人教版八年级下册数学《期末测试卷》（含答案）

人教版数学八年级下学期

期末测试卷

学校班级姓名成绩

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

2019

1.若分式——有意义，则实数x的取值范围是（）

x-5

A.x>5B.x<5C.x=5D.xR5

2.平行四边形的一个内角为50。，它的相邻的一个内角等于（）

A.40°B.50°C.130°D.150°

3.边长为3cm的菱形的周长是()

A.15cmB.12cmC.9cmD.3cm

4.某市的夏天经常台风，给人们的出行带来很多不便，小明了解到去年8月16日的连续12个小时的风力变

化情况，并画出了风力随时间变化的图象（如图），则下列说法正确的是（）

风力度

—>

时间时

B.8时风力最小

C.在8时至12时，风力最大7级D.8时至14时，风力不断增大

5.点P（2,3）到y轴的距离是（）

A.3B.2C.1D.0

6.下列各点一定在函数y=3x-l的图象上的是（）

A.(1,2)B.(2,1)C.(0,1)D.(1,0)

7.如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,下列哪个条件不能判定aABCD是矩形的是（)

O

B

A.AC=BDB.OA=OBC.ZABC-900D.AB=AD

8.下列说法中正确是()

A.有一组对边平行的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

9.某校八年级甲、乙两班学生在一学期里的多次检测中,其数学成绩的平均分相等，但两班成绩的方差不等,

那么能够正确评价他们的数学学习情况的是()

A.学习近平一样

B.成绩虽然一样，但方差大的班里学生学习潜力大

C.虽然平均成绩一样,但方差小的班学习成绩稳定

D.方差较小的班学习成绩不稳定，忽高忽低

10.如图，点0(0,0),A(0,1)是正方形OAAiB的两个顶点，以OAi对角线为边作正方形OA1A2B1,再以

正方形的对角线0A2作正方形OA2A3B2,…，依此规律，则点A7的坐标是()

A.(-8,0)B.(8,-8)C.(-8,8)D.(0,16)

二、填空题(本大题共6小题，共24分)

11.2019°=.

12.某种细菌病毒的直径为0.00005米，0.00005米用科学记数法表示为米.

13.在一次函数y=(m-l)x+6中，y随x增大而增大，则m的取值范围是.

14.在某班的50名学生中，14岁的有2人，15岁的有36人，16岁的有12人，则这个班学生的平均年龄是

24

15.如图，两个反比例函数丫=-和)=—在第一象限内的图象依次是C2和Ci,设点P在Ci上，PC±x

XX

轴于点C,交C2于点A,轴于点。，交C2于点B,则四边形出OB的面积为一

16.如图，在口ABCD中，AD=2AB,F是AD的中点，作CE_LAB,垂足E在线段AB上，连接EF,CF,则

下列结论中一定成立的是.(把所有正确结论的序号都填在横线上)

(1)ZDFC+ZFEC=9O°；(2)ZB=ZAEF；(3)CF=EF；(4)SAFFC=

三、计算题(本大题共1小题，共8分)

1Q

17.先化简，再求值：----z--,其中x=2.

x—4x—16

四、解答题(本大题共8小题，共78分)

18.列方程或方程组解应用题：

为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸已

知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半;

如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型

纸每页的质量.(墨的质量忽略不计)

19.如图，已知。ABCD的对角线AC、BD相交于点0,其周长为16,且AAOB的周长比aBOC的周长小2,

求AB、BC的长.

20.某公司销售人员15人，销售经理为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如表所

示:

每人销售量/件1800510250210150120

人数113532

(1)这15位营销人员该月销售量的中位数是,众数是

(2)假设销售部负责人把每位销售人员的月销售额定为210件，你认为是否合理？如不合理，请你制定一个

较为合理的销售定额，并说明理由.

1T!

21.已知反比例函数y=一与一次函数y=kx+b的图象都经过点(-2,-1),且当x=3时这两个函数值相等.

x

(1)求这两个函数解析式；

m

(2)直接写出当x取何值时，一>依+b成立.

x

22.【知识链接】连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线.

【动手操作】小明同学在探究证明中位线性质定理时，是沿着中位线将三角形剪开然后将它们无缝隙、无

重叠的拼在一起构成平行四边形，从而得出：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

【性质证明】小明为证明定理，他想利用三角形全等、平行四边形的性质来证明.请你帮他完成解题过程(要

求：画出图形，根据图形写出已知、求证和证明过程).

