，构造满足求解的条件，进而得出结论的方法.在运用平移法求解线面角问题时，我们可以利用图象平移的性质：图形移动位置后其大小、形状、面积等都不改变，将分散的条件关联起来，以便将立体几何问题转化为平面几何问题来求解.（3）等体积法求线面角通过换底求体积求出斜线上一点到平面的距离，再求直线与平面所成角的正弦值，如图,已知平面α与斜线AP,PO⊥α,则P0线面角为∠PAO,，要求线面角，关键是求垂线段PO的长度，而垂线段PO的长度可看作点P到平面α的距离，在平面α内找一个三角形(点A是其中一个顶点)与点P构成三棱锥，在三棱锥中借助等体积法就可以求PO的长度，从而达到简便求解线面角的目的.3、求二面角的平面角的方法和步骤（1）求二面角大小的步骤是：①作：找出这个平面角；②证：证明这个角是二面角的平面角；③求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小．（2）确定二面角的平面角的方法①定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．如：“三线合一型”、“全等型”②三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角③等体积法利用三棱锥等体积法求出点A到平面PBC的距离d，如图，点A到二面角A-PB-C的棱PB的距离为h（即△PAB中PB边上的高），则二面角A-PB-C的正弦值为.③垂面法（空间一点垂面法）过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。④射影面积法已知平面内的平面图形的面积为，它在平面内的射影的面积为，设平面与平面所成二面角的平面角为，则当时，;当时，.4、求解点面距的方法和步骤（1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；（2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；（3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离．考点一：直接平移法求异面直线所成的角例1．（2023春·广东广州·高一广州市第六十五中学校考期中）在正方体中,分别为的中点,则异面直线与所成角的大小为（

）A． B． C． D．变式1．（2023春·山东滨州·高一山东省北镇中学校联考阶段练习）如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与所成角的大小为（

）

A． B． C． D．变式2．（2023春·江苏南京·高一南京市第九中学校考阶段练习）如图，圆柱的底面直径与母线相等，是弧的中点，则与所成的角为（

）A． B． C． D．考点二：中位线平移法求异面直线所成的角例2．（2023春·全国·高一专题练习）在四棱锥中，平面，，底面是菱形，，E，F，G分别是，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B．C． D．变式1．（2023春·广东深圳·高一深圳市罗湖高级中学校考期中）如图，在三棱锥中，，且，，分别是棱，的中点，则和所成的角等于__________.变式2．（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）在四棱锥中，所有侧棱长都为，底面是边长为的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为___________变式3．（2023春·广东广州·高一广州市天河中学校考期中）如图，矩形ABCD中，，正方形ADEF的边长为1，且平面平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．变式4．（2023春·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，是侧棱的中点.

(1)证明平面.(2)求异面直线与所成的角；变式5．（2023春·甘肃定西·高一甘肃省临洮中学校考期中）如图，四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，，为的中点，为的中点．

(1)求证：平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值．考点三：平行四边形平移法求异面直线所成的角例3．（2023春·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）如图，在长方体中，，，M、N分别是、AC的中点，则异面直线DN和CM所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．变式1．（2023春·江西南昌·高一南昌十中校考阶段练习）如图，在正三棱柱中，是棱的中点，在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．变式2．（2023春·浙江·高一路桥中学校联考期中）在直三棱柱中，，，E是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是（

）

A． B． C． D．考点四：补形法求异面直线所成的角例4．（2023·全国·高一专题练习）在长方体中，，，则异面直线与所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．变式1．（2023春·浙江宁波·高一效实中学校考期中）如图，在正三棱台中，底面是边长为的正三角形，且.

