高中数学导数和积分知识点

高中数学教案一导数、定积分

课标要求：

1.导数及其应用

(1)导数概念及其几何意义

①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概

念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。

(2)导数的运算

①能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x\y=x',y=l/x,y=x的导数；

②能利用给出的根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导

数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b))的导数；

③会使用导数公式表。

(3)导数在研究函数中的应用

①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究

函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；

②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不

超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、

最小值：体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

(4)生活中的优化问题举例

例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作

用。

(5)定积分与微积分根本定理

①通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等)，从问题情境中了解定积分的实际背

景；借助几何直观体会定积分的根本思想，初步了解定积分的概念；

②通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系)，直观了解微积分根

本定理的含义。

(6)数学文化

收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进展交流；体会微积分的建立在

人类文化开展中的意义和价值。具体要求见本?标准？中"数学文化”的要求.

二.命题走向

导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关

知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多

样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察根本概念、运算及导数的应用，也经常以解答

题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值.

三.要点精讲

1.导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x在X。处有增量Ax,那么函数y相应地有增量△y=f(x0+Ac)

-f(x0),比值包叫做函数y=f(x)在X。至ijx0+Ax之间的平均变化率，即

Ax

Ay_/(/+Ar)一/(见)

AxAx

如果当Arf0时，”有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极

Ax

限叫做f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)或y'|°

即f(x0)=lim"=lim―

以fOAxAv->0Ax

说明：

(1)函数f(x)在点X。处可导，是指Ax—0时，丝有极限。如果”不存在极

AxM

限，就说函数在点X。处不可导，或说无导数。

(2)Ax是自变量X在X。处的改变量，AroO时，而Ay是函数值的改变量，可以是

零。

由导数的定义可知，求函数尸f(X)在点X。处的导数的步骤(可由学生来归纳)：

(1)求函数的增量Ay二f(x0+Ar)—f(x0)；

(2)求平均变化率包:,•"/+&)一〃&).；

AxAx

(3)取极限，得导数f'(x0)=lim包。

心一°Ax

2.导数的几何意义

函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0))处

的切线的斜率。也就是说，曲线y=f(x)在点plx。，f(x。))处的切线的斜率是f'(x0)„

相应地，切线方程为y—y()=f'lx。)(x—x°)。

3.常见函数的导出公式.

(1)(。'=0(C为常数)(2)(x")'=n-xn-'

(3)(sinx)'=cosx(4)(cosx)'=-sinx

4.两个函数的和、差、积的求导法那么

法那么1：两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，

即：(M±V)=W±V.

法那么2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：(MV)'V+1/V.

假设C为常数，那么(CM)，=C“+CM=0+C〃=C〃.即常数与函数的积的导数等

于常数乘以函数的导数：(C〃)’=C〃.

法那么3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的

积，再除以分母的平方：'(vHO)。

形如y=f［°(x)］的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解一一求导一一回代。

法那么：y'|X=y'Iu•u'IX

5.导数的应用

(1)一般地，设函数y=/(x)在某个区间可导，如果r(x)>0,那么/(x)为增函

数；如果f(x)<0,那么/(x)为减函数；如果在某区间内恒有/'(x)=0,那么/(x)为

常数；

(2)曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线

的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；

(3)一般地，在区间［a,b］上连续的函数f(x)在［a,b］上必有最大值与最小值。①求

函数”X)在(a,b)内的极值；②求函数”X)在区间端点的值/(a)、/(b)；③将函数/(x)

的各极值与/(a)、〃b)比拟，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

6.定积分

(1)概念

设函数f(x)在区间［a,句上连续，用分点a—xo<xx<-<Xi-^Xi<--x„—b把区间［a,b］

等分成n个小区间,在每个小区间以一,%］上取任一点“㈠=1,2,…力)作和式/,=£/(&

/=!

I)AA-(其中Ax为小区间长度)，把8即o时，和式乙的极限叫做函数/Xx)在区间

［a,6］上的定积分，记作：ff(x)dx,即『/(©dx=lim£/(&J△x。

JaJa

/=1

这里，a与6分别叫做积分下限与积分上限，区间［a,3叫做积分区间，函数/Xx)叫做

被积函数，x叫做积分变量，/Xx)公叫做被积式。

根本的积分公式：fOdx—C；［x'ndx———xm+'+(?(/77eQ,—1)；［―<*=ln|x|

JJ/M+111

x

+C；^exdx=ex+C；Jaxdx=-----FGJcosx公=sinx+GJsinxcic=—cosx+C

(表中C均为常数)。

(2)定积分的性质

①「好■(x)dx=H"./'(x)公"为常数)；

JaJa

②f/(x)±g(x)dx=ff(x)dx+\bg(x)dx；

JaJaJa

③[f(x)dx=[/(x)Jx+[f{x)dx(其中aVcVZ?)。

JaJaJc

(3)定积分求曲边梯形面积

由三条直线x=a,x=b(水b),x轴及一条曲线y=F(x)

