山东省青岛市青岛大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

2023－2024学年度第二学期期末阶段性检测八年级数学试题（考试时间：120分钟；满分：120分）一、选择题（本题满分27分，共有9道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意；B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意；D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意；故选：D．2.若关于x的不等式2x－a≤－1的解集是x≤－1，则a的值是()A.0 B.－3 C.－2 D.－1【答案】D【解析】解：移项得：，系数化为1，得：，∵不等式的解集，，解得：a=−1，故选D．3.下列分解因式正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．A.，故A选项错误；B.，故B选项错误；C.，故C选项正确；D.=（x-2）2，故D选项错误，故选C.【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．4.如图，将绕点逆时针旋转得到，与相交于点，若且是以线段为底边的等腰三角形，则的度数为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，由旋转的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，求出，根据即可得出答案．解：将绕点逆时针旋转得到，，，又是以线段为底边等腰三角形，，，，．故选：B．5.如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，则平行四边形周长为（）A.10 B.18 C.16 D.20【答案】D【解析】【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，平行线的性质，等边对等角，平行四边形的性质，由角平分线的定义结合平行线的性质得出，由等边对等角得出，求出，即可得出答案．解：由作图可得：平分，∴，∵四边形是平行四边形，∴，，，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴平行四边形周长为，故选：D．6.若关于x的分式方程有增根，则a的值为（）A. B.4 C. D.2【答案】B【解析】【分析】将方程的第二个分母提取-1变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出a的值．解：方程变形得：，去分母得：x+x-a=x-2，解得：x=a-2，∵方程有增根，∴x=2，即a-2=2，解得：a=4，故选：B．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．7.已知点，，将线段平移至，点的对应点在x轴上，点B的对应点在y轴上，点的横坐标为a，点的纵坐标为b，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了坐标与图形的平移变换，掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减是解题的关键．根据点的对应点在x轴上得出纵坐标变化的规律，根据点B对应点在y轴上得出横坐标变化的规律，再根据平移规律解答即可．解：∵将线段平移至，点的对应点在x轴上，点B的对应点在y轴上，∴点的纵坐标为0，点的横坐标为0，∵点，，∵点的纵坐标减3得点的纵坐标，点的横坐标加5得点的横坐标，根据平移可得点的横坐标加5得点的横坐标，点的纵坐标减3得点的纵坐标，