23.如图，在aABC中，AB=10,BC=8,AC=6.点D在AB边上(不包括端点)，DE±AC,DF1BC,垂足

分别为点E和点F,连结EF.

(1)判断四边形DECF的形状，并证明；

(2)线段EF是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由.

24.如图，RtZXAOB中，ZOAB=90°,OA=AB,将RtZ\AOB放置于直角坐标系中，0B在x轴上，点0是

9

原点，点A在第一象限.点A与点C关于x轴对称，连结BC,0C.双曲线y=—(x>0)与0A边交于点

x

D、与AB边交于点E.

(1)求点D的坐标；

(2)求证：四边形ABCD是正方形；

(3)连结AC交OB于点H,过点E作EGJ_AC于点G,交0A边于点F,求四边形OHGF的面积.

(1)如图①，点P是aABC的一个动点，将4ABP绕着点B旋转得到ACBE.

①求证：4PBE等边三角形；

②若BC=5,CE=4,PC=3,求/PCE的度数；

(2)连结BD交AC于点0,点E在0D上且DE=3,AD=4,点G是4ADE内的一个动点如图②，连结AG,

EG,DG,求AG+EG+DG的最小值.

答案与解析

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

2019

1.若分式一有意义，则实数x的取值范围是（）

x-5

A.x>5B.x<5C.x=5D.x^5

【答案】D

【解析】

【分析】

根据分式有意义的条件：分母W0,即可求出结论.

【详解】解：若分式上^有意义，

X—5

则x-5/O,

解得:x/5.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件：分母羊0是解题关键.

2.平行四边形的一个内角为50。，它的相邻的一个内角等于（）

A.40°B.50°C.130°D.150°

【答案】C

【解析】

【分析】

利用平行四边形的邻角互补进而得出答案.

【详解】解：•.•平行四边形的一个内角为50。，邻角互补，

它的相邻的一个内角等于180。-50。=130。.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的邻角互补关系是解题关键.

3.边长为3cm的菱形的周长是（）

A.15cmB.12cmC.9cmD.3cm

【答案】B

【解析】

【分析】

由菱形的四条边长相等可求解.

【详解】解：：菱形的边长为3cm

.,.这个菱形的周长=4x3=12cm

故选：B.

【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键.

4.某市的夏天经常台风，给人们的出行带来很多不便，小明了解到去年8月16日的连续12个小时的风力变

化情况，并画出了风力随时间变化的图象（如图），则下列说法正确的是（）

C.在8时至12时，风力最大为7级D.8时至14时，风力不断增大

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数图象可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决.

【详解】解：由图象可得，

20时风力最小，故选项A正确，选项B错误，

在8时至12时，风力最大为4级，故选项C错误，

8时至11时，风力不断增大，II至12时，风力在不断减小，在12至14时，风力不断增大，故选项D错误,

故选：A.

【点睛】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

5.点P（2,3）到y轴距离是（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【解析】

【分析】

根据点的到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答.

【详解】解：点P(2,3)到y轴的距离为2.

故选：B.

【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点的到y轴的距离等于横坐标的绝对值，到x轴的距离等于纵坐标的绝

对值是解题的关键.

6.下列各点一定在函数y=3x-l的图象上的是()

A.(1,2)B.(2,1)C.(0,1)D.(1,0)

【答案】A

【解析】

【分析】

分别把x=l、2、0代入直线解析式，计算出对应的函数值，然后根据一次函数图象上点的坐标特征进行判

断.

【详解】解：A、当x=l时，y=2,故选项正确；

B、当x=2时，y=5声1,故选项错误；

C^当x=0时，y—1^1,故选项错误；

D、当x=l时，y=2#),故选项错误；

故选：A.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式，将点的横坐

标代入解析式求出函数值判断是否等于纵坐标是解决此题的关键.

7.如图，在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,下列哪个条件不能判定。ABCD是矩形的是()

A.AC=BDB.OA=OBC.NABC=90°D.AB=AD

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质，矩形的判定方法即可一一判断即可.

