高中数学-椭圆的标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思

2.2.1椭圆的标准方程教学设计

【课标分析】2017版《普通高中数学课程标准》在圆锥曲线部分内容要求是：了解椭圆

的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；经历从具体情境中抽象出

椭圆定义的过程；掌握椭圆的定义和椭圆的标准方程。

【教材分析】《椭圆的标准方程》是继学习圆以后运用"曲线和方程"理论解决具体的

二次曲线的又一实例，也是圆锥曲线这一章的一节入门课。从知识上说，它是对前面所学的

运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的

基础；从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基

础。因此，这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点。另外，对椭圆定义与方程的研

究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。而这种思想，将

贯穿于整个高中阶段的数学学习。

【学情分析】高二的学生思维活跃勇于探索，初步具备了用旧知识解决新问题的能力。但

由于普通中学的学生基础较差，思维能力较弱，导致自信心较弱，因此克服困难的勇气和毅

力也较弱。而且对应用“坐标法”和“数形结合思想方法”只是初步了解，对“坐标法”解

决问题掌握不够，对“数形结合思想方法”理解不够透彻，从研究圆到研究椭圆，跨度较大，

学生思维上存在障碍，同时在求椭圆标准方程时，学生对根式方程的化简有一定的难度，而

这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要。因此，在

教学过程中教师必须进行细致的启发和引导，从而激发学生的学习兴趣，充分发挥其主观能

动性，才能达到预期的教学目的。

【教学目标】

1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程。

3.掌握椭圆的定义和标准方程；进一步提升数学抽象、数学运算和数学建模核心素养。

【教学重点】1.掌握椭圆的定义。2.掌握椭圆的标准方程。

【教学难点】椭圆的标准方程的推导。

【教学方法】讲授法、探究法、实验法

【教学准备】教学课件、A4纸、锥形瓶、细绳。

【教学过程】

教学环节与内容教师活动学生活动设计意图

教师操作锥形瓶，引导学生

,一、动手操作，感知椭圆

展示切割圆锥得学生前后四在动手操

【实践】小组合作，利用手中的细绳、铅到圆锥曲线的过人小组利用作的过程

笔等工具尝试在白纸上画出椭圆。程，让学生举出生手中的细绳中，发散思

活中的实例。提在白纸上尝维。画出线

问：怎样画椭圆。试画椭圆。段、椭圆等

图形

学生动手操作形学生同桌之培养学生

成椭圆轨迹后，及间讨论，类比归纳推理

二、类比归纳，定义椭囱

时提问，抓住不变圆的定义尝能力和数

【讨论】量。类比圆的定试归纳椭圆学抽象核

1、在画椭圆的过程中，有哪些定点？哪义，引导学生归纳的定义。心素养

些量是不变的？椭圆的定义。此处

预设学生归纳出

2、请你类比圆的定义（平面内到定点的距

“到两定点的距

离等于常数（大于零）的点的轨迹）归纳离等于常数的点

出椭圆的定义。的轨迹叫做椭

圆”，给予学生充

分肯定，继续类比

圆的定义中常数

大于零的限制条

件，抛出椭圆定义

中的常数是否有

限制条件？进一

步完善定义

三、折纸连线，理斛椭圆

教师设置圆纸片学生在预习动手操作

道具，作为预习作的过程中，积圆纸片，有

【操作】Stepl:找到纸片的圆心,记作F2；

业提前布置给学极动手，发现利于激发

Step2:在圆F2内部取一定点F1生。教师利用几何轨迹。在观察学生学习

（与点F2不重合）；画板展示动点M轨迹的过程的兴趣，渗

的轨迹，规范学生中，意识到变透椭圆上

Step3:在圆周上任取一点N,将点动手操作所形成中不变。的点所具

的轨迹有的性质，

N与圆心F2相连，得半径F2N；

为进一步

Step4:折叠圆形纸片，使点N与理解椭圆

的定义做

点F1重合,将折痕与半径F2N的交点记作

好脚手架。

M；

Step5:重复过程Step3至Step4,

得到若干交点，并用平滑曲线依次连接交

点。

【问题】用平滑曲线依次连接交点，会得

到什么图形？请说明理由。

四、思维碰撞，推导方程

首先类比圆的标学生会有两引导学生

【探究】1、建立平面直角坐标系：准方程的形成过种不同的建发散思维，

程，总结生成曲线系方式：一是发现建系

2、设椭圆上任意一点M(x,y)：的标准方程的一以某一焦点的多样性。

般步骤：建系，设为原点，一是培养学生

3、设椭圆的焦距|FlF2|=2c,椭点，列式，化简，以FlF2的中数学建模

圆上任意一点与Fl,F2的距离的和等于常证明。点为原点建的意识。

数2a,(其中a>c>0).根据椭圆的定义写经过建系，设点，立直角坐标激发学生

出等量关系；列式后得到此方系。教师以简思维，鼓励

程，处理本问题的洁，对称，关学生多角

4、根据等量关系列出方程并化过程是本节课的键点在轴上度，多层次

简：重点和难点，是培等标准予以思考解决

养学生数学运算指导.方案。

素养的重要抓手，设置一人爬

必须充分引导思黑板，其它同

考学思考化简

在此处预设5种写在学案上，

解决方案：直接平在爬黑板的

方法，移项平方同学书写的

法，分子有理化基础上，全班

法，等差中项法和共同完善该

平方差法以呼应生的化简过

学生可能生成的程。然后鼓励

解决方案。化简完学生积极展

成之后，形成焦点示自己的想

