高等数学下册试题库

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一、填空题

..„xyz

1.平面％+y+左z+l=O与直线-=^-=-平行的直线方程是一

2.过点M(4-1,0)且与向量。=(1,2,1)平行的直线方程是

3.设。=，+j-4k,b=2z+Ak,且a_LZ?,则4=

4,设|〃|=3,|力|=2,3)“=一1,贝|」(。/)=

5.设平面Ax+gy+z+Z)=0通过原点，且与平面6%—2z+5=。平行，则

A=,B=D=

6.设直线±^=2±2=%(z—l)与平面-3%+6y+3z+25=0垂直，则

m2

m=)=

[x=1

7.直线《，绕Z轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________

[y=0

8.过点M(2,0-1)且平行于向量。=(2,1-1)及Z?(3,0,4)的平面方程是

9.曲面z)=%2+;/与平面z=5的交线在xoy面上的投影方程为

10.幕级数£白炉的收敛半径是

n=\2

11.过直线±L=y+2==且平行于直线上1=)心=三包的平面方程是

2-2023

12.设〃Q=In(x+/则/(1,。)=-------------

13.设2=arctan(xy),则一=_____________x一=_____________

dxdy

14.设f(xy,x+y)=x2+y2,则f(%,y)=

15.设z=—,则dz=

\y

16.设/(%,y)=£y',则dz|”._2)=

17.曲线九=cos/,y=sin，,z=sin，+cos"在对应的，=0处的切线与平面

x+By-z=0平行，则8=

18.曲面Z=£+y2在点(1,1,2)处的法线与平面4工+为+2+1=0垂直，则

A=B—

19.设a={1,0,-2},b-{-3,1,1},则al=,axb=

20.求通过点M0(2,-1,4)和z轴的平面方程为一

21.求过点Mo(O,l,O)且垂直于平面3x—y+2=0的直线方程为

22.向量2垂直于向量五=[2,3,-1]和B=2,3],且与3=[2,-1,1]的数量积为一6,则

向量2=

23.向量70一55分别与7G—2万垂直于向量0+35与M—，则向量土与否的夹角为

24.球面/+,2+22=9与平面%+2=1的交线在》0),面上投影的方程为

X—2y4-Z—1=0

25.点Mo(2,—L'l)到直线/：《)的距离d是

[x+2y-z+3=0—

26.一直线/过点Mo(l，2,O)且平行于平面打：x—2)，+z—4=0,又与直线/：

，=匕」=相交，则直线/的方程是

121

27.设同=5,忖=2,[可=方，贝1」由一36|=

28.设知量9,5满足亘=3,axb={1,—1,1}»贝

29.已知两直线方程L|：S=B=上江，12.±=工」=三，则过匕且平行12的

110-12-211

平面方程是

30.若同网=V2,(a3)=^,则,x耳=V2,ab=

crVErlAz5z

31.z=xy,贝！J—=___________.—=________________

Oxdy

32.设z=(y-l)Vl+x2sin(x,y)+x3,则z；(2,l)=

33.设u(x,y)=xlny+ylnx-1则du=

34.由方程xyz++yi+z2=6确定z=z(x,y)在点全微分dz=

35.z=y2+f(x2-y2),其中f(u)可微，贝i]y—+—=____________

dxdy

36.曲线1]>'在xOy平面上的投影曲线方程为

37.过原点且垂直于平面2y-z+2=0的直线为

38.过点(-3,1,-2)和(3,0,5)且平行于x轴的平面方程为

39.与平面x—y+2z—6=0垂直的单位向量为

Y

40.z=x(p(—7),(p(u)可微，则2—+y—=___________

y-dx8y

41.已知z=lnjx2+y2,则在点(2,1)处的全微分dz=

42.曲面z-e1+2xy=3在点(1,2,0)处的切平面方程为

dz

43.设z=z(x.y)由方程小"-2z+e:=0,求——=

dx

44.设2=f(2x-y)+g(x,xy),其中/(7)二阶可导，g(u，丫)具有二阶连续偏

x,z(、d'z

45.已知方程一=In一定义了z=z(%.y),求一7=__________

zydx'

