人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)：第2课时单调性与最值

第2课时单调性与最值

【学习目标】1.掌握y=siiu,y=cosx的单调性，并能利用单调性比较大小.2.会求函数y=

AsinOx+g）及y=Acos（s+9）（其中A,co,9为常数，且AWO,（o>0）的单调区间.3.掌握y=

sinx,y=cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.

知识梳理梳理教材夯实基础

知识点正弦函数、余弦函数的单调性与最值

正弦函数余弦函数

yTT

图象

旋工3OxJjKX

-1-1

定义域RR

值域『一1,1』『-1,1』

_7171

2左兀一],2左兀+]

在每一个闭区间在每一个闭区间『2攵兀一兀，2女兀」（左右Z）

（左GZ）上都单调）弟增，上都单调递增，

单调性

2左兀+/,2左兀+专在每一个闭区间『2析，2左兀+兀』（左£Z）

在每一个闭区间

-]上都单调递减

（止Z）上都单调）弟减

兀71

%=]+2E(%£Z)时，＞max=l；X=-2+时，ymax=l；

最值

X=2E+兀他£Z)时,Jmin——1

2E/£Z)时，＞min=-1

思考正弦、余弦函数在定义域上是单调函数，正弦函数在第一象限是增函数，这些说法对

吗？

『答案』正弦、余弦函数不是定义域上的单调函数.因为正弦、余弦函数有递增和递减区

间，“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为在第一象限的单调递增区间有无穷

多个，在每个单调递增区间上，y=siiu都是从0增加到1,但不能看作一个单调区间.

预习小测自我检验

1.函数y=2cosx+l的值域为.

『答案』『一1,3』

2.函数y=sinx取最大值时x=.

■JT

『答案』]+2%兀，kGZ

3.函数尸siiu-GwxWTt）的值域为.

『答案』『0,1』

4.函数y=—cosx的单调递减区间是；单调递增区间是

『答案』『一兀+2祈，2左兀』（左右Z）『2析，2左兀+兀』（左£Z）

题型探究探究重点提升素养

--------------------------\--------

一、求正弦函数、余弦函数的单调区间

例1求函数y=2sini—g的单调区间.

7T

解令z=x~y则y=2sinz.

••・z=x—蕤增函数，

.•.y=2sinz单调递增（减）时,

函数y=2sin（j一期也单调递增（减）.

兀71

由z£2左兀一5,2%兀+］（%£Z）,

得x一七2祈一看2E+J（左WZ）,

兀571

即次£2左兀一不2%兀+不（%£Z）,

故函数y=2sinQ—§的单调递增区间为

~,71.5兀"|,

2kll-5,2%兀+不（女£Z）.

同理可求函数y=2sinQ—§的单调递减区间为卜配+工，2E+明（％£Z）.

延伸探究

1.求函数危）=2sin（x—］£『0,2兀』的单调区间.

解由例题知於）=2sinQ—§的单调递增区间为2左兀一去2E+普,kRZ,

又,.•元£『0,2兀』，

._1-5兀__1s,117C

・■或-^~W%&2兀，

同理函数式x）=2sin1—xe『0,2%』的单调递减区间为［知，野.

（兀、57111兀

函数段）=2sin卜一二），xG『0,2%』的单调递增区间为［。，&］，［7-，2斗单调递减区间

、,「5兀11兀一

为国-J-

2.求函数y=sine一x）的单调递增区间.

Jrjr苧左兀,

令Z=x—而y=—sinz的单调递增区间是］+2%兀,+2kGZ,

「・令—Z,

57r11jr

得不+2E4W/+2祈JGZ,

.•.函数〉=5由仁一x）的单调递增区间为看+2加，-^-+2kn,kcz.

（学生留）

反思感悟求正弦、余弦函数的单调区间的策略

（1）结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间.

（2）在求形如y=Asin（s;+9）（其中A,co,9为常数，且AWO,G>0）的函数的单调区间时，应

采用“换元法”整体代换，将“①x+”'看作一个整体“Z”，即通过求〉=人5由2的单调区间

而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos（①］+夕）（其中43（P为常数，且A#0,a>>0）

的函数的单调区间同上.

跟踪训练1⑴函数y=sin•一x）,xd『0,2兀』的单调递减区间为

『答案』0,y,y,2?t

『解析』尸sin僧一j=-sinQ—聿），

令一7+2EWX—

2o2%£Z,

JT271

解得一2左兀WJCW弓~+2%兀，%£Z,

2兀、5兀

又If0,2KJ,「.OWxW4或石

・•・原函数的单调递减区间为［0,THT,2兀

（2）求函数y=2COS（2L§的单调区间.

JT

角星令2左兀——兀・2%——不忘2女兀（女£Z）,

SJTIT

即2E—不W2xW2fai+w（%£Z）,

3兀兀

far一五WxW析+五（%£Z）.

57r7T

・,•单调递增区间为左兀一五，E+五（女WZ）.

