忻州市忻府区忻州实验中学校2022-2023学年七年级下学期期中数学试题【带答案】

忻州市实验中学2022-2023学年度第二学期期中学科素养监测七年级数学（人教版）满分120分，考试时间90分钟．第I卷选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑．1.不等式3+2x≥1的解在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】不等式移项，合并同类项，把x系数化为1求出解集，表示在数轴上即可．【详解】解：不等式3+2x≥1，移项得：2x≥1﹣3，合并同类项得：2x≥﹣2，解得：x≥﹣1，数轴表示如下：．故选：B．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．不等式的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点．2.下列图形是四所大学校徽的部分图案，其中是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；D．是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．3.若，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式基本性质，逐项判断即可．【详解】解：A、将m＞n两边都减去6得：m-6＞n-6，故此选项错误，不符合题意；B、将m＞n两边都除以6得：，故此选项正确，符合题意；C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，故此选项错误，不符合题意；D、将m＞n两边都乘以-6，得：-6m＜-6n，故此选项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．4.下列对△ABC的判断，不正确的是（）A.若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形B.若AB：BC：CA＝1：2：，则△ABC是直角三角形C.若AB＝BC，∠A＝60°，则△ABC是等边三角形D.若AB＝BC，∠C＝50°，则∠B＝50°【答案】D【解析】【分析】根据等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定以及三角形的内角和定理即可作出判断．【详解】解：A．若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，所以△ABC是直角三角形，故此选项正确，不符合题意；B．若AB：BC：CA＝1：2：，则12+()2=22，那么这个三角形是直角三角形，故此选项正确，不符合题意；C．若AB=BC，∠A=60°，则∠A=∠C=60°，∠B=60°，所以△ABC等边三角形，故此选项正确，不符合题意；D．若AB=BC，∠C=50°，则∠A=∠C=50°，∠B=80°，故此选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的判定以及等边三角形的判定．根据已知条件解出三角形中的角是解题的关键．5.如图，AD是△ABC的角平分线，∠C=28°，AB+BD=AC、将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，那么∠AED的度数为（）A.28° B.50° C.56° D.65°【答案】C【解析】【分析】根据折叠的性质可得BD=DE，AB=AE，然后根据AC=AE+EC，AB+BD=AC证得DE=EC，再根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解．【详解】解：根据折叠的性质可得BD=DE，AB=AE．∵AB+BD=AC，AC=AE+EC，∴AB+BD=AE+EC，∴DE=EC，∴∠EDC=∠C=，∴．故选：．【点睛】本题考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，证明DE=EC是本题的关键．6.如图，在平面直角坐标系中，将线段平移得到线段，若点的对应点为，则点的对应点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据点、的坐标确定出平移规律，然后求出点的坐标即可．【详解】解：点的对应点为，平移规律为向右3个单位，向上2个单位，点，对应点的横坐标为，纵坐标为，点的坐标为．故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形变化平移，观察图形以及点的坐标确定出平移规律是解题的关键．7.若不等式组的解集为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式组的解集结合口诀：“同小取小“确定m的取值范围即可．【详解】解：∵不等式组的解集为，根据同小取小可得，∴，∴的取值范围是．故选C．【点睛】本题主要考查不等式组的解集的确定，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．8.如图，一次函数的图象经过点P，与轴交于点，则满足不等式组的整数有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个【答案】A【解析】【分析】由图象可得：不等式组的解集为：，即可求解．【详解】解：由图象可得：不等式组的解集为：，∴整数有，，有2个，故选：A【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组的关系，利用数形结合思想求不等式组解集是解题的关键．9.如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（）A.点A B.点B C.点C D.点D【答案】B【解析】【分析】连接、、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交点为旋转中心．【详解】解：如图，绕某点旋转一定的角度，得到△，连接、、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，三条线段垂直平分线正好都过点，即旋转中心是．故选：B．【点睛】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．10.如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和点N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②；③点D在AB的中垂线上；④．其中正确的个数有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】B【解析】【分析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；②利用角平分线的定义可以推出∠CAD=30°，即可由含角的直角三角形的性质得出；③利用等角对等边可以证得△ADB为等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；④由②和③可推出，再结合三角形面积公式即可得出结论．【详解】解：根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①正确；如图，∵在中，，，∴．又∵AD是∠BAC的平分线，∴，∴，故②正确；∵，∴，∴点D在AB的中垂线上，故③正确；∵，∴，∵，，∴，故④错误．综上所述，正确的结论是：①②③，共有3个．故选B．【点睛】本题考查了角平分线的判定、线段垂直平分线的判定和性质、含角的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质．利用数形结合的思想是解题的关键．第II卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11.不等式的解集为___________．【答案】##【解析】【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【详解】解：去括号得：，移项、合并同类项得：，系数化为1得：，∴不等式的解集为，故答案为：．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．12.如图，在中，平分，，那么点到直线的距离是___________．【答案】2【解析】【分析】先求出的长，过点作于点，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得，从而得解．详解】解：如图，过点作于点，，，，，平分，，即点到直线的距离是．故答案：2．【点睛】本题考查了解平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关键．13.如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，若，则的大小是______．【答案】68°【解析】【分析】先根据旋转的性质得∠B=∠AB′C′，AC=AC′，∠CAC′=90°，则可判断△ACC′为等腰直角三角形，所以∠ACC′=∠AC′C=45°，然后根据三角形外角性质计算出∠AB′C′，从而得到∠B的度数．【详解】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′，∴∠B=∠AB′C′，AC=AC′，∠CAC′=90°，∴△ACC′为等腰直角三角形，∴∠ACC′=∠AC′C=45°，∴∠AB′C′=∠B′CC′+∠CC′B′=45°+23°=68°，∴∠B=68°．故答案为：68°．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．14.如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F处，如果∠AEF＝75°，那么∠BAF＝_______°．【答案】60【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠AFE=∠D=90°，∠EAF=∠DAE，再由∠AEF＝75°，可得∠EAF=15°，从而得到∠DAF=30°，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠AFE=∠D=90°，∠EAF=∠DAE，∠BAD=90°，∵∠AEF＝75°，∴∠EAF=90°-∠AEF=15°，∴∠DAE=15°，∴∠DAF=∠DAE+∠EAF=30°，∴∠BAF=∠BAD-∠DAF=60°．故答案为：60【点睛】本题主要考查了折叠问题，直角三角形两锐角互余，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，直角三角形两锐角互余是解题的关键．15.如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为（3a，﹣a＋8），则a＝_____．【答案】2【解析】【分析】根据尺规作图可知，点C在∠AOB角平分线上，所以C点的横坐标和纵坐标相等，即可以求出a的值．【详解】解：根据题目尺规作图可知，交点C是∠AOB角平分线上的一点，∵点C在第一象限，∴点C的横坐标和纵坐标都是正数且横坐标等于纵坐标，即3a=-a+8，得a=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了角平分线尺规作图，角平分线的性质，以及平面直角坐标系的知识，结合直角坐标系的知识列方程求解是解答本题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.解不等式组把它的解集表示在数轴上，并求出这个不等式组的整数解．【答案】，数轴见解析，整数解是2，3【解析】【分析】别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可，再找出解集范围内的整数即可．【详解】解：解不等式①，得′解不等式②，得表示在数轴上写出解集∴这个不等式组的整数解是2，3【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．17.如图，△ABC中，∠B=2∠C，E为BC上一点，且到A、C两点的距离相等．（1）尺规作图：作出点E的位置（保留作图痕迹）；（2）连接AE，求证：AB=AE．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】作线段AC的垂直平分线，交BC于点E，点E即为所求的点；(2)根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，再根据三角形外角的性质，可证得∠AEB=2∠C，由∠B=2∠C，可得∠AEB=∠B，据此即可证得结论．【小问1详解】解：如图：作线段AC的垂直平分线MN，交BC于点E，点E即为所求的点．【小问2详解】解：∵MN垂直平分AC，∴AE=CE，∴∠EAC=∠C，∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，∴AB=AE．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，作出线段AC的垂直平分线是解决本题的关键．18.如图1，图2，图3的网格均由边长为1的小正方形组成，图1是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这个“弦图”对勾股定理作出了证明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题．（1）图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是对称图形（填“轴”或“中心”）．（2）请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在图2，3的方格纸中设计另外两个不同的图案，画图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠，不必涂阴影；②图2中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形而不是中心对称图形；图3中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形．【答案】（1）中心（2）见解析【解析】【分析】（1）利用中心对称图形的意义得到答案即可；（2）①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠，是轴对称图形；②所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形．【小问1详解】图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是中心对称图形，故答案为：中心；【小问2详解】如图2是轴对称图形而不是中心对称图形；图3既是轴对称图形，又是中心对称图形．【点睛】本题考查利用旋转或轴对称设计方案，关键是理解旋转和轴对称的概念，按要求作图即可．19.如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，．求证：（1）；（2）．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得．再根据，得；

