高中数学必修一 关于课本的导入

必修一,

1.1集合：引入、元素特征的引入

教学设计

导入环节

1、我们在初中已经接触到一些集合：不等式1

的解集、实数、有理数。那么什么是集合，如何表

示一个集合，今天我们就来学习，集合的含义与表I

示

2、“集合”是日常生活中的一个常用词，现

代汉语解释为:许多的人或物聚在一起

一]

在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学

语言，我们怎样理解数学中的“集合”？/

3、观察下列现象，怎样表示

正整数1,2,3,……；

中国古典四大名著；

高10班的全体学生；

我校篮球队的全体队员；

到线段两端距离相等的点.

么用数学

语言描述？？？？

4、视频导入

在刚才的视频中，我们看到了象群、鸟群、人

群，你能再举出一些类似的例子吗？

结论：我们经常像这样在一定范围内，对所；

论的事物进行分类，分类后常用一些术语来描'

们，例如“群体”“全体”“集合等.

(4)2004年1月1日之前与我国建立外交关系

的所有国家；

(5)所有的正方形；

(6)到直线1的距离等于定长d的所有的点；

(7)方程U2+3x—2=0的所有实数根；

(8)新华中学2013年9月入学的高一学生的全

体.

这些例子都能组成集合吗？它们有什么共同的

特征？

有没有共同的特征，我们引出元素。

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些

元素组成的总体叫做集合(简称集).我们通常眼餐

大写拉丁字母A,B,C,…表示集合，用小写拉丁亭

字母a,b,c,…表示集合中的元素.

二、集合中元素的特征

提出问题a

I.“我们班中高个子的同学”“接近0的数”“咱J

们必修1教材中所有的难题”能否分别组成一个集.

合？为什么？-

教学设计

结论:因为“高个子”“接近0”“难题”都没有具

体的标准，是模棱两可的、不确定的，不符软

合的概念，所以上述的三个问题均不能组成集

给定的集合，它的元素必须是确定的.也就是说d

给定一个集合，那么任何一个元素在不在这■之

合中就确定了.这体现了集合中元素的确定性."

2.一个百货商店，第一批进货是帽子、皮鞋、衬衣、

闹钟共计4个品种，第二批进货是MP4、皮鞋、水

杯、衬衣、台灯共计5个品种，问一共进了多川,

品种的货？是不是4+5=9（种）呢？为什么？1赭

结论：不是9种，而是7种.对于一个给定的集合，集

合中的元素一定是不同的（或说是互异的），相同

的几个对象归于同一个集合时只能算告一个元素.

这体现了集合中元素的互异性.、

提出问题

3.我们这个班重新调整座次之后，是否还是原来的

班集体？,

结论：因为班级的同学没有变化，只是每个人的位

置发生了变化，所以还是原来的班集体.这体现一;.

集合中元素的无序性.

那么，集合元素的特征

⑴确定性：集合中的元素必须是确定的..

如：与x史力必居其一.

⑵互异性：集合的元素必须是互异不相同

的.如:方程/-2彳+1=0的解集为{1}I

而非{1,1}.

⑶无序性：集合中的元素是无先后顺序的.

如：{L2},{2,1}为同一集合.

五、集合的表示方法

提出问题.

L“地球上的四大洋”能组成一个集合吗？它有几

个元素？你能把这个集合表示出来吗？

结论:地球上的四大洋是具体明确的，可以组成集

合，它有4个元素，该集合可以表示为｛太平洋

大西洋，印度洋，北冰洋｝.’

引出了列举法的概念。

像这样把集合的元素一一列举出来，并用花括

号｛｝括起来表示集合的方法叫做列举法。

提出问题

2.你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗？

为什么

结论：因为这个集合中的元素有无数个，是列举不

完的，而且没有明显的规律性，所以不能应用列

举法表示该集合.T

结论：不等式的解集中所含元素的共同特征是：

xeR.且％<10o集合可以表示为｛%ER\x<10｝.这

种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描

述法。

具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合

元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条

竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同

特征，它的形式为｛PEDIP适合的条件｝,其中P叫

做代表元素，D为P的限制范围，其含义为所有适合'

该条件的对象构成的集合。JJI

131单调性：直接观察图导入看图像X、y关系

6.观察下图中的函数图象，你能说说它们分别

反映了相应函数的哪些变化规律吗？

①随x的增大，y的值有什么变化?

②能否看出函数的最大、最小值?

③函数图象是否具有某种对称性?

