比较用高斯定理和库仑定律求解静电场的优劣

电磁场研究性课题报告研究题目：比拟用高斯定理和库仑定律求解静电场的优劣。1.应用库仑定律求解静电场库伦定律是静电现象的根本实验定律，它表述为：真空中静止点电荷Q对另一静止点电荷Q的作用力是8.854×10-12法／米，为Q到Q’的矢量，两个电荷之间的作用是通过电场来传递的，所谓电场是一个电荷Q周围空间存在着的一种特殊物质，另一电荷Q’处于该窄间内就受其作力．由库伦定律可知，Q’所受的力与Q’成正比，我们一个正的单位试验电荷在电场中所受的力来定义试验电荷所在点的电场强度E。假假设空问有多个点电荷，它们对电荷Q，的作用力经过实验证明符合线性叠加原理：是电荷到矢量．于是得到总电场E也其有叠加性：如果电荷是连续分布于区域V内．如图1，在V内某点P’取体积元dV’该处电荷密度为,dV’所含电荷为，由r’到观察点P的矢量为R，R=r-r’,那么P处电场强度为所以，依据场强叠加原理计算场强主要分为两类：第一类为点电荷体系．其表述为空间中有N个带电体，每一个带电体自身的限度远远小于到所讨论场点的距离，每一个带电体都可以看成点电荷，这些点电荷的集合(相对于所讨论的场点)构成一点电荷体系．该点电荷体系在所讨论的场点单独存在时，所激发的场强的矢量和为该点的合场强：。第二类为电荷连续分布，带电体相对于所讨论的场点已不能看成点电荷，但是每一个带电体可以看成由无数微元一一点电荷(相对于场点)叠加而成．该微元所带电量为dq，产生电场，该带电体在场点的场强为。举例分析：无限大平面均匀带电，电荷面密度为。试求它在空问产生的电场。解：分两步。先用电场迭加原理求出无限长直均匀带电线产生的电场。假定线电荷密度为。设置直角坐标系，使z轴与无限长直带电线重合(图2)。不失一般性，我们在y轴上选择场点P。在之间取一电荷元，，它在P点产生电场考虑方向性以及电场迭加原理有代入以矢量形式表示有代入以矢量形式表示当P点不固定于y轴，那么再将无限大均匀带电平面分割，看成是由无限多无限长均匀带电直线的集合。无限大均匀带电平面放置在xoy平面，在处取一无限狭窄长条(图3)。根据(5)式，可知该长条在z轴上的P点产生电场。写成矢量形式，可表示为两个分量。一个分量沿z轴，另一个电场垂直于=轴。考虑电场的迭加原理，对称性使垂直于z轴的分量消失，只留下沿z轴方向的分量写成矢量式(6)式中的P点不一定局限于z轴上。2.应用高斯定理求解静电场应用高斯定理求场强分布的关键是分析对称性，选择适宜的高斯面。高斯定理的数学表达式为：这里．S是任意形状的闭合曲面，∑q是S所包围的电荷的代数和。一般情况下，用上式不能把电场中各点的场强E确定下来，但当激发电场的电荷分布具有某种特殊的对称性，从而周围电场的分布也具有相应的对称性时，可用高斯定理可求场强分布，而且比用场强叠加原理要简便得多。因为电场具有对称分布时，可选取适当的高斯面，使面上E的大小相等，0为定值，便于将E从积分号内提出，使计算简化。因此应用高斯定理求场强分布的关键，首先在于分析电荷和电场分布的对称性。一般可以分为两种情况：电荷分布在有限大小的物体上，但该物体具有某种对称性；电荷分布具有无限大、无限长的特点，或经过简化处理后可视为无限大、无限长的分布。用高斯定理解前面列题。解：无限大均匀带电平面放置在z=0处，如图6。取柱体外表作为高斯面，其侧面与带电平面垂直。两底面与带电平面平行，且关于带电平面对称。又z>0z<0z>0z<0比拟分析：〔一〕由库仑定律拓展的电场叠加原理是最根本的方法。无论电荷分布是否均匀，或者带电体形状是否规那么、对称．电场原理法原那么上都是适用的。电场叠加法关键在于微元所带电量dq的选取．微元的取法可以分为三种情况：电荷的体模型，定义出电荷的体密度，电量；电荷的面模型，定义出电荷的面密度，电量；电荷的线模型，定义出电荷的线密度，电量。这种方法反映了根本的物理思想，起到根底的作用，应用范围最为广泛，原那么上可以计算任何电荷分布的静电场场强，但由于上式是矢量积分，实际计算的问题一般具有一定的对称性，从而简化了求解的难度。〔二〕高斯定理法适用范围较为狭窄。假设高斯定理能够适用，电荷空间分布要求有严格高度的对称性，从而使所做高斯面也具有高度对称性，高斯面上场强分布具有高度的对称性。对称性的前提以电荷空间分布的对称性为前提，这种电荷的空间分布对称性主要有以下三种情况：(1)电荷具有均匀的轴对称空间分布，(2)电荷具有均匀的面对称空间分布，(3)电荷具有均匀的球对称空间分布。带电体形状和带电体分布必须呈高度对称性，但这只是必要条件．而非充分条件。例如，对于立方体每个角置有等量电荷这样的简单问题，高斯定理法就无能为力。而且高斯面不能就选在体外表处或电介质的外表处。因为导体外表上有电荷分布，高斯面如果与导体外表重合，那么无法确定这些电荷是处于高斯面内还是处于面外，因而无法计算。假设所讨论的场点位于电介质内，高斯定理转化为，式中为面内自由电荷的代数和，上式称有电介质时的高斯定理。利用电介质的性能方程可求出场强。如果高斯定理有效．其步骤往往十分简捷。参考文献：1．张丽萍．应用高斯定理涉及到的几个问题．科