（2）利用角平分线性质证明，得到，再将线段进行转化．【小问1详解】证明：∵是的平分线，，，∴，在和中，，∴，∴；【小问2详解】证明：在与中，，∴，

∴，

∴．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．20.阅读理解：教材呈现：如图是某数学教材的部分内容．2.线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，是上任意一点，连接，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．已知：如图，，垂足点为，点是直线的任意一点，求证：．（1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（2）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点，垂足分别为，已知的周长为22，则的长为_________．（3）如图③，在中，分别是上任意一点，若，，则的最小值是_________．【答案】（1）见解析；（2）22；（3）．【解析】【分析】（1）根据证明即可；

（2）根据线段垂直平分线的性质定理证明，，那么的周长就转化为的长，

（3）根据等腰三角形的三线合一性质，可知是的垂直平分线，过点C作，垂足为点E，交于点P，此时，的值最小．【详解】（1）证明：如图①中，∴，在和中，∴∴．（2）∵的周长为22，∴，∵垂直平分线段，垂直平分线段，∴，，，∴．故答案为：22；（3）过点C作，垂足为点E，交于点P，

∵，，∴∴是的垂直平分线，∴，∴，此时的值最小，最小值为线段的长，在中，∴的面积∵，，∴，∴故答案为：【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．21.2022年翻开序章，冬奥集结号已吹响，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受人民喜爱．2021年十一月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”两款毛绒玩具，当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元．十二月售出了“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元．（1）求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；（2）已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为90元/个和60元/个．进入2022年一月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共600个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的2倍，且购进总价不超过43200元．为回馈新老客户，旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若一月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）“冰墩墩”销售单价为120元，“雪容融”的销售单价为80元；（2）“冰墩墩”购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元．【解析】【分析】（1）设“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为x，y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）设购进“冰墩墩”a个，则购进“雪容融”600a个，列出不等式组，求出的取值范围，根据一次函数的性质求解即可．【小问1详解】设“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为x，y元，根据题意得，，解得答：“冰墩墩”销售单价为120元，“雪容融”的销售单价为80元【小问2详解】设购进“冰墩墩”a个，则购进“雪容融”600a个，则，解得设一月份利润为w，则∵，∴当a取最小值时，w取最大值．∵，∴时，w的最大值为（元）．∴“冰墩墩”购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．22综合与探究：问题情境：数学课上，老师利用两块含角的全等三角尺进行图形变换操作探究，其中，．操作探究：（1）将两个三角尺按如图1的方式在