1.3.2最大值

133偶函数：请同学们看大屏幕上的图，发现是轴对称图形，生活和数学是紧密联系的，

生活中呢有轴对称的图形，那我们数学中呢也有轴对称的函数。那哪个同学可以说一说，有

哪些函数是关于轴对称的呢？

Y=X2这是二次函数，老师也列了一个二次函数。那我们怎么从数量关系上刻画关于Y

轴对称的呢？引导：对称点的话对于Y轴就是左右对称，那她们的定义域是不是对称的那我

们找一下函数的点，那你说说你是找的哪个点。-1和1,-2和2.得出函数值都是相等的。总

结两个函数值是相等的，推广到一半的情况函数值是不是相等的呢?取f(-x)对说得非常好，

那哪个同学用数学语言来归纳一下。

2.1指数函数

指数函数

先让我们一起来看两个问题.

何噩1据国务院发展研究中心2000年发衣的《未来

2（）年我国发屣前景分析》判断,未来20年.我国GDP（国

内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%.那么.在2001

~2020年.各年的GDP可锹为2000年的多少倍？

如果把我国2000年GDP看成是1个单位.2001年为第

1年.那么,

I年后（即2001年）.我国的GDP可印为2000年的

2年后（即2002年）.我司的GDP可望为2000年的

（1+7.3%尸僚

3年后（即2003年）.我国的GDP可望为2000年的

__________倍,

4年后（即2004年）.我国的GDP可望为2000年的

__________倍,

设x年后我国的GDP为2000年的,v倍,那么

jr-（14-7.3%）*-1.073*（JGN-,Y20）.

即从2000年起.x年后我国的GDP为2000年的

1.073*临

想一想,正整数指数幕L073,的含义是什么.它具有

哪些运算性质.

必修2

1.2空间几何体的三视图和直观图：为了将空间几何体画在图纸上，用平面图形表示出来，

使我们能够根据平面图形想象在空间几何体的形状和结构，这就需要我们学习视图的相关知

识。

f.2空间几何体的三视图和直观图

前向我们认识了柱体、椎体.台体、燥体以及他单组合

体的结构特征.为r将这些空间几何体m在纸上.用平面图

形表示出来.使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形

状和结构,这就需要学习视图的有关知识.

我们常用三视图和百视图表示空间几何体.二.视图是现

察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而蔺出的图形I

直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图

形.：视图和直观图在工程建设,机HE制造以及日常生活中

具的次要.隹义.本归我酊将在学习投影知识的必础上.学习

空间几何体的Y视图和直观图.

1.2.1中心投电与牛"投影

我们知道.光星火线传播的.由于光的照射,在不透明

物体后面的解帘上可以留卜这个沏体的影子，这种现象叫做

氏中・我们把光线叫做出猊竣.把留卜,物体影子的屏

扉叫檄投影面.

我们把光由一点向外敝射形成的投影,叫做中心投影.

中心投影的投影线交于一点.中心投骷现象在我们的日常生

活中非常普遍.例如.在电灯泡的照射下.物体后面的辨林

上就会形成影子.而fl的着物体距离灯泡（或屏卷）的远

近，形成的影子大小会有不同（图1.2-D.另外.人们可以

运用中心投影的方法进行绘画,使画出来的美术作品与人们

2.1空间、直线、平面之间的位置关系：观察长方体

长方体是我们作常熟悉的空间几何图形.

现珞美方体（由2.1-1）.你能发现长方体

的蹊点・校所在的直发.以及的面、底面之

间的位金关系吗？

长方体由上下、前后、左右六个面围成.有些面是平行

的,有此面总相交的；有些梭所在的直线与面串行，桁些梭

所在的在线与画相交；每条楼所在的点燃都可以看成是某个

平面内的江线等等.

空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节

我们将讨论这个问题.

2.2空间中直线与直线的位置关系

异面直线：我们把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

周一平面内的两条立线有几种便宜美香？空同中的百展1L”呢？

如限2.in.教室内的日光灯管所在直线勺黑板的左

右两侧所在的克线,既不相交・也不共面・即它f】不同在任

何-平面内，又如天安门广场上（图2.1-121.旗杆所住的

48

点.启线.平面2网的&省关系第二章

直线与长安街所在的宣线•它们既不相交,也不共面，即不

能处在同平面内.

IB2.M1W2.1-12

如图2.1-13.长方体ABCD

A'8'C'D'中.线段A'B所在直埒与线

发C'C所在直坨的位境.关系如何？

3.1直线的倾斜角和斜率：两点确定一条直线，那一点可以确定一条直线吗？

在平面fi角坐标系中•点用性标上示・。线如何&示

呢？为了用代数方法研究直线的直族问题，本节首先探索确

定直线位修的几何要笊•然后在坐钵系中用代数方法相这吗

几何要点去不出来.