在X轴上的椭圆的法，互相交

标准方程。流，分享想

法，在交流展

示的过程中

碰撞思维，形

成“火花”。

五、教形结合,理解方程

【发现】1、从图中找出长度为

/22找学生回答培养学生

a,c,7a—c的线段：在形成焦点在X轴

上的椭圆的标准化简复杂

方程过程中，教师数学式和

1H会引导学生假设解决复杂

数学问题

Q少忠a2-c2=b2

的勇气。

在逐步化

简方程的

过程中感

受数学的

对称美和

简洁美。

2、尝试写上装点在y轴上的椭圆

标准方程：

在学生顺利生成启发学生用

d%

焦点在X轴上的椭已知表示未

圆的标准方程后，知，将未知转

引导学生类比焦化为已知。

点在X轴上的椭圆

V〃、

的标准方程形成

焦点在y轴上的

椭圆的标准方程。

3、对比两种二6同标准方程的椭圆

异同点：通过简单的表格学生口答帮助学生

总结整理更好的把

握两种方

程的结构

特点，使学

生的知识

体系更加

条理完整。

六、学以致用，建立模型

【例1】已知折纸实验中的圆形纸片的半

径为10cm,定点Fl,F2的距离为8cm,

教师展示PPT学生展示自培养数学

求实验中动点M的轨迹方程。己的解题过建模意识

程

【例2】由我国自主研发的北斗卫星导航

系统，共有36颗非静止轨道卫星在轨运行。教师口述，为播放学生口答焦引导学生

已知非静止轨道卫星的运行轨道是以地球视频做铺垫点坐标感受科技

发展与数

的中心为一个焦点的椭圆，若其中一颗卫学知识紧

22密相关，再

借助北斗

星的轨道方程为,求

10000-8000-导航系统

椭圆的焦点坐标。相关视频，

激发学生

努力学习、

报效祖国

的情怀。

七、学有所思，感悟收获

引导学生

本节课，你学到了哪些知识、思想和方法？梳理新知，

还有什么收获？感悟收获

入、巩固新知，分层作业

基础性作业：课本P42练习A第2题；

分层作业，

发展性作业：课本P42练习B第1、2题；

深化所学

探究性作业：1.尝试用不同的方法画椭圆；

2.探求推导椭圆标准方程的

不同方法。

【教学反思】

一、追本溯源，加强几何直观。

作为圆锥曲线的起始课，我借助演示锥形瓶，将切割圆锥的历史事件直观化，接着寻找

生活中的椭圆，继续增强学生对椭圆的直观认识，加强数学与生活的联系。

二、发散思维，寻找变中不变。

本节课尝试在开放条件下画一个椭圆，引导学生在动点的变化中发现不变量，类比圆的

定义归纳椭圆的定义。然后利用几何画板再现课前折纸实验，深化学生对椭圆的定义的理解，

使学生体会一一动是理解解析几何问题的出发点，不动是解决解析几何问题的落脚点。

三、多法归一，感受数学之美。

本节课利用坐标法求椭圆的标准方程，重点是提升学生的数学运算素养。在课堂上让学

生板演，投影展示学生的不同处理方法，虽然绝大部分学生不能独立完成方程的化简，但需

要通过落实，使学生发现化简过程中的困难与障碍，给予学生试错的机会，在交流合作中实

现思维的碰撞，培养学生化简复杂数学式和解决复杂数学问题的勇气。在逐步化简方程的过

程中感受数学的对称美和简洁美。这也是本节课的特色。

四、德育渗透，培养应用意识。

例1将折纸实验赋予数据，前后呼应，建立数学模型，落实椭圆的标准方程。例2以北

斗导航系统为背景，旨在引导学生感受科技发展与数学知识紧密相关，再借助北斗导航系统

相关视频，激发学生努力学习、报效祖国的情怀。但是由于本人第一次上大型公开课，比较

紧张，时间把握不准确，没有将例2展示出来，直接播放视频，缺少铺垫，略显突兀。

学情分析

高二的学生思维活跃勇于探索，初步具备了用旧知识解决新问题的能力。但

由于普通中学的学生基础较差，思维能力较弱，导致自信心较弱，因此克服困难

的勇气和毅力也较弱。而且对应用“坐标法”和“数形结合思想方法”只是初步

了解，对“坐标法”解决问题掌握不够，对“数形结合思想方法”理解不够透彻，

从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍，同时在求椭圆标准方程

时，学生对根式方程的化简有一定的难度，而这些在目前初中代数中都没有详细

介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要。因此，在教学过程中教师必须进

行细致的启发和引导，从而激发学生的学习兴趣，充分发挥其主观能动性，才能

达到预期的教学目的。

效果分析

1.能够引导学生在动手操作的过程中，发散思维。画出线段、椭圆等图形

2.能够培养学生归纳推理能力和数学抽象核心素养

3.动手操作圆纸片，有利于激发学生学习的兴趣，渗透椭圆上的点所具有的性质，为进一步

理解椭圆的定义做好脚手架。

4.引导学生发散思维，发现建系的多样性。培养学生数学建模的意识。激发学生思维，鼓励

学生多角度，多层次思考解决方案。

5.培养学生化简复杂数学式和解决复杂数学问题的勇气。在逐步化简方程的过程中感受数学

的对称美和简洁美。

6.帮助学生更好的把握两种方程的结构特点，使学生的知识体系更加条理完整。

7.培养数学建模意识

8.引导学生感受科技发展与数学知识紧密相关，再借助北斗导航系统相关视频，激发学生努

力学习、报效祖国的情怀。

9.引导学生梳理新知，感悟收获

10.分层作业，深化所学

教材分析

《椭圆的标准方程》是继学习圆以后运用"曲线和方程"理论解决具体的二次曲

线的又一实例，也是圆锥曲线这一章的一节入门课。从知识上说，它是对前面所

学的运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究

椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲

线提供了基本模式和理论基础。因此，这节课有承前启