(>b

(f(x)20)围成的曲边梯的面积5=[f{x)dxo

如果图形由曲线y\=f\(x)，於=£(x)(不妨设f(x)》£(x)"

20),及直线x=a,x=6(a〈6)围成，那么所求图形的面积

a2

S=S曲边梯形,也切—S曲边梯形颂r=I(^x)dx-I/2(x)dx。

JaJa

四.典例解析

题型1:导数的概念

例1.s=-gt2,(1)计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒….各段内平均

速度；(2)求t=3秒是瞬时速度。

解析：(1)[3,3.11△/=3.1—3=0.1,加指时间改变量;

101

Av=5(3.1)-5(3)=~S31~2g3=°-3059,Av指时间改变量。

-Av0.3059

V=——=3.059。

Ar丁

其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生答复完第一时间内的平均速度后,

即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。

(2)从(1)可见某段时间内的平均速度生随△‘变化而变化，加越小，包越接近

八』

于一个定值，由极限定义可知，这个值就是4―0时，空的极限，

Ar

Ac(3+Af)--g3~

vr竽rs(3+A/)-s⑶..2g2*

V=lim△/=lim-------———=lim----------------

Ax->0--Z

=—glim(6+加)=38=29.4(米/秒)。

2Ax->0

4

例2.求函数y=­的导数。

x

匚A444Ax(2x+Ax)

解析：Ay=--------7-=——------普

(x+Ax)一厂x2(x+Ax)*'

△y_42x+Ax

Axx2(x+Ax)2

Av...2x+Ax8

r.lim—=lim-4-------------o

©TOAYAXTO]X~(X+AX)-_|x

点评：掌握切的斜率、瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定根

底。

题型2：导数的根本运算

例3.⑴求丁=%(/+,+二)的导数；

XX

(2)求y=(«+l)(J=—l)的导数；

xX

(3)求丫=x-sin—cos—的导数；

22

2

(4)求y=/x一的导数；

sinx

(5)求丫=3.—X生56-9的导数。

12

解析：(1)vy=x3+1+—,y=3^2——7・

xx

2」

⑵先化简，y=\[x•.——^~xH—尸-1=-x^+X"

NXyjx

(3)先使用三角公式进展化简.

，(x2Ysinx-x2*(sinx)*2xsinx-A:2COSX

⑷y二--------------------二---------------；

sinxsinx

3_1

(5)y=3——x+5-9x5

213-1-1

y'=3*(x2)'—x'+5'—9(x2]z=3*—x2—1+0—9*(——)X2=

22

点评：(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进展化简，然后求导，这

样可以减少运算量，提高运算速度，减少过失；(2)有的函数虽然外表形式为函数的商的形

式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进展求导.有时可以防止使用

商的求导法那么，减少运算量。

例4.写出由以下函数复合而成的函数：

(1)y=cosu,u=l+X2(2)y=lnu,u=lnx

解析：[1)y=cos(l+X2)；

(2)y=ln(lnx)0

点评：通过对y=(3x-2)2展开求导及按复合关系求导，直观的得到y；=给出

复合函数的求导法那么，并指导学生阅读法那么的证明。

题型3：导数的几何意义

例5.(1)假设曲线y=/的一条切线/与直线x+4y-8=0垂直，那么/的方程为

()

A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0

(2)过点(-1,0)作抛物线y=/+x+l的切线，那么其中一条切线为()

(A)2x+y4-2=0(B)3光一y+3=0(C)x+y+l=0(D)元-y+l=0

解析：(1)与直线x+4y—8=0垂直的直线/为4x—y+〃?=0,即y=/在某一点的

导数为4,而y，=4x3,所以y=/在(1,1)处导数为4,此点的切线为4x—y—3=0,应

选A；

(2)y'=2x+l,设切点坐标为(小,%),那么切线的斜率为2%+1,且

>0=其+5+1,于是切线方程为^-君一%0-1=(240+1)0-%),因为点［一1,0)在

切线上，可解得%=0或-4,代入可验正D正确，选1)。

点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。

例6.(1)半径为r的圆的面积S(r)=；rr2,周长C(r)=27r,假设将r看作(0,+~)