【详解】解：•••四边形ABCD是平行四边形，

：AC=BD,

ABCD是矩形，故A正确；

..四边形ABCD是平行四边形,

.\AO=OC,BO=OD,

VOA=OB,

，AC=BD,

ABCD是矩形，故B正确；

•..四边形ABCD是平行四边形，

ZABC=90°,

ABCD是矩形，故C正确；

•.•四边形ABCD是平行四边形，

：AB=AD,

ABCD是菱形，故D错误.

故选：D.

【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键.

8.下列说法中正确的是（）

A.有一组对边平行的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

【答案】C

【解析】

【分析】

运用正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定可求解.

【详解】解：A、有一组对边平行的四边形不一定是平行四边形（如梯形），故该选项错误；

B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（如梯形的对角线也可能垂直），故该选项错误；

C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项正确；

D、对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形（如菱形），故该选项错误；

故选：C.

【点睛】本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定，灵活运用这些判定定理是解

决本题的关键.

9.某校八年级甲、乙两班学生在一学期里的多次检测中，其数学成绩的平均分相等，但两班成绩的方差不等,

那么能够正确评价他们的数学学习情况的是（）

A.学习近平一样

B.成绩虽然一样，但方差大的班里学生学习潜力大

C.虽然平均成绩一样,但方差小的班学习成绩稳定

D.方差较小的班学习成绩不稳定，忽高忽低

【答案】C

【解析】

分析：由题意知数学成绩的平均分相等，但他们成绩的方差不等，数学的平均成绩一样，说明甲和乙的平

均水平基本持平，方差较小的同学，数学成绩比较稳定，选择学生参加考试时，还要选方差较小的学生.

解答：解：•••数学成绩的平均分相等，但他们成绩的方差不等，

数学的平均成绩一样，说明甲和乙的平均水平基本持平，

方差较小的同学，数学成绩比较稳定，

故选C.

10.如图，点0(0,0),A(0,1)是正方形OAAiB的两个顶点，以OAi对角线为边作正方形OA1A2B1,再以

正方形的对角线OA2作正方形OA2A3B2,…，依此规律，则点A7的坐标是()

A.(-8,0)B.(8,-8)C.(-8,8)D.(0,16)

【答案】C

【解析】

【分析】

根据正方形的性质,依次可求A2(2,0),A3(2,2),A4(0,-4),A5(-4,-4),A6(-8,0),A7(-8,8).

【详解】解：；O(0,0),A(0,1),

1),

正方形对角线OA|=J5,

.,.OA2=2,

；.A2(2,0),

；.A3(2,2),

OA3—2\p2.，

/.OA4=4,

*••A4(0,-4),A5(-4,-4),A6(-8,0),A7(-8,8)；

故选：C.

【点睛】本题考查点的规律；利用正方形的性质，结合平面内点的坐标，探究An的坐标规律是解题的关键.

二、填空题(本大题共6小题，共24分)

11.2019°=.

【答案】1

【解析】

【分析】

任何不为零的数的零次方都为1.

【详解】任何不为零的数的零次方都等于L

•1-2019°=1

【点睛】本题考查零指数基，熟练掌握计算法则是解题关键.

12.某种细菌病毒的直径为0.00005米，0.00005米用科学记数法表示为米.

【答案】5x10-5

【解析】

【分析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axl(P,与较大数的科学记数法不同的是其所

使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】解：0.00005=5x10-5.

故答案为:5x10-5.

【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axl(yn,其中i<|a|<io,n为由原数左边起第一

个不为零的数字前面的0的个数所决定.

13.在一次函数y=(m-l)x+6中，y随x的增大而增大，则m的取值范围是.

【答案】m>l

【解析】

【分析】

由一次函数的性质可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围.

【详解】解：•••一次函数y=(m-l)x+6,若y随x的增大而增大，

.,.m-l>0,解得m>l,

故答案为：m>1.

【点睛】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键，即在y=kx+b中，当k>0

时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小.

14.在某班的50名学生中，14岁的有2人，15岁的有36人，16岁的有12人，则这个班学生的平均年龄是

【答案】15.2岁

【解析】

【分析】

直接利用平均数的求法得出答案.

【详解】解：：在某班的50名学生中，14岁的有2人，15岁的有36人，16岁的有12人，

这个班学生的平均年龄是：^（14x2+15x36+16x12）=15.2（岁）.