46.设〃=/(x.y.z),①(尤2.e'.z)=0,y=sinx,其中),①都具有一阶连续

d(p八dz

偏导数，且*W0,求——=

dzdx

交换积分次序二'/(%,

47.["yjy)dx=

交换积分次序(dy^f(x,y)dx+[:dy^\f(x,y)dx=

48.

xy

49./=Jjxedxdy=其中”={(%,y)|°<^<1,O<^<1}

D

50./=(3x+2y)dxdy=,其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围

D

51.Z=[[——7—-dxdy=_________,其中D是由％2+y2<4所确定的圆域

卷1+x+y

52./=yja2-x2-y~dxdy-,其中D：x24-y2<6Z2

D

53./="(x+6y)小心=,其中D是由y=x,y=5x,x=l所围成的区域

D

54.£dx^e~ydy=_________________________

55.£dx^(x2+y2)3dy=

56.设L为/+V=9,则尸=(2xy-2y)i+(x2-4x)/按L的逆时针方向运动一周所

作的功为.

v=2x

57.曲线，_；；2+丫2在(127)点处切线方程为—

X

58.曲面z=—+y2在(2,1,3)处的法线方程为____________________

2

℃1

59.Z当p满足条件时收敛

n=ln

8(—1)"

60.级数Z—的敛散性是__________

y/n2-n-2

88

61.在x=3时收敛，则在凶＜3时

〃=1〃=1

62.若»(ln“)"收敛，则。的取值范围是一

811

63.级数£(-------------)的和为

81

求出级数的和X皿_（2〃_-1_）（2〃_+1）=

64.

级数£(In3)"

65.的和为____________

n=02"

66.已知级数的前〃项和％=/一,则该级数为

67.暴级数玄今”的收敛区间为__________________

68.的收敛区间为.，和函数5（%）为

黑级数£一(0

69.<P<1）的收敛区间为

n=0〃

70.级数£」一当a满足条件

时收敛

级嵯等

的收敛域为______________

72.设基级数的收敛半径为3,则基级数»4,（XT）"'的收敛区间为

n=0”=1

73./（x）=^—1——展开成x+4的幕级数为__________，收敛域为______________

x+3x+2

74.设函数/（幻=山（1一3一2/）关于》的幕级数展开式为,该幕级数

的收敛区间为_______________

.,,.dzdxdy

75.已知xlny+ylnz+zlnx=l,则-----------=_________________

dxdydz

76.设Z=（l+£+y2）-，那么丝=____________，丝=

,dxdy

77.设。是由孙=2及x+y=3所围成的闭区域，则=

D

78.设D是由|%+y|=1及|%-y|=1所围成的闭区域，则

JJdxdy=_______________

D

79.+y2)ds=,其中。为圆周

C

x=acost,y=asint(O<t<2〃)

80.J(x2-V)dx=其中L是抛物线y=£上从点(0,0)到点

L

(2,4)的一段弧。

二、选择题

1.已知您与〃都是非零向量，且满足|a—b|=|a|+|b|,则必有()

(A)a-〃=O；(B)Q+Z?=O；(C)a・Z?=O(D)czxZ?=0

2.当。与"满足()时，有.+耳=时+同；

(A)a±b；(B)a=45(2为常数)；(C)a//b(D)«-Z>=|a||Z>|.

3.下列平面方程中，方程()过)轴；

(A)尤+y+z=1；(B)x+y+z=0；(C)x+z=0；(D)x+z=1.

4.在空间直角坐标系中，方程z=l---2y2所表示的曲面是().

(A)椭球面；(B)椭圆抛物面；(C)椭圆柱面；(D)单叶双曲面

5.直线±」=?=三里与平面x—y+z=l的位置关系是().