兀

令2也忘21——不W2祈+兀（％£2）,

TT/兀

即2E+4W2xW2E:+w（Z£Z）,

兀7兀

左兀+万忘%或左兀+适（%£Z）,

7T771

・••单调递减区间为左兀+五，左兀+方'（%£Z）.

J函数y=2cos（2x一号）的单调递增区间为左兀一雪，左兀+点（Z&Z）,

JT77r

单调递减区间为防r+r，也+行（&GZ）.

二、比较三角函数值的大小

例2比较下列各组数的大小：

⑴sin220°与sin230°；

解（1）因为函数y=sinx在『90。，270。』上单调递减，且900<220°<230°<2700，所以sin220°>

sin230°.

因为函数、=85X在『0,无』上单调递减，且0<方<*%,

匕匕）\।兀4兀

所以COSg>COS豆，

,,15兀14兀

故COS-g->cos

因为函数尸sinx在甘，彳上单调递增，而一5号令全

所以siny<sin专，所以一sin克一sin看.

(20%、(10哈

故sin

反思感悟比较三角函数值大小的步骤

(1)异名函数化为同名函数.

(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上.

(3)利用函数的单调性比较大小.

跟踪训练2比较下列各组数的大小：(l)cos(一芝|与cos子;

(2)cosl与sin2.

解⑴cos(一明7兀

-COSQ=cos

H7兀71

血COS-^=—COSg,

，・•函数y=cosx在0,5上单调递减，且0<福令吟,7171

_N」OO・COSg>COSg.

7T

,.,y=sinx在兀上单调递减,

-..71.711兀，

又］+1,2£2971，且1+1>2,

sine+lj<sin2,

SPcosl<sin2.

三、正弦函数、余弦函数的最值(值域)

例3求下列函数的值域：

(［兀、「C兀一

(l)y=coslx+gI,xe0,2；

(2)y=cos2x_4cosx+5,%£R.

解⑴由尸cos(x+?),xe0,会可得x+*I，y,

因为函数'=8$彳在区间奈，号上单调递减，所以函数的值域为

(2)y=cos2x—4cosx+5,令£=cosx,x£R,

则一IW/WL

y=A—4/+5=(/—2)?+l,—1W/W1,

当£=一1时，函数取得最大值10；

当/=1时，函数取得最小值2,

所以函数的值域为『2,10』.

反思感悟三角函数值域（最值）问题的求解方法

⑴形如y=osinx（或y=〃cos%）型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对4正负的讨

论.

⑵形如y=Asin（s;+9）+。（或y=Acos（s+9）+Z?）型，可先由定义域求得cox+（p的范围，

然后求得sin（3x+gX或cos（（yx+9））的范围，最后求得值域（最值）.

（3）形如y=asin2x+bsinx+c（〃WO）型，可利用换元思想，设Z=sinx,转化为二次函数y=at1

+初+c求最值的范围需要根据定义域来确定.

跟踪训练3已知於）=2sin（2x—§+1,xe0,微，求於）的最大值和最小值.

解・工£0,5，••—

_乙」3DD

当2LQ=一$即1=0时，段）min=-4+1,

当2X一4=冬即X=患时，/（X）max=3,

综上，当％=0时，/（X）niin=—4+1,

5兀

当X=夜时，黄X）max=3.

核心素养之直观想象-------------------------

正弦函数、余弦函数的对称性

典例函数y=sin（2x+1）的图象的对称轴方程是,对称中心的坐标是.

『答案』x=%+专收GZ）仔T一1，0）（左GZ）

『解析』根据正弦函数的周期性知，过函数图象的最高点或最低点且与x轴垂直的直线均

是对称轴，而函数图象与x轴的交点均为对称中心.

要使sin（2x+［）=±l,必有2x+^=fat+界GZ）,所以x=与+帝左GZ）,

即对称轴方程为x=y+y^（^ez）,

而函数y=sin（2x+3的图象与x轴的交点即为对称中心，

所以令y=0,即sin（2x+§=0,

所以2x+4=E（%£Z）,即x=竽一加£Z）,

故函数尸sin（2x+§的图象的对称中心的坐标为，竽一2，O）«GZ）.

『素养提升』正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最

低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是

正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为。.通过该类问题，培养直观

想象的核心素养.

随堂演练基础巩固学以致用

----------------------------------------\------------

1.函数尸一COSX在区间苫，?［上（）

A.单调递增B.单调递减

C.先减后增D.先增后减

『答案』C

TTTT

『解析』因为尸COSX在区间［一冬雪上先增后减，

JT7T

所以尸一COSX在区间［―5，上先减后增.

2.（多选）正弦函数〉=5加，xdR的图象的一条对称轴是（）

A.y轴B.直线了=一冷

C.直线x=3D.直线x=7t

『答案』BC

『解析』当天=冷时，y取最大值，；-=胃是一条对称轴，

当x=—彳时y取最小值，是一条对称轴.

3.下列关系式中正确的是（）

A.sin110<cos100<sin168°

B.sinl680<sinll0<