(1)证明：；(2)求异面直线、所成角的余弦值.变式2．（2023·全国·高一专题练习）在正方体中，E为的中点，平面与平面的交线为l，则l与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．考点五：通过证线面垂直证异面直线所成的角为90°例5．（2023春·广东广州·高一广州四十七中校考期中）如图，在正四面体中，是的中点，P是线段上的动点，则直线和所成角的大小（

）A．一定为 B．一定为 C．一定为D．与P的位置有关变式1．（2023秋·河南鹤壁·高一鹤壁高中校考阶段练习）三棱锥中，，是斜边的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线与所成的角为90°；②直线平面；③平面平面；④点到平面的距离是.其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4变式2．（2023·高一课时练习）如图，正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成角的大小为A． B． C． D．变式3．（2023春·重庆九龙坡·高一重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形，是的中点，则下列叙述正确的是（

）A．直线与直线相交B．与共面C．与是异面直线但不垂直D．平面垂直于平面考点六：由异面直线所成的角求其他量例6．（2023春·湖北武汉·高一武汉市第六中学校考阶段练习）在长方体中，与和所成的角均为，则下面说法正确的是（

）A． B．C． D．变式1．（2023·高一单元测试）在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为（

）A．1 B． C．1或 D．或变式2．（2023春·贵州毕节·高一统考期末）在空间四边形中，，，分别为，的中点，若与所成的角为40°，则与所成角的大小为（

）A．20° B．70°C．20°或70° D．40°或140°变式3．（2023·高一课时练习）如图，在三棱锥中，，，，且直线AB与DC所成角的余弦值为，则该三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．考点七：垂线法求直线与平面所成的角例7．（2023春·海南·高一海南华侨中学校考期末）如图所示，四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，则下列结论中不正确的是（

）A．B．平面SCDC．直线SA与平面SBD所成的角等于D．直线SA与平面SBD所成的角等于直线SC与平面SBD所成的角.变式1．（2023春·山西·高一统考阶段练习）如图，在圆柱OP中，底面圆的半径为2，高为4，AB为底面圆O的直径，C为上更靠近A的三等分点，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（

）

A． B． C． D．变式2．（2023·高一单元测试）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为，则它的侧棱与底面所成角的正切值约为（

）A． B． C． D．变式3．（2023·高一课时练习）如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，则直线与对角面所成角的大小是（

）A． B． C． D．变式4．（2023春·江苏宿迁·高一泗阳县实验高级中学校考阶段练习）直三棱柱中，，，则与平面所成的角为（

）A． B． C． D．变式5．（2023春·浙江宁波·高一效实中学校考期中）如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点.

(1)证明：平面；(2)设直线与底面所成角的正切值为，，，求直线与平面所成角的正弦值.变式6．（2023春·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是棱长为的菱形，，，是的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．变式7．（2023春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）如图，多面体中，四边形为矩形，二面角的大小为，，，，.

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.考点八：等体积法求直线与平面所成的角例8．（2023春·北京朝阳·高一清华附中朝阳学校校考期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，平面．若，则直线与平面所成的角的大小为（

）A． B． C． D．变式1．（2023春·河南·高一校联考期末）如图，三棱柱中，为等边三角形，，，．

(1)证明：平面平面；(2)求直线和平面所成角的正弦值．变式2．（2023春·浙江杭州·高一校考期中）如图，四棱锥中，平面ABCD，，底面ABCD是矩形，且，．(1)求证：平面PCD；(2)求直线AC与平面APD所成的角的正弦值；考点九：平移法求直线与平面所成的角例9．（2023·江苏·高一专题练习）如图，边长是6的等边三角形和矩形.现以为轴将面进行旋转，使之形成四棱锥，是等边三角形的中心，，分别是，的中点，且，面，交于.(1)求证面(2)求和面所成角的正弦值.变式1．（2023春·天津和平·高一天津一中校考期中）如图，已知平面ABC，，，，，，点和分别为和的中点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的大小.考点十：由线面角求其他量例10．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为线段上一点，平面.