21-1

(A)垂直；(B)平行；(C)夹角为NTT；(D)夹角为一二TT.

44

6.若直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线(2-a)x+(a+3)yT=0互相垂直，则

()：

(A),a=2(B).a--2(C).a=2或。=-2(D).a=±2或a=0

7.空间曲线)’在xOy面上的投影方程为()

z=5

/+y2=7/+V=7z=x2+y2-2

(A)/+y2=7；⑻<(04(D)<

z=5z=0z=0

1-COSXn

——；—,xwO

8,设“x)=，X，则关于/(x)在。点的6阶导数/⑹⑼是()

x=0

I2

1

(A).不存在(B).--(C).----(D).

6!5656

9.设z=z(x,y)由方程/(x—az,y—bz)=O所确定，其中尸(〃#)可微，a,b为常数，则

必有()

dz7az小\7az3Z1

(A)a---\-h—=1t(B)h—+a—=1

dxdydxdy

..dz.dz[.dzdz[

(C)a----b——=1(zD)xb----a——=1

dxdydxdy

1

xysm—f=(x,y)*(O,O)

10.设函数/(x,y)=<^x1+y1，则函f(x,y)在(0,0)处()

0(九,y)=(o,o)

(A).不连续(B).连续但不可微(C).可微(D).偏导数不存在

11.设函数/(九,y)在点(与，打)处偏导数存在，则/(x,y)在点(Xo，y())处()

(A).有极限(B).连续(C).可微(D).以上都不成立

12.设(p[x)=f''e~'2dt,则丝=()

J。dx

42424242

xyxy2

(A).ery(B).ery2xy(C).e-(-2t)(D).e-(-2xy)

13.已知/(x,y)在(a/)处偏导数存在，则“。)=()

力-0h

(A).O(B).f；(2a,b)(C).f'K{a,b)(D).2f'x(a,b)

肛x2+y2^0

14.设/(x,y)=<x2+;/则在(0,0)点关于f(x,y)叙述正确的是

0,x2+y2=0

()

(A)连续但偏导也存在(B)不连续但偏导存在

(0连续但偏导不存在(D)不连续偏导也不存在

,4x2y4

x?+y2Ho

422

15.函数f(x,y)=<(y+x)在(0,0)极限()

x2+y2=0

0

(A).O(B).不存在(C).无法确定(D).以上都不成立

16.设z=arctanf孙+?)，则£=(

(A)肛(B)"I

1+(町+1)1+(盯+1)2

44

2z兀、

xysec-(xy+-)

(C)------------(D)-------------------------------------

1+(町+1)21+(盯+?)2

44

17.关于x的方程x+Z=FP"有两个相异实根的充要条件是()

(A).-V2<k<A/2(B).->/25/2

(C).l<k^y/2(D).IWk(五

]

孙sin(x,y)。(0,0)

18.函数f(x,j)=<,则函/(x,y)在(0,0)处()

0(x，y)=(0,0)

(A).不连续(B).连续但不可微(C).可微(D).偏导数不存在

19.设/[x,—xsindf(x,y)

，则)

x4-yax

x.y

(小A),sn•r孙+xcosy,(B).xsin----r

+yx+y…)21+y2

y

(0.sin―^-7(D).xcos----r

1+/1+y-

20.函数Z=jY+y2在点(0Q)处()

(A).不连续(B).连续且偏导数存在(C).取极小值(D).无极值

2

21.设2=111[孙+2)，则dz

)

dxdy

]_

(A).O(B).1(0.⑻•玲

X

22.设x+z=yf(x2-z2)]ilijz.+5z

yT-二()

Jdy

22

(A),x(B).y(0.z(D).yf(x-z)

23.若函数/(x,y)在点(乙,凡)处取极大值，则()