∴，，

∴，

故选：C．8.我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论．解：，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．9.定义：若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，那么就称这个正整数为“明德数”．如：，，，因此1，3，5这三个数都是“明德数”．则介于1到200之间的所有“明德数”之和为()A.10000 B.40000 C.200 D.2500【答案】A【解析】【分析】列出算式，根据数字所呈现的规律得出答案．解：介于1到200之间的所有“明德数”之和为：（1202）+（2212）+（3222）+…+（992982）+（1002992）=1202+2212+3222+4232+…+992982+1002992=1002=10000；【点睛】本题考查有理数的运算，平方差公式的应用，掌握有理数运算法则是正确计算的前提．二、填空题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）10.当x=______时，分式的值等于零．【答案】3【解析】∵分式的值为0，∴，解得：．故答案．【点睛】点睛：使分式的值为0，分式中字母的取值需同时满足两个条件：（1）使分母的值不等于0；（2）使分子的值等于0．11.一个正多边形的一个内角比它的外角的2倍多60°，则它的边数是_____．【答案】9【解析】【分析】设这个正多边形的外角度数为x度，根据“一个内角比它的外角的2倍多60°”建立方程求出x，再用360度除以x即可解答．设这个正多边形的外角度数为x度，则2x+60+x＝180，解得：x＝40，即这个正多边形的外角度数为40°，∴它的边数为360°÷40°＝9，故答案为9．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是掌握多边形的内角和、外角和定理等性质．12.如图，已知直线与相交于点，则关于的不等式的解集是________【答案】【解析】【分析】本题考查了一次函数的交点与不等式的解集，根据两直线的交点坐标为，即可得出答案．解：∵直线与相交于点，∴，即的解集是，故答案为：．13.正六边形ABCDEF与平行四边形GHMN的位置如图所示，若，则的度数是__________°．【答案】42【解析】【分析】先根据正六边形的内角和可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据平行四边形的性质和平行线的性质即可得．解：六边形是正六边形，，，，四边形是平行四边形，，，，故答案为：42．【点睛】本题考查了正六边形的内角和、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握正六边形的内角和是解题关键．14.中山公园有很多长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图长方形草地长为米，宽为米，非阴影部分为米宽的小路，沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为________．【答案】米【解析】【分析】本题考查了图形平移，利用平移的性质即可．解：将小路往边平移，直到小路与草地的边重合则所走的路线（图中虚线）长为：（米）故答案为：米．15.为了进一步优化环境，某区计划对长3000米的河道进行整治，原计划每天修x米，为减少施工对居民生活的影响，实际施工时，每天的工作效率比原计划提高20%，那么实际整治这段河道的工期比原计划缩短了__________天．（结果化为最简）【答案】【解析】【分析】根据原计划完成的天数-实际完成的天数=缩短的工期天数，解答即可．】解：根据题意，得：（天），故答案为：．【点睛】本题考查了分式的运用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出分式，注意化简．16.如图是五四广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推．第n层中含有________块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）．现打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形和420块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，最多能铺________层．【答案】①.②.8【解析】【分析】本题考查了图形类规律探索、无理数的估算，根据图案总结出规律即可得出第层有块正三角形地板砖，表示出铺设层需要正三角形地板砖的数量为，令，求出的值并估算出大小，即可得出答案．解：∵第一层有块正三角形地板砖，第二层有块正三角形地板砖，…，∴第层有块正三角形地板砖，∵（层），∴150块正方形地砖可以铺设这样的图案层，∵铺设层需要正三角形地板砖的数量为，∴，解得：，∵，∴，即，∴420块正三角形地板砖可以铺设这样的图案层，故答案为：，．三、解答题（本题满分72分）17.作图题：请用直尺和圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹已知，线段，直线及外一点，求作：，使，，且点在直线上．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了基本作图—作垂线，作三角形，等腰三角形的性质，先作线段的中垂线，再作，以为圆心，线段的长度为半径画弧交于、，连接、，即为所求．解：①作线段的中垂线，②过点作直线的垂线，③确定两点，④连接，如图，即为所作，．18.（1）因式分解：；（2）解分式方程：；（3）解不等式组，并写出所有的整数解；（4）化简：，并在，1，3三个数中选取一个合适的数值作为a的值，求出化简后的值．【答案】（1）；（2）无解；（3），整数解为，，；（4）化简得，求值得【解析】【分析】本题考查了因式分解，解分式方程，解不等式组，分式的化简求值，熟练掌握这些题运算步骤和方法是解题的关键．（1）先提取公因式，再完全平方公式因式分解即可；（2）按步骤解分式方程，注意验根即可；（3）分别解两个不等式，即可求解；（4）先化简分式，注意分式中分母不为0，排除，1，代入3即可．解：（1）；（2），去分母，得：，去括号，得：，移项，得：，合并，得：，系数化为1，得：，检验，当时，原分式方程的分母，无意义，∴分式方程无解；（3），解不等式①，得：，解不等式②，得：，∴不等式组的解集为：，其整数解：，，；（4），∵，，∴，，∴只能取3，代入得：原式．19.如图，中，平分，在垂直平分线上，于，于．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质证明≌，进而可得结论；（2）根据题意可以证明≌，可得，进而利用线段的和差即可推得结论．【小问1】如图，连接，，点在垂直平分线上，，又平分，于，于，，，在和中，，≌，；【小问2】由（1）中，，在和中，，≌，，