上的变量，那么(〃r2)'=2〃r①，①式可以用语言表达为：圆的面积函数的导数等于圆

的周长函数。对于半径为R的球，假设将R看作(0,+8)上的变量，请你写出类似于①的

式子：②；②式可以用语言表达为：。

(2)曲线y=±和y=/在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是。

X

解析：(1)心=3万又=4%R2故②式可填=4兀叱，用语

333

言表达为“球的体积函数的导数等于球的外表积函数。〃；

10

(2)曲线)=—和y=，在它们的交点坐标是a,1),两条切线方程分别是厂一*+2

x

3

和产2x—1,它们与x轴所围成的三角形的面积是一。

4

点评：导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的

效果。

题型4：借助导数处理单调性、极值和最值

例7.⑴对于R上可导的任意函数/1(x),假设满足(x-1)f(x)>0,那么必有()

A.f(0)+f(2)<2f(1)B.f(0)+f(2)<2f(1)

C.f(0)+f(2)>2f(1)D.f(0)+f(2)>2f(1)

(2)函数/(x)的定义域为开区间(。为)，导函数/'(x)在(。力)内的图象如下图，那

么函数/(x)在开区间(。,份内有极小值点()

A.1个B.2个C.3个D.4个

1_1_Y

(3)函数/(力=二二"8。(I)设a>0,讨论y=/(x)的单调性；(II)假设对

1-X

任意XW(O,1)恒有/(X)>1,求4的取值范围。

解析：(1)依题意，当应1时，f-(x)>0,函数f(x)在［1,+00)上是增函数；当

X<1时，f'(x)<0,f(X)在(-00,1)上是减函数，故f(X)当X=1时取得最小值，

即有f(0)>f(1),f⑵>f(1),应选C；

(2)函数/(x)的定义域为开区间(。,与，导函数/'(x)在(a,。)内的图象如下图，函

数/(x)在开区间(a,刀内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负

到正的点，只有1个，选A。

(3)：(1江G)的定义域为(-8,1)口(1,+8).对£6)求导数得f;(x)=,学e

3)当2=2时，f'(x)=不二丁ef,f'(x)在(-8,0),(0,1)和(1,+8)均大于

0,所以f(X)在(一8,1),(I,+8以为增函数;

(ii)当0<a<2时，f'(x)〉0,f(x)在(-8,1),(1,+8)为增函数.；

a—9

(iii)当a>2时，0<----<1,令f'(x)=0,解得XF

a

yp,Jp)为减函数。

(II)(i)当0<a这2时,由(I)知：对任意xe(0,1)恒有f(x)〉f(0)=l；

(ii)当a〉2时，取x°=K咛『。，1),那么由⑴知f(xo)<f(O)=l,

(垣)当aWO时,对任意x£(0,1),恒有彳—>1且ePl,

1-X

l+x-ax、l+x

得：f(x)=>1.综上当且仅当aG(—8,2]时,对任意xd(O,1)恒有

f(x)>l0

点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数

增减。

例8.⑴/(%)=》3一3f+2在区间[一1,1]上的最大值是()

(A)-2(B)0(C)2(D)4

(2)设函数f(x)=27-3(。-其中a"(I)求f(x)的单调区间；(H)讨

论f(x)的极值。

解析：(1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令/(x)=0可得x=0或212舍去析当一

14x<0时，/当0<x4时，/'(x)<0,所以当x=0时，f(x)取得最大值为2。选

C；

(2)由得/(x)=6x[x—(。—1)],令/'O)=0,解得玉=0,々=〃一1。

(I)当。=1时，/'(x)=6x2,/(x)在(-00,+8)上单调递增；

当a>l时，/(x)=6x[x-(cz-l)],随x的变化情况如下表:

X(-oo,0)0(0,«-1)CI—1(4Z-1,4-00)

f(X)+0—0+

/(X)/极大值X极小值/

从上表可知，函数/(x)在(-8,0)上单调递增；在(0,。一1)上单调递减；在(a-l,+oo)

上单调递增。

(II)由(I)知，当。=1时，函数/(x)没有极值；当。>1时，函数/(x)在x=0

处取得极大值，在x=。-1处取得极小值1一(a—1)3o

点评：本小题主要考察利用导数研究函数的最大值和最小值的根底知识，以及运用数学

知识解决实际问题的能力。

题型5：导数综合题

例9.设函数/。)=-丁+33+2分别在不々处取得极小值、极大值.叼平面上点

A、B的坐标分别为(3,/(%))、(x2,/(x2)),该平面上动点P满足⑸•丽=4,点。是点P

关于直线y=2(x-4)的对称点.求

(I)求点48的坐标；

(H)求动点。的轨迹方程.