(A).工'(/，%)=0,/；(/，%)=0

(B).若(%,%)是。内唯一极值点，则必为最大值点

⑹•片&,为)¥-4人，先),&Go，%)＜。，且片(工0,打)＜。

D、以上结论都不正确

24.判断极限lim」一=()

十+y

(A).O(B).1(C).不存在(D).无法确定

2

25.判断极限lim.)',=()

个厂+V

>'->0J

(A).0(B).1(C).不存在(D).无法确定

26.设/(x,y)可微，/(x,3x)=/,则加,3)=()

(A).1(B).-1(0.2(D).-2

27.设/(x,y,z)=,其中z=g(x,y)是由方程x+y+z+xyz=O确定的隐函数，则

f；(O，l，T)=()

(A).O(B).-1(C).1(D).-2

28.设_/(x,y,z)是人次齐次函数，即/(/x,fy,fz)=〃/(x,y,z),其中女为某常数，则下列

结论正确的是()

(A)噜+鸟+z率=3f(x,y,z)(B),x^+y^-+z^=tkf(x,y,z)

oxoyozoxdyoz

(C).gg+z*=kf(x,y,z)(D).++/(x,y,z)

oxdyozoxoydz

29.己知/=JJ(cosy2+sinx2kcr,其中。是正方形域：0<%wl,04y<l,则()

D

(A).l</<2B.1<Z<V2(C).0</<2(D).0</<V2

30.设/(x,y)=4孙之+jj小，其中。是由y=x,x=0,以及y=1围成在，则

D

&&＞)=()

(A).4x(B).4y(C).8x(D).8y

222

31.设£)={(x,y)|/+〃2y20},Dt=1(x,y)|x+y<tz,y>0,x>0),则下

列命题不对的是：()

(A).^x2yd(y=2^x2yda(B).ydcr=2,xy'd(j

DD)DD)

(C).jjxy2da=2jjxy1d(y(D).JJxy2d(j=0

DD|D

32.设/(尤,y)是连续函数，当..0时，。7卜)》光力=。(〃)，则/(0,0)=()

x2+y2<t2

(A).2(B).1(C).O(D).-

2

33.累次积分"/(rcose,rsin6)rdr可写成()

(A)J；"yj?/Uy)dx⑻/Uy)公

(C)」时:/(x，y)dy(D)•二呵了/(X,y)dy

34.函数/(趋引=4(%-丫)一/-了2的极值为()

(A).极大值为8(B).极小值为0(C).极小值为8(D).极大值为0

35.函数z=封在附加条件x+y=l下的极大值为()

(A).-(B).--(C).-D.1

224

36.JJe»vdb=(),其中。由N+|y|wi所确定的闭区域。

D

(A).e+e~'(B).(C).e-e~2(D).O

3

37.I,^ff(x+y)dxdy^/2="(％+y)2公办，，其中0：(》-2)2+(卜一1)242的大小关

DD

系为：()o

(A)./,=/2(B)./,>Z2(C)./,</2(D).无法判断

38.设/(x,y)连续,且/(x,y)=肛+JJ/(u,v)dudv,其中D由y=0,y=x\x=1所围成,

D

则/3y)=()

(A),xy(B).2xy(C).xy+1(D).xy+—

8

39.+y2db的值是()

x2+y2^\

,、57r..57r不、1°乃

(A)—(B)—(D)——

3611

40.设。是W+所围成区域，R是由直线x+y=l和x轴，y轴所围成的区域，则

JJ(l+x+y以办=()

D

(A)4"(l+x+yXrdy(B)0(C)2,(1+x+y)dxdy(D)2

5

41.半径为。均匀球壳（夕=1）对于球心的转动惯量为（）

(A)0(B)2^74(C)4如4(D)6%Z，

42.设椭圆L：?+]-=1的周长为/,则£（氐+2刃2/=（）

（A）I（B）31（04/（D）12/

43.下列级数中收敛的是（）

002"+4"002"・4"