，，，又由（1）中知，，，的长为．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质．20.小丽有慢跑的习惯，她常使用某种运动软件来记录她的跑步数据．下面是她4次慢跑的具体数据．千米数4.005.005.506.00总热量（大卡）240300330360速度8.578.578.648.61如你所见，她的慢跑速度相对稳定，基本不变．我们把小丽跑步的千米数记为，把她在此过程中消耗的总热量记为（大卡）．（1）根据上述表格提供的数据，在下面的平面直角坐标系中描点、连线．按照这4次的规律，求：与之间的函数关系式；（2）某日，小丽购买面包和酸奶共计8件食品，已知每袋面包产生110大卡的热量，每杯酸奶产生50大卡的热量．她要跑步才能将这8件食品所产生的热量全部消耗掉．跑步，她消耗的总热量是多少大卡？她最多购买了几袋面包？请说明你的理由．【答案】（1）图见解析，（2）小丽跑步，她消耗的总热量是卡；她最多购买了袋面包；理由见解析【解析】【分析】本题考查了画函数图象、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确求出函数解析式是解此题的关键．（1）描点、连线即可得出函数图象，利用待定系数法即可求出函数解析式；（2）当时，，即小丽跑步，她消耗的总热量是卡，设她购买了袋面包，则购买了包酸奶，根据题意得出不等式，解不等式即可得出答案．【小问1】解：描点、连线如图所示：，设解析式为，将，代入解析式得，解得：，∴与之间的函数关系式为；【小问2】解：当时，，即小丽跑步，她消耗的总热量是卡，设她购买了袋面包，则购买了包酸奶，由题意得：，解得：，∵为整数，∴她最多购买了袋面包．21.已知：如图，在四边形ABCD中，，，点是CD的中点．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）若，，求四边形ABCE的面积．【答案】（1）详见解析；（2）8【解析】【分析】（1）可证得AB∥EC，AB=EC，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判断；（2）利用勾股定理可求得CD的长，继而求得AB的长，即可求出四边形ABCE的面积．（1）∵，∴AB∥EC，∵点是CD的中点，∴，∵，∴AB=EC，∴四边形ABCE是平行四边形；（2）∵，，，∴，∵，∴AB=2，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，平行四边形的面积计算，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．22.今年荆州马拉松比赛召开前，某体育用品专卖店抓住商机，计划购进两种跑鞋共双进行销售．已知元全部购进种跑鞋数量是全部购进种跑鞋数量的倍，种跑鞋的进价比B种跑鞋的进价每双多元，两种跑鞋的售价分别是每双元，元．（1）求两种跑鞋的进价分别是多少元？（2）该体育用品专卖店根据以往销售经验，决定购进种跑鞋的数量不多于种跑鞋的，销售时对种跑鞋每双降价出售．若这批跑鞋能全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？【答案】（1）种跑鞋进价为元双，种跑鞋的进价为元双；（2）购进种鞋双，种鞋双，可获利润最大，最大利润为元．【解析】【分析】（）设种跑鞋的进价为元双，则种跑鞋进价为元双，根据题意，列出分式方程，解方程即可求解；（）设种鞋购进双，则种鞋购进双，根据题意求出取值范围，设获利元，求出与一次函数，再根据一次函数的性质解答即可求解；本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，正确列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键．【小问1】解：设种跑鞋的进价为元双，则种跑鞋进价为元双，由题意得，，解得，经检验是原方程的解，∴种跑鞋进价为元双，种跑鞋的进价为元双；【小问2】解：设种鞋购进双，则种鞋购进双，则，解得，设获利元，则，∵，随的增大而增大，∴当时，取得最大，元，即购进种鞋双，种鞋双，可获利润最大，最大利润为元．23.【图形定义】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．类似的，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．例如：如图1，在四边形中，点是的中点，点是的中点，是四边形的中位线．【方法探究】如图2，已知是的中位线，以点为中心将旋转得到，可证．【方法应用】（1）如图3，是梯形的中位线．若，则；若，，且，则．（2）如图4，是四边形的中位线．若，与不平行，则的取值范围是；若，且，与不平行，则的取值范围是．（3）如图5，在五边形中，，，，若点分别是边的中点，则线段的长是．【答案】（1），（2），（3）7【解析】【分析】（1）以为中心，将梯形旋转得到梯形，则，，，且四边形、，都是平行四边形，易得，代入计算即可得出答案；（2）以为中心，将梯形旋转得到梯形，连接，，，，，则四边形、，都是平行四边形，则，，，，在中得（、、在同一直线上时，等号成立），从而得出，即，代入计算即可得出答案；（3）连接，以为中心，将梯形旋转得到梯形，连接，，则四边形、，都是平行四边形，则，，，作交的延长线于，求出，，从而得出，由勾股定理得出的长，即可得出答案．【小问1】解：如图，以为中心，将梯形旋转得到梯形，，则，，，且四边形、，都是平行四边形，∴，，∵，∴，若，则；若，，且，则；【小问2】解：如图，以为中心，将梯形旋转得到梯形，连接，，，，，则四边形、，都是平行四边形，，∴，，，，在中得（、、在同一直线上时，等号成立），∴，即，若，与不平行，则的取值范围是，即；若，且，与不平行，则的取值范围是；【小问3】解：如图，连接，以为中心，将梯形旋转