(1)证明：为的中点；(2)若直线与平面所成的角为，且，求三棱锥的体积.变式1．（2023春·福建泉州·高一校联考阶段练习）如图所示，三棱台中，底面，．(1)证明：是直角三角形；(2)若，问为何值时，直线与平面所成角的正弦值为？变式2．（2023春·高一单元测试）如图，在中，O是的中点，.将沿折起，使B点移至图中点位置．(1)求证：平面；(2)当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值；(3)在（2）的条件下，试问在线段上是否存在一点P，使与平面所成的角的正弦值为？证明你的结论，并求的长．变式3．（2023春·吉林延边·高一延边第一中学校考期中）如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点.(1)证明：是直角三角形；(2)若，且直线与平面所成角的正切值为，①求的长；②求直线与平面所成角的正弦值.考点十一：定义法求二面角的平面角例11．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，为棱的中点，，．

(1)求证：平面；(2)求二面角平面角的大小.变式1．（2023春·吉林·高一校联考期中）如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点.

(1)求证：直线平面；(2)求二面角的余弦值.变式2．（2023春·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考阶段练习）如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点．将分别沿折起，使三点重合于点P．(1)求证：；(2)求三棱锥的体积；(3)求二面角的余弦值．变式3．（2023春·浙江·高一校联考阶段练习）如图，在多面体中，平面平面，平面平面是菱形，．

(1)证明：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值．考点十二：三垂线法求二面角的平面角例12．（2023春·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形．

(1)若点E是PD的中点，证明：平面；(2)若，，且平面平面，求二面角的正切值．变式1．（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知正三棱柱中，，D为AC边的中点，

(1)求侧棱长；(2)求三棱锥D-的体积；(3)求二面角的大小.变式2．（2023春·山东滨州·高一山东省北镇中学校联考阶段练习）如图，在四棱台中，底面是正方形，侧面底面是正三角形，是底面的中心，是线段上的点．

(1)当//平面时，求证：平面；(2)求二面角的余弦值．变式3．（2023春·江苏苏州·高一校考阶段练习）四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E为AD的中点，F为PC中点．

(1)求证：平面；(2)求PC与平面PAD所成的角的正切值；(3)求二面角的正弦值．考点十三：等体积法求二面角的平面角例13．（2023春·江苏常州·高一常州高级中学校考阶段练习）如图，和都是边长为的等边三角形，，平面.

(1)证明：平面；(2)若点到平面的距离为，求二面角的正切值.变式1．（2023·高一单元测试）已知四边形ABCD中，，，O是AC的中点，将沿AC翻折至．(1)若，证明：平面ACD；(2)若D到平面PAC的距离为，求平面PAC与平面ACD夹角的大小．考点十四：垂面法求二面角例14．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是______．变式1．（2023秋·山东日照·高二校考阶段练习）若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是______．变式2．（2023·全国·高一专题练习）已知是二面角内的一点，垂直于于垂直于于，则二面角的大小为__．变式3．（2023·高二课时练习）如图，已知平面，，且，，，，为垂足.（1）试判断直线与的关系，并证明你的结论；（2）设直线与平面交于点，点，若二面角的大小为，且，求平面与平面所成的锐二面角的大小.考点十五：射影面积法求二面角例15．（2023·全国·高一专题练习）如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为_______.变式1．（2023·全国·高一专题练习）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．(1)证明：AB⊥平面PAD；(2)求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值．变式2．（2023·浙江·模拟预测）如图所示，正方形平铺在水平面上，先将矩形沿折起，使二面角为30°，再将正方形沿折起，使二面角为30°，则平面与平面所成的锐二面角的正切值是（

）A． B． C． D．考点十六：由二面角大小求其他量例16．（2023春·广东广州·高一广州市天河中学校考期中）如图1，在平行四边形ABCD中，，将沿BD折起，使得点A到达点P，如图2．