我tn知道，两点确定一条直线.•点能确定一条在线的

位置吗？巳知直线/经过点P.」*［线/的位置能第确定吗？

过一点P可以作无数条直线L.l:.A……它们都经过

点F（组成一个直线束）.这些立线区别在哪里呢？

容易看出，它们的帧斜程度不同.怎样描述一线的倾斜

程度呢？

当直线/与X轴相交时，我们取，轴作为基准,1轴正

向，直线/向上方向之间所成的用。叫做直线/的1一

mxt2<»nol«nfinrlinntinn）mA1-?中附例/的H假"l"力掰船一

3.2直线的一般方程

3.2.3在线的般式方程

仃线的点斜式.斜板式.两点式方程都是关于，.y的

:无一次力・程.现在我利考宗直线弓一几次方程的关系.

探讨”下两个问题；

（I）平面直角坐标系中的薄一条直安市可以：:一个关于1..v的二元

一次方程我示吗？

<2）等一个关于y的二元一次方程都表示一条直线吗？

先盾何题a>.任点一条ft线i.在柒上任取一点

PoGo.v）,当宜线/的斜率为A时（此时代线的倾斜角

。关90.3其力禺为

y—w-*（x-Jto>•①

这处关于八y的二元一次方程.

分真讨论时.当汽线/的斜率不存在.即白线/的倾斜角。二90"时.

£粉。」川加。

直线的方程为

90.分集,达并彳

“低"不上串W.x—X）=0.②

方程⑵可以认为是关于X.'的二元次方程,此时方程中

>的系数为Q.

■■■I107I

必修4

2.3平面向量的基本定理

之前我们学习了平面向量的加法、减法、数乘的运算。那老师…请同学们在练习本上画

一画

,&1―平面向状*本定理

给定平面内任意两个向量e1、你.请你作出向量3妁+2介、%—2ez.

二J平面内的任一向量是否都可以用形如为由+莅收的向量表示呢？

如图2.31.设由、一是同一平面内两个不共线的向量.

a是这一平面内的任一向总.我们通过作图研究a与七、。

之间的美系.

图2.3-1图2.3-2

必修5

2.2等差数列：

定义：一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与他前一项的差等于一个常数，那么

这个数列就叫做等差数列。

我们在初中学习r实数.研究「它的一线运算。性质

从醇味人+・（如加.版.轧除运算.施被3.5.7整除的数的特征

号支代学时配的性等，.现住.我们曲时数列（列数人能不能也像研究实效

启.

一样.研究它的项与项之间的美系,运算与性质呢？

-a.这是数学常

用的鹏更方法.为此,我们先从些特殊的数州人手来研究这纬何18.

在现实生活中.我们会遇到F面的特株数列.

我m经常这样数数.从o开始•标隔5数一次♦可以知

到数列：

0.5.•.».,•%①

2000年.在禳大利亚悉尼举行的奥运会上.女夕举第

被正式列为比杳项目.谈项目共设置「7个级别•其中较轻

的4个级别体审组成数列（单位,kg）＞

48.53.58.63.②

小本的管理人员为了保证优眼鱼类有良好的生活环境.

用定期放水清库的办法清理水用中的杂例.如果一个水朦的

水位为18m.自然放水域大水位*低2.5m.做低降至5nl.

那么从开蛤放水算起.到可以进行清理I作的那夫.水用血

天的水位组成数列（单位，

m）t

18.15.5.13.10.5.8.5.5.③

2.3等差数列的前N项和：高斯答题

200多年前.高斯的算术巨婶提出「下面的问题:

I+2+3+…+100=?

据说•当乂他同学忙于把100个数逐项和加时,10岁

的高斯却用下面的方法退速算出了正确答案，

(1+100)+(24-99)4--+<50+51)=101X50=5050.

高斯的算法实际上解决「求等龙数列

1.2.3.—.»,…

前loo项的知的网1H.人们从这个库法中受到启发•用下面

高M(CarlFriedrich的方法计第1.2.3.H.…的前”项fih

..17771855).焦■由

<*t.他研完的内上

1+2+…+描-1+n

41手的各个是所

最伟大的歙学M之一.n+n-1+…+2+1

为-G学王子•・(JI4-1)+(n4-l)+…+储+D+(w-bl)

-------------------/可知

一般地•我tn称

为数列。一的响，，:和.用S•表示.即

S.=5+<!?+%+3・+4•・

48

2.4等比数列：细胞分裂模型

定义：一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与他前一项的比等于一个常数，那么这个

数列就叫做等比数列。

在现实生话中.我们还会遇到卜曲类特殊数列.图

2.4-1是某仲细府分裂的模V.

M&lI

细胞分裂个数M以制成F面的数例，

I.2.4.8.….①

我国古代一些学各提出：••一尺之H取其半.方世

小编.”用现代沂片叙述为：•尺长的木棒，出H取八f.

永远也取不完.这样•哥H剩下的部分都是前一口的一半.