解析：(I)令f'(x)=(-x3+3x+2),=-3x2+3=0解得》=1两=一1；

当x<—1时，/'(x)<0,当一1<尤<1时，/'(x)>0,当x>l时，/'(x)<0。

所以，函数在x=-l处取得极小值，在x=l取得极大值，故

X)=-l,x2=1,/(-1)=0,/(1)=4«

所以，点A、B的坐标为4(一1,0),8(1,4)。

(II)设p(w),Q(x,y),

PA^PB=(一1一/%-〃)•(1-mA一〃)=机？-1+力？-4〃=4,

L所以=2

kpQ二

2x-m2

又PQ的中点在y=2(x—4)上，所以与'=2学―4,消去加，〃得

(x-8)2+(y+2『=9。

点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。

例10.函数/(x)=x-sinx,数歹！J{%}满足：0<4<1,%］=/(%),"=1,2,3,….证

明：⑴°<6川<%<1；5)%

O

证明：(I).先用数学归纳法证明11=1,2,3,-

(i).当n=l时，由显然结论成立。

(ii).假设当n=k时结论成立，即0<%<1.

因为0〈x〈l时，f(x)=l-cosx>0,所以f(x)在(0,1)上是增函数。

又f(x)在［0,1］上连续，从而/(0)</(&)</⑴，即0<AM<1-sinl<l.故n=k+l

时，结论成立。

由(i)、(ii)可知，0<%<1对一切正整数都成立。

又因为时，an^-an=an-sinan-an=-sinan<0,所以*va”,综上所述

<4<1。

(II).设函数g(x)=sinx-x+—/,0<x<l,

6

由(I)知I,当0<xvl时，sinxvx,

从而8。)=85%-1+5=-25皿2、+5>_2(/2+5=0.所以g(x)在(0,1)上

是增函数。

又g(x)在［0,1］上连续，且g(0)=0,所以当Ovxvl时，g(x)>0成立。

于是g(a“)>0,即sina“一故。,用cjq：。

6O

点评：该题是数列知识和导数结合到一块。

题型6：导数实际应用题

例11.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为

1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱

锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点。到底面中心内

的距离为多少时，帐篷的体积最大？

本小题主要考察利用导数研究函数的最大值和最小值

的根底知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。

解析：设00i为xm,那么由题设可得正六棱锥底

面边长为j32+(x—1)2=18+2x—/(单位：m)。

于是底面正六边形的面积为(单位：m2)：

J32+(X-1)2=6电・(j8+2x-身2=地(8+2》_f)。

42

帐篷的体积为(单位:m3)：

巧

求导数，^VZU)=—(12-3%2)；

2

令V'(x)=0解得x=-2(不合题意，舍去)，x=2。

当l<x<2时,V'(x)>O,V(x)为增函数：当2<x<4时,V'(x)<O,V(x)为减函数。

所以当x=2时,V(x)最大。

答：当OOi为2m时，帐篷的体积最大。

点评：结合空间几何体的体积求最值，理解导数的工具作用。

例12.函数f(x)=x3+X3,数列Ix“|(x”>0)的第

项x“=i,以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在(X“M，/'(怎+]))处的切线与经过(0,0)

和(x“，f(X,,))两点的直线平行(如图)求证：当neN*时,

(I)x：+x“—3x：+]+2xn+};

(IDa<X,,<(-)-1234

证明:(I)因为f(x)=3/+2x,所以曲线y=/(x)在处的切线斜率

(+1=3匕+2x”+i.

因为过(0,0)和区，/区))两点的直线斜率是片+%,所以片+X,=3x,；+2xn+l.

(II)因为函数/z(x)=f+x当无>o时单调递增，而€+X“=3X”+:+2X.+1

«4x,+：+2x„+1=(2%>+2%,

YI

所以x.42x“+1,即」包z一，因此怎

X.2J得-2%一

又因为片+%>2(匕+当G，令x,=4+当，那么"V1

因为y=X：+西=2,所以"<g)"T.必=(g)"-2.

因此x„<x；+x„<g)"-2,故(1)«-><x„<(1)"-2.

点评：此题主要考察函数的导数、数列、不等式等根底知识，以及不等式的证明，同时

考察逻辑推理能力。

题型7：定积分

例13.计算以下定积分的值

(1)J(4x-x2)dx；⑵J(x-1)5Jx；⑶F(x+sinx心：⑷j^cos2xdx；