故答案为：15.2岁.

【点睛】此题主要考查了求平均数，正确掌握平均数的公式是解题关键.

24

15.如图，两个反比例函数），=-和5=—在第一象限内的图象依次是C2和Ci,设点P在Ci上，PCLx

XX

轴于点C,交C2于点A,PQJLy轴于点。，交C2于点B,则四边形以。B的面积为.

【答案】2

【解析】

【分析】

根据反比例函数k值的几何意义即可求解.

24

【详解】VC2：y=一过A,B两点，Ci：y=一过P点

xx

SAACO=SABOD=1,S矩杉DPCO=4,

Sma®PAOB=4-[-1=2

【点睛】此题主要考查反比例函数的图像和性质，解题的关键是熟知反比例函数k值的几何意义.

16.如图，在QABCD中，AD=2AB,F是AD的中点，作CELAB,垂足E在线段AB上，连接EF,CF,则

下列结论中一定成立的是.（把所有正确结论的序号都填在横线上）

(1)ZDFC+ZFEC=90；⑵；

°NB=NAEF(3)CF=EF;(4)SAEFC=|SABDC

【解析】

【分析】

分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定得出4AEF丝△DMF,得出角、线段之间关系，得出⑴(3)

成立，(2)不成立；再由梯形面积和平行四边形面积关系进而得出(4)不成立.

【详解】解：是AD的中点，

；.AF=FD,

:在DABCD中，AD=2AB,

；.AF=FD=CD,

，NDFC=NDCF,

：AD〃BC,

/DFC=NFCB,

ZDCF=ZBCF,

延长EF,交CD延长线于M,如图所示：

•.•四边形ABCD是平行四边形，

•；F为AD中点，

.\AF=FD,

在4AEF和△DFM中,

ZA=NFDM

<AF=DF

ZAFE=ZDFM

：.AAEF^ADMF(ASA),

；.FE=MF,ZAEF=ZM,

VZB=ZADC>ZM,

.,.ZB>ZAEF,(2)不成立;

VCE±AB,

.,.ZAEC=90°,

ZAEC=ZECD=90°,

VFM=EF,

，CF=EF,(3)成立;

NFEC=NFCE,

,/ZDCF+ZFEC=90°,

ZDFC+ZFEC=90°,(1)成立；

•••四边形ADCE的面积='(AE+CD)xCE,F是AD的中点,

2

._1

••SAEFC——Swa®ADCE,

2

.._1_1

•SABDC——S平行四边防ABCD=—CDxCE,

22

S&EFC^—SABDC.(4)不成立；

2

故答案为：(1)(3).

【点睛】此题主要考查了平行四边形性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识,

证出4AEF丝ADNIF是解题关键.

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

1Q

17.先化简，再求值：一7--±7,其中x=2.

x-4x-16

【解析】

【分析】

根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题.

[8

【详解】解:

X-4-X2-16

1__________8

"x-4-(x+4)(x-4)

x+4-8

-(x+4)(x-4)

x-4

=(x+4)(x-4)

1

x+4

当x=2时，原式=-—=—

2+46

【点睛】本题考查分式化简求值，解答本题的关键是明确分式的基本性质和减法法则.

四、解答题(本大题共8小题，共78分)

18.列方程或方程组解应用题：

为了响应"十三五'’规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”.已

知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半;

如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型

纸每页的质量.(墨的质量忽略不计)

【答案】3.2克.

【解析】

【分析】

设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为(x+0.8)克，然后根据“双面打印，用纸将减

少一半，，列方程，然后解方程即可.

【详解】解：设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为(x+0.8)克，根据题意，得：

400.160

-----------—2x-----,

x+0.8x

解得:x=3.2,

经检验：x=3.2是原分式方程的解，且符合题意.

答：A4薄型纸每页的质量为3.2克.

【点睛】本题考查分式方程的应用，掌握题目中等量关系是关键，注意分式方程结果要检验.

19.如图，已知。ABCD的对角线AC、BD相交于点O,其周长为16,且aAOB的周长比aBOC的周长小2,

求AB、BC的长.

AD

a

BC

【答案】AB=3,BC=5

【解析】

【分析】

根据平行四边形对边相等可得BC+AB=8,根据△AOB的周长比△BOC的周长小2可得BC-AB=2,再解即

可.