如果把“一尺之棒"柠成单位"I".邸么•得到的数网是

1•««••,.②

一科计算机痫有可投可找计策机中的地址博,通过邮件

进行传播.如果把病毒;W造并发送病奇称为笫•轮•甑件报

收并发送找席林为第二轮•依此类推.假设打一轮拙一台计

克机都感染20台）卜算机・那么在不H篁的情况「・这冲我

•A.W现价

尤***中修日@也触•轮出染的计算机数构成的数列是

“得★♦去际上&1.20.201.2O1.•••.③

*“复”攵什出居.

除「小利.银行还有即支付利息的方式VW0-

0a护胸国|的利a知木全加汴一配。作木全.iUiFWK-IW

2.5等比数列的前N项和：国王放麦粒的故事

3.4基本不等式：风车的故事（4个全等的直角三角形拼成正方形找不等关系，4个等腰三角

形）

IE3.4-1是在北京召开的第24届

国际数学家大会的会标.会标是根据中

国古代教学家赵爽的弦用设计的.鼻色的明暗使它看

上去像一个风车.代表中国人民热情好客.你能在这

个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

H3.4-2

将图3.4-1中的“风车”抽象成图3.4-2.在正方形

A1KD中有I个全等的ft角三角形.设Hflj三角形的两条直

角边的长为叫!,＞那么正方形的边长为这样•4

个直角三角形的面积和为加瓦正方形的面枳为由

于4个H角三角形的面积和小于正方形ABC/）的面积.我

们就得到「一个不等式

a2+〃22a/）.

选修1-1:

2.1椭圆

定义：与两个定点的距离的和等于非零常数（大于两个定点的距离）的点的轨迹是椭圆。

椭网及其标准方程

取一条定长的细把它的两・

部固定在图板的同一点处.多上铅

:•笔.犯*他子.移动笃尖.这时笔尖（动点）看出的轨

;如是一卜圆.如果把细绳的两端拉开一段死离.分则而

:定在困板的两点处（图2・卜1），套上铅笛.拉紧缎子.

忤动装船.网出的轨迹是什么曲线？

阳2.1-1

在这一过程中，你能说出移动的隹尖（动点）消足的几何条件吗？

•ir'to■«（■a'b

把细绳的两端拉开一段距离.移动笔尖的过程中,细绳的长度保持不变,即超尖

I到两个定点的距离之和等于常数.

我们把平面内与两个定点F,.F的距离之和等于常数（大于IBF：'）的点的轨

|遗叫做一■）（ellipse）.这两个定点叫做的焦点.两焦点间的距离叫做《|■的

［焦距.

下面我们根据精圆的几何特征.建必适当的坐标系.求出椭圆的方程.并通过方

2.2双曲线

定义：与两个定点的距离的差等于非零常数（大于两个定点的距离）的点的轨迹是双曲线。

44曲战及其尿凝力界

］考70'：如：*•:两个定点住离的和***0&<\”"心W.a.M的距离）的0

二♦沟伐"是彝盟.那么.q百个定户厦4竹*****&忡，.的的也是f么"

ftuffl2.2-1.取一条拉住.拉开它的一部分.

在拉开的河边上各选弃一点.分别固定在点H.3

上.把盘尖放在点M«t.随营拉镰逐渐花开或弄闭

战.达尖所经过的点就■出一条曲线.这条曲线是

横足下面条件的点的集合，

P-；M!MF,I-IMF：=<ft.

如果使点Mf«!点F：的距离减去刎点F）的距离

所网的能等于同一个常数,就得到另一条曲线（ffl

2.2I中左边的曲线）.这条曲线是满足下面条件的HM-1

I点的集合,

P={MMF；\MF.

这购条曲线合起来叫做双曲纨.年条叫做双曲线的支.

龄

2.3抛物线：把平面内与一个顶点和一条定直线I（I不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做

抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线L叫做抛物线的准线。

2.3.1抛物线及火标准方程

我们知道二次函数y〃+的图象是一条诧物线，而11研究过它的

II点坐标、对称轴等问膻.那么，物构坟到底有怎样的几何特征？它还有■些几何

性瞋？

用《几何昌板》&田.小图2.3-1.AF是定点./是不经过点F的定JL蝶.

H是/上任秀一点.地点H件M〃/.楼段FH的垂支平分歧，”ZMH于点M.

他动点H.现票点JW的此遽.你能发现点M涡足的几何条件吗？

3.2导数的计算

导数的计建

几个常用函数的导数

我们知遇.导致的几何重义是曲线在第一点处的切纹的蔚率•物理意义是运动物

体在某时则的詈时速度.那么.对于喻ttv=/(».如何求它的导数呢？

根据导致的定义.求限数>=，")的导数，就是求出当“趋近于0时・奥所趋

于的那个定值.

卜面我们求几个常用函数的导效.

1.函数'=/(])=，的导致

因为出一小，》「八“

2ArAr

所以y~lim丫»limOu。.同

若JHC表示路程关T•时间的函数.则，=0可

图321

以解释为H物体的瞬时