(1)证明：平面平面PAD；(2)当二面角的平面角的正切值为时，求直线BD与平面PBC夹角的正弦值．变式1．（2023春·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）如图，四棱锥的底面是正方形，底面，是上一点.(1)求证：平面平面；(2)当的值为多少时，二面角的大小为.变式2．（2023春·河南安阳·高一安阳一中校考阶段练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折为，若F为线段的中点．在翻折过程中，(1)求证：平面；(2)若二面角，求与面所成角的正弦值.变式3．（2023·高一课时练习）如图，在中，，，且，分别为，的中点．现将沿折起，使点到达点的位置，连接，，为的中点，连接．(1)证明：平面；(2)若二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．考点十七：直接法求点面距例17．（2023·高一课时练习）如图，在长方体中，已知，，，则点到上底面的距离为（

）A．4 B．2 C． D．3变式1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，，，，，，则点P到平面ABCD的距离为（

）A． B． C．2 D．变式2．（2023春·山西晋中·高一校考阶段练习）已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的体积为，则到平面的距离为（

）A． B． C． D．考点十八：转化法求点面距例18．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）在三棱柱中，是棱长为的正四面体，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．变式1．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知四棱锥的底面是正方形，，是棱上任一点．

(1)求证：平面平面；(2)若，求点到平面的距离．考点十九：等体积法求点面距例19．（2023春·贵州贵阳·高一贵阳市民族中学校联考阶段练习）如图在棱长为的正方体中，是上一点，且平面.

(1)求证：为的中点；(2)求点到平面的距离．变式1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第四中学校校考期中）如图，，，，点C是OB的中点，绕OB所在的边逆时针旋转一周.设OA逆时针旋转至OD时，旋转角为，.

(1)求旋转一周所得旋转体的体积V和表面积S；(2)当时，求点O到平面ABD的距离.变式2．（2023春·广东江门·高一江门市第一中学校考期中）如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形的中心，平面，，分别为，的中点．(1)求证：平面平面；(2)若，求点到平面的距离；(3)若，求直线与平面所成角的余弦值．变式3．（2023春·山东滨州·高一山东省北镇中学校联考阶段练习）如图①，在梯形中，，，，将沿边翻折至，使得，如图②，过点作一平面与垂直，分别交于点．

(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．1．【多选】（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（

）．A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为C． D．的面积为2．（2023·北京·统考高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（

）

A． B．C． D．3．（2023·全国·统考高考真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．

(1)证明：；(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．5．（2023·天津·统考高考真题）三棱台中，若面，分别是中点.

(1)求证：//平面；(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离．6．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.一、单选题1．（2023秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考阶段练习）点为平面外的一个点，点是棱上的动点（包含端点），记异面直线与所成角为，直线PM与平面所成角为，则（

）A． B． C． D．2．（2023春·全国·高一专题练习）如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝（

）A．3 B．4C．5 D．63．（2023秋·北京海淀·高二校考阶段练习）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马中，侧棱底面，且，，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．4．（2023秋·高二课时练习）平面的一条斜线和这个平面所成的角的范围是（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则D1A与平面ABCD所成的角为（

）A．45° B．60° C．90° D．135°6．（2023·全国·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，、为线段上的两个动点（不包括端点），且满足，以下结论正确的个数是（

）（1）；（2）平面；（3）二面角的大小为定值；（4）四面体的体积为定值.A．4个 B．3个 C．2个 D．1个7．（2019秋·广东佛山·高二佛山市顺德区郑裕彤中学校考期中）已知正方体棱长为，则点到平面的距离为（）A． B． C． D．8．（2023·全国·高一专题练习）在四棱锥中，平面，四边形ABCD为矩形，，PC与平面所成的角为，则该四棱锥外接球的体积为（）A． B． C． D．9．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）已知平面与平面所成二面角的平面角为，球与平面相切于点，则过球心与平面均成的直线有（

）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条二、多选题10．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，是边长为的正三角形，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，E是棱的中点，则（

）A． B．C．平面截四棱锥的外接球所得截面的面