【详解】解：；cABCD的对角线AC、BD相交于点0,其周长为16,

.\0A=0C,0B=0D,AB=CD,AD=CB,

BC+AB=8①；

VAAOB的周长比△BOC的周长小2,

/.OB+OC+BC-(OA+OB+AB)=2,

BC-AB=2②，

①+②得：2BC=10,

，BC=5,

；.AB=3.

【点睛】此题主要考查了平行四边形性质，解决此题的关键是掌握平行四边形两组对边分别相等，对角

线互相平分.

20.某公司销售人员15人，销售经理为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如表所

/1＞：

每人销售量/件1800510250210150120

人数113532

(1)这15位营销人员该月销售量的中位数是众数是；

(2)假设销售部负责人把每位销售人员的月销售额定为210件，你认为是否合理？如不合理，请你制定一个

较为合理的销售定额，并说明理由.

【答案】(1)210,210；(2)合理，理由见解析

【解析】

【分析】

(1)根据中位数和众数的定义求解;

(2)先观察出能销售210件的人数为能达到大多数人的水平即合理.

【详解】解：(1)按大小数序排列这组数据，第7个数为210,则中位数为210；

210出现的次数最多，则众数为210；

故答案为：210,210；

⑵合理；

因为销售210件的人数有5人，210是众数也是中位数，能代表大多数人的销售水平，所以售部负责人把每

位销售人员的月销售额定为210件是合理的.

【点睛】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,

最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数

据按要求重新排列，就会出错.

rn

21.已知反比例函数y=一与一次函数y=kx+b的图象都经过点(-2,-1),且当x=3时这两个函数值相等.

x

(1)求这两个函数的解析式；

(2)直接写出当x取何值时，丝>"+匕成立.

X

I12

【答案】(1)一次函数的解析式为y=—x--；反比例函数解析式为丁=一；(2)xV-2或0VXV3

33x

【解析】

【分析】

⑴先把点(2-1)代入y=一，求出反比例函数解析式；再把x=3代入求出y的值，把点(-2,-1)和x=3时y

x

的值代入一次函数解析式即可求出一次函数的解析式；

(2)找出反比例函数在一次函数图象上方对应的自变量的取值范围即可.

m

【详解】解：•・•反比例函数y二—的图象经过(-2,⑴,

x

m

-1=—，即m=2，

-2

，反比例函数解析式为y=2；

X

当x=3时,y=—.

2

把(-2,-1)、(3,§)代入y=kx+b,

[-2k+b=-\

得《

3k+b^-

3

k=L

3

解得《

b=--

3

，一次函数的解析式为-x--；

33

ni?

(2)；反比例函数y=一与一次函数y=kx+b的图象交于点(-2,-1)、(3,—),

x3

由图象可知：当x<-2或0VxV3时，反比例函数在一次函数图象的上方,

.,.当x<-2或0<x<3时，一>kx+b成立.

x

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式,

函数图象上点的坐标特征，数形结合思想.正确求出两个函数的解析式和画出图象是解题的关键.

22.【知识链接】连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线.

【动手操作】小明同学在探究证明中位线性质定理时，是沿着中位线将三角形剪开然后将它们无缝隙、无

重叠的拼在一起构成平行四边形，从而得出：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

【性质证明】小明为证明定理，他想利用三角形全等、平行四边形的性质来证明.请你帮他完成解题过程(要

求：画出图形，根据图形写出已知、求证和证明过程).

【答案】见解析

【解析】

【分析】

作出图形，然后写出己知、求证，延长DE到F,使DE=EF,证明4ADE和4CEF全等，根据全等三角形

对应边相等可得AD=CF,全等三角形对应角相等可得NF=NADE,再求出BD=CF,根据内错角相等，两

直线平行判断出AB〃CF,然后判断出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论.

【详解】解：已知：如图所示，在AABC中，D、E分别是AB、AC的中点，

证明：延长DE到F,使DE=EF,连接CF,

•••点E是AC的中点，

；.AE=CE,

在4ADE和4CEF中，

AE=EC

<ZAED=NCEF,

DE=EF

.二△ADE畛△CEF(SAS),

，AD=CF,ZADE=ZF,

，AB〃CF,

:点D是AB的中点，

；.AD=BD,

BD=CF,

，BD〃CF,

四边形BCFD是平行四边形，

；.DF〃BC,DF=BC,

1

；.DE〃BC且QDE=—BC.