(A)E+8”(B)一"(C)Z(D)Z

飞L

4£8"n=\8"n=\8〃

44.下列级数中不收敛的是（）

□0

（A）^ln（l+-）⑻(C)y__1_(D)3"+(-l)〃

H=l〃”=l3占〃(〃+2)zn=\4”

45.下列级数中收敛的是（）

,、白i,、e»+i003"004

（A）y—k（B）y------------(C)E(D)£

念〃后念〃（n+2）

W=1n-2"n=\(〃一1)(〃+3)

46.“为正项级数，下列命题中错误的是（）

«=1

（A）如果=则之心收敛。

(B)lim"=2>i,则发散

〃T8%

"T°°Un«=1n=\

008

（0如果」见<1,则»“收敛。(D)如果&包>1,则E>“发散

%«=|Unn=l

47.下列级数中条件收敛的是（）

产1产—101

（A）z（-i严/（B）—©2喘(D)y(-i)n-----------

w=lvnn=l〃£〃(〃+D

48.下列级数中绝对收敛的是（）

8100/_1\«+1oo/i\n+I

n

（A）y（-i）-（B）y-(c)Z~~r~(D)

„=I〃"=2InnM几In〃

W=in7n

49.当£(%+/)收敛时,£>“与£>“()

n=\n=ln=\

（A）必同时收敛（B）必同时发散（C）可能不同时收敛（D）不可能同时收敛

50.级数收敛是级数£44收敛的（）

?:=1«=1

（A）充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

（C）充要条件(D)既非充分也非必要条件

51.为任意项级数，若且㈣%=0,则该级数（）

（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不确定

52.下列结论中，正确的为（）

（A）若发散，则f发散（〃,尸0）；（B）若名均收敛,则£口-发散（%*0）

n=l〃=1«=1〃=1

（C）若收敛，则之（““+—收敛：

n=ln=\1U

OPOP8

（D）若与zV“发散,则Z（〃“+L）发散

〃=1n=\/i=l

53.函数于（x）=的麦克劳林展开式前三项的和为（）

（A）1--+-X2；（B）1+-+-X2；（C）1--+-X2；（D）1+-+-X2

24242828

54.设p,=।,%=%等d,“=1,2,3,…，则下列命题正确的是（）.

（A）若名氏条件收敛，则£P“与£外都收敛；

〃=|〃=|"=1

（B）若£%绝对收敛，贝I]£P“与£q„都收敛；

n=ln=ln=l

（c）若条件收敛，则£p“与£%的敛散性都不定;

n=\n=ln=l

（D）若£4绝对收敛，则£p,与的敛散性都不定.

n=l〃=1«=1

Us=（-l）"ln（l+-t）

55.设⑪，则（）

0000QOQD

少"与学’都收敛.ZX、

(A)(B)«-1与»-1都发散.

009

（C）召怎收敛，而召”发散.

(D)»-1发散，«-1收敛

V（x-1）"

56.75、若«-1在x=-2处收敛，则此级数在x=-l处（)

（A）条件收敛，（B）绝对收敛,（C）发散，（D）收敛性不确定

N/x*2阀即（一严

57.设暴级数x-i的收敛半径为3,则基级数»-1的必定收敛的区间为

（）

（A）（-2,4）（B）[-2,4]（C）（-3,3）①）（-4,2）

58.若哥级数£a“x"的收敛半径为R,则幕级数之4（%-2）”的收敛开区间为（）

〃=1n=l

(A)(-/?,R)(B)(1-/?,1+7?)(C)(-oo,+oo)(D)(2-R,2+R)

(r-5)"

59.级数X的收敛区间（)

n=l

(A)(4,6)(B)[4,6)(C)(4,6](D)[4,6]

