6.2-矩阵(部编)课件

6.2矩阵6.2.1矩阵的概念及其基本运算例6.2.2

由m个方程组成的n元线性方程组未知元的系数及常数项按原来的位置也可以排成一张数表它是一个矩阵，这个矩阵可以明确地把线性方程组的特征表示出来。排成一个并用方括号（或圆括号）括起来的数表称为简称矩阵，其中称为矩阵的第元素记作几种特殊矩阵：（1）当时，称矩阵

为阶方阵，简称方阵；（2）形如（含主对角线）的元素不全为零，其它元素都为零）（即主对角线上方的n阶方阵称为上三角矩阵；（3）形如的n阶方阵称为下三角矩阵。上三角矩阵、下三角矩阵统称为三角矩阵．（4）形如的n阶方阵称为对角矩阵，我们常把对角矩阵记作（5）主对角线上元素是1，其余元素全部是零的n阶方阵称为n阶单位矩阵，记作En或E；（6）当m=1时，只有一行称之为行矩阵，因为它是一有序数组，故又称为行向量；（7）当n=1时，矩阵只有一列称之为列矩阵，也称为列向量.（8）当时，称之为零矩阵，一般记为。以后将会发现，零矩阵在矩阵运算中的作用相似于数中的“0”。2．矩阵的基本运算（1）矩阵相等如果两个矩阵的行数和列数分别相同，而且各对应元素相等,即（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n），则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B。

如a11=1,a12=0,a13=9,a21=-3,a22=1,a23=-3。(2)矩阵的加法设

A=（aij），B=（bij）是两个m×n矩阵，规定：即矩阵A+B的元素为A与B相对应的元素之和。称矩阵A+B为A与B的和。矩阵的减法运算.称矩阵A—B为A与B的差．注意：只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加减法运算．（3）矩阵的数乘设k是任意一个实数，矩阵规定：称该矩阵为数k与矩阵A的数量乘积，或称之为矩阵的数乘。例6.2.4

设两个3×2矩阵A，B为，求5A-4B。

解先做矩阵的数乘运算5A和4B，然后求矩阵5A和4B的差，因为所以例6.2.5

已知矩阵且A+2X=B，求矩阵X.解由A+2X=B，得（4）矩阵的乘法一般的，设A是一个m×s矩阵，B是一个s×n矩阵，即规定A与B的乘积是一个m×s矩阵，其中例6.2.7

设矩阵求AB与BA。解：例6.2.8设矩阵求AC和BC.解

注：不能从AC=BC中消去矩阵C而得到A=B。（5）矩阵的转置将一个m×n矩阵的各行换成同序数的列（或者将各列换成同序数的行）所得到的n×m矩阵，称为A的转置矩阵，记为（或），即例6.2.9

已知解法一

解法二

（6）对称矩阵如果矩阵A=(aij)满足：A=

，即它的第i行第j列的元素与第j行第i列的元素相同，即aij=aji（i，j=1,2,…,n），则称A是对称矩阵。显然，对称矩阵一定是方阵.例如矩阵就是一个四阶对称矩阵。6.2.2逆矩阵1.逆矩阵的概念与性质设有n

阶方阵A，若存在n阶方阵B，满足则称B为A的逆矩阵（也称矩阵A是可逆的），记为即逆矩阵的性质：性质1

若存在，则必唯一。性质2若A可逆，则也可逆，且性质3

若A可逆，则可逆，且性质4若同阶方阵A、B都可逆，则AB也可逆，且推广：2．利用伴随矩阵求逆矩阵由n阶方阵的行列式中元素的代数余子式构成的n阶方阵的转置矩阵，称为A的伴随矩阵，记作，而类似的，也成立。因为故有从而例6.2.10

判断下列方阵是否可逆?若可逆，求其逆阵。解因为所以A可逆。于是而所以B不可逆。所以B不可逆。例6.2.11

求解矩阵方程组中的未知矩阵X，其中分析：若存在，则用分别同时左乘等式的两端，可得：即得矩阵方程的解由例6.2.10已解出则6.2.3矩阵的初等行变换1.矩阵的初等行变换矩阵经过了如下三种变换：（1）互换变换：对换矩阵的两行，常用表示第i行和第j行的互换；（2）倍乘变换：用一个非零数乘矩阵的某一行；常用表示数k乘矩阵第I行；（3）倍加变换：将矩阵某一行的k倍加到另一行上，常用表示第i行的k倍加到第j行。称矩阵的上述三种变换为矩阵的初等行变换。2．利用初等行变换求逆矩阵线性方程组有唯一解，此时，从矩阵的初等行变换的角度看，用消元法求解线性方程组的过程，可表示为例6.2.12

设用初等变换法求解

所以例6.2.13

解矩阵方程AX=B，其中解：所以3．利用初等行变换求矩阵的秩设A是一个m×n矩阵，在A中位于任意选定k行k列交点上的

个元素，按原来的相对位置组成的k阶行列式，称为A的一个k阶子式，其中k≤min(m,n).矩阵它的第一、二、三行与第一、二、四列交点上的9个元素按原来次序组成的三阶行列式是A的一个三阶子式。它的第一、二、三、四行与第二、三、四、五列交点上的16个元素按原来次序组成的三阶行列式就是A的一个四阶子式。一般的，我们称矩阵A中非零的最高阶子式的阶数称为矩阵的秩，记为R(A)=r。A的秩就为R(A)=3。显然，零矩阵O的秩为零，即R(O)=0若A是n阶方阵，且R(A)=