2

【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的证明、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，

掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

23.如图，在AABC中，AB=10,BC=8,AC=6.点D在AB边上(不包括端点)，DEXAC,DF1BC,垂足

分别为点E和点F,连结EF.

(1)判断四边形DECF的形状，并证明；

(2)线段EF是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由.

A

【答案】（1）四边形DECF是矩形，理由见解析；（2）存在，EF=4.8.

【解析】

【分析】

⑴根据勾股定理的逆定理得到AABC是直角三角形，ZC=90°,由垂直的定义得到/DEC=DFC=90。，于是

得到四边形DECF是矩形；

（2）连结CD,由矩形的性质得到CD=EF,当CDLAB时，CD取得最小值，即EF为最小值，根据三角形的

面积即可得到结论.

【详解】解：（1）四边形DECF是矩形，

理由：•.•在AABC中，AB=IO,BC=8,AC=6,

二BC2+AC2=82+62=102=AB2,

...△ABC是直角三角形，ZC=90°,

VDE±AC,DF±BC,

/DEC=DFC=90。，

...四边形DECF是矩形；

(2)存在，连结CD,

•••四边形DECF是矩形，

；.CD=EF,

当CD_LAB时，CD取得最小值，即EF为最小值,

I1

,/SAABC=-AB«CD=-AC«BC,

22

11

，-x10xCD=-x6x8,

22

，EF=CD=4.8.

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握矩形

的判定定理是解题的关键.

24.如图，RtZXAOB中，ZOAB=90°,OA=AB,将RlZXAOB放置于直角坐标系中，0B在x轴上，点0是

9

原点，点A在第一象限.点A与点C关于x轴对称，连结BC,0C.双曲线y=—(x>0)与0A边交于点

x

D、与AB边交于点E.

(1)求点D的坐标；

(2)求证：四边形ABCD是正方形；

(3)连结AC交OB于点H,过点E作EGJ_AC于点G,交0A边于点F,求四边形OHGF的面积.

9

【答案】(1)点D的坐标为(3,3)；(2)见解析；(3)

2

【解析】

【分析】

(1)由OA=AB,NOAB=90。可得出/AOB=/ABO=45。，进而可设点D的坐标为(a,a),再利用反比例函数

图象上点的坐标特征结合点D在第一象限，即可求出点D的坐标；

(2)由点A与点C关于x轴对称结合OA=AB可得出OA=OC=AB=BC,进而可得出四边形ABCO是菱形，

再结合/OAB=90。，即可证出四边形ABCO是正方形；

(3)依照题意画出图形，易证△AFGg^AAEG,进而可得出S四边彩OHGF=SAAOH-SAAFG=SAAOH-SAAEG,设点A的

99

坐标为(m,m),点E的坐标为(n,一),易证AG=GE,进而可得出2m-n=一,再利用二角形的面积公式结

nn

合SHii®OHGF=SAAOH-SAAEG>即可求出四边形OHGF的面积.

【详解】解：(1)：OA=AB,ZOAB=90°,

ZAOB=ZABO=45°,

・・・设点D的坐标为(a,a).

9

・・,点D在反比例函数y二一的图象上，

x

9

a=—,解得：a=±3.

a

•・•点D在第一象限，

a=3,

・•・点D的坐标为(3,3).

(2)证明：・・,点A与点C关于x轴对称,

AOA=OC,AB=BC.

XVOA=AB,

.'.OA=OC=AB=BC,

・・・四边形ABCO是菱形.

XVZOAB=90°,

・•・四边形ABCO是正方形.

(3)依照题意，画出图形，如图所示.

c

VEG1AC,

JZAGE=ZAGF=90°.

・・•四边形ABCO是正方形,

AAC1OB.

VOA=AB,

:.ZFAG=EAG.

在aAFG和4AEG中，

ZAGF=AAGE

<AG=AG,

ZFAG=ZEAG

AAFG^AAEG(ASA),

Si>qa®OHGF=SAAOH-SAAFG=SAAOH-SAAEG•

，-9

设点A的坐标为(m,m),点E的坐标为(n,—).