60.若级数W(2x-〃)”的收敛域为[3,4),则常数a=(）

n=l2〃-1

(A)3(B)4(C)5（D）以上都不对

61.若零级数£a”（x-l）"在x=-l处收敛，则该级数在x=2处（）

n=\

（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不能确定

62.函数/（x）=e*展开成x的基级数为（）

oo2n

00(-1)"-x2"8

-T(B)Z(C)(D)

»=o4n=0〃！〃=0几〃=0"

63.函数/（竹=一为展开成x的暴级数是（）

1X

00800

(A)2x2"(B)2(-1)"”(C)2(D)£(-l)Hx2n

〃=1?:=1n=2n=2

64.下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（）

TC7127r冗n

(A)—,—,—(B)4

34343

717C、2乃7171

(C)71,(zD)——

663iy

65.向量。=（。尸氏,凡）与冗轴垂直，则（）

(A)ax=0(B)ay=0(C)az=0(D)a.,=ax=0

66.设£=（1,1,一1）》=（一1,一1,1）,则有（）

（A）allb（B）a±b（C）a,b^=y（D）a,b=笄

67.直线［"+2）’=1与直线±=二11=三二1关系是（）.

2y+z=l10-1

（A）垂直；（B）平行；（C）重合；（D）既不平行也不垂直.

68.柱面/+z=0的母线平行于（）

（A）y轴（B）x轴（C）z轴（D）zo尢面

69.设QX/?=QXC,Q,/?,C均为非零向量，则（）

(A)b=c(B)aH(b—c)(C)a-L(h-c)(D)网=H

70.函数z=In(刈)的定义域为()

(A)x>0,y>0(B)x>0,y>0^x<0,y<Q

(C)x<0,y<0(D)尤>0,y>0或不<0,y<0

孙,则@1)=(

71.

i2

x+y

22

x"+yx

孙(B)(D)

(A)2?（o

xy1+x4

72.下列各点中，是二元函数/（》/）=/一：/-3一+3'-9》的极值点的是（）

(A)(-3-1)(B)(3,1)(C)(-1,1).(D)(-1-1)

73.'yjl—x2—y2dy=()

,、3〃，、2乃，、47

(A)——(B)—(C)—

233

74.设。是由凶=2,|y|=l所围成的闭区域，则“孙()

D

(A)-(B)-(C)—(D)0

333

75.设。是由0<x4l,0WyW"所确定的闭区域，则JJycos(孙)t/xdy=()

D

(A)2(B)27r(C)乃+1(D)0

三、计算题

1、下列函数的偏导数

(1)z=-6x4y2+y6；(2)z=x2ln(x2+y?)；

x

(3)z=xy+—；(4)z=sin(Ay)+cos2(Ay)；

y

(5)z-e'Ccos^+xsiny)；(6)z=tan—；

(/7r)、z=si•n-X-cosy—；(8)z=(l+xy)y；

yx

/、x+y

(9)z=ln(x+lny)；(10)z=arctan----；

1-xy

y

(11)“=e"’5；(12)u=xz

(13)〃=(14)u=xy；

(15)〃=(/为常数);(16)巧力，因二。,且为常数。

i=\ig

_.dz

(17)z-ex~2y,x-sinr,yz-ex~2-v,x=siny=t；求——

dt

2.设/(x,y)=x+y—J7”，求/,(3,4)及/,(3,4).

3.设z=e'"，验证2x二+y-=0。

dxdy

4.求下列函数在指定点的全微分：

(1)f(x,y)=3x2y-xy2,在点(1,2)；

(2)/(x,y)=ln(l+x2+j2),在点(2,4)；

(3)/(%,月=岑，在点(0,1)和

5.求下列函数的全微分：

(1)Z=/;(2)z-xycxyx

x+y

(3)Z______•(4)z=■,y=;

次+y2

(5)U=yjx2+y2+z2；(6)u=ln(x2+y2+z2)0

[1修，/+2，

6.验证函数/（尤,y）=J+、2在原点（0,0）连续且可偏导，但