高中数学必修二8.6.3平面与平面垂直的性质

8.6.3平面与平面垂直的性质

导学案

编写：廖云波初审：谭光垠终审：谭光垠廖云波

【学习目标】

1.记住平面与平面垂直的性质定理，并能应用定理解决有关问题

2.能综合运用直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定和性质解决有关问题

【自主学习】

知识点1平面与平面垂直的性质定理

1.文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,

那么这条直线与另一个平面垂邕_

aUa

2.符号语言:

aCp=l

a.Ll>

3.图形语言:

【合作探究】

探究一面面垂直性质定理的应用

【例1】如图所示，P是四边形A8CO所在平面外的一点，四边形ABCC是/D4B=60。的

菱形，侧面附£>为正三角形，其所在平面垂直于底面4BCD若G为AD边的中点，求证：

BG_L平面PAD.

［分析］解答本题可先由面面垂直依据面面垂直的性质定理得线面垂直.

［证明］连接B。，

；四边形ABCD是菱形且ND48=60。,

/\ABD是正三角形.

：G是AO的中点，BG1AD.

又平面用。，平面48c。，平面以on平面A8CO=AD,

；.BG_L平面PAD.

归纳总结：证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂

直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定

理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：（1）两个平面垂直；（2）直线必须在其中一个

平面内；（3）直线必须垂直于它们的交线

【练习1】如图，在四棱锥P-A8C。中，平面%8J_平面ABC£>,BC〃平面以。，NPBC=

90°,NPB4K90°.求证：

(1)AZ)〃平面PBC；

(2)平面PBC_L平面PAB.

证明：(1)因为8c〃平面以。，而8Cu平面A8CO,平面4BCOCI平面以力=4。，所

以BC〃AD因为AOC平面PBC,8Cu平面PBC,所以A。〃平面P8C.

(2)如图，自P点作PH_LAB于H,因为平面平面ABCD,且平面用BCI平面ABC。

=AB,所以P"_L平面A8CD

因为BCu平面ABCD,

所以BCLPH.

因为/PBC=90。，所以8C_LPB,

而/尸84#90。，于是点，与B不重合,

即PBCPH=P.

因为PB,平面以8,

所以8CL平面PAB.

因为8Cu平面PBC,

故平面P8cl.平面PAB.

探究二垂直关系的综合应用

【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB〃C£),AB1AD,CD^2AB,平面力O_L平面ABCD,

PAA.AD,E和尸分别为CO和PC的中点，求证：

⑴布_L平面ABC。；

(2)BE〃平面PAD；

(3)平面BEF_L平面PCD.

［证明］(1)因为平面出£>_1_平面ABC。,且以垂直于这两个平面的交线AO,所以％J_

平面ABCD.

(2)因为A8〃CQ,CD=2AB,E为CQ的中点，

所以AB〃DE,且AB=DE.

所以四边形ABEO为平行四边形.所以8E〃AD

又因为BEU平面附O,AOu平面附。，

所以8E〃平面PAD.

(3)因为而且四边形ABE1。为平行四边形.

所以BE-LCD,AD1CD,

由(1)知司，平面ABCD.

所以M1CD.XADQM=A,

所以CO_L平面mD所以CD1PD.

因为E和尸分别是CD和PC的中点，

所以PD//EF.

所以COJ_EE又EFCBE=E,

所以CD_L平面BEF.又COu平面PCD,

所以平面8EF_L平面PCD.

归纳总结：掌握线线、线面、面面垂直的性质和判定是三种垂直相互转化的关键.由线面垂

直可知线与面内任何一条直线都垂直；由线面垂直亦可得到面面垂直（面面垂直的判定）.因此

说线面垂直是线线垂直和面面垂直的枢纽

【练习2】如图所示，四棱锥P-ABCO的底面是一个直角梯形，AB//CD,BALAD,CD=

2AB,%JL平面ABCD,E^PC的中点，则平面EBD能垂直于平面ABCD吗?请说明理由.

解：平面E8力不能垂直于平面A8CD理由如下：

假设平面EBD垂直于平面ABCD,

过E作E0_L8。于0,连接A。、CO.

平面E8力，EO1BD,平面E8DCI平面

；.E0_L平面ABCD.

又：以，平面A8CZ）,：.E0//PA.

VA,0、C是PC上三点P、E、C在平面A8CO上的投影,

：.P.E、C三点的投影均在直线AC上，

...A、0、C三点共线.

又是PC的中点，二。是AC的中点.

^\"AB//CD,:.△ABOS^CDO.

又：A0=0C,：.AB=CD,

这与C£>=2A8矛盾，

二假设不成立.故平面E8Z）不能垂直于平面A8CD

课后作业

A组基础题

一、选择题

1.已知直线〃?，〃和平面a,P，若aJ_£,aC\p=m,“Ua,要使〃_1_W，则应增加的条件是

（）

A.m//nB.〃_!_〃？

C.n//aD.〃J_a

【答案】B

解析：由面面垂直的性质定理知，要使n邛,应有”与交线加垂直，，应增加条件nlm.

2.下列命题中错误的是（）

A.如果平面aJ_平面夕，那么平面a内一定存在直线平行于平面£

B.如果平面a不垂直于平面£,那么平面a内一定不存在直线垂直于平面夕

C.如果平面a_L平面平面4_1_平面y,那么/J_平面y

D.如果平面。，平面夕，那么平面a内所有直线都垂直于平面£

【答案】D

解析：由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误.

3.如图所示，三棱锥尸-ABC中，平面A2C_L平面以8,PA^PB,AD^DB,则（）

A.PQU平面ABC

B.P£>_L平面ABC

C.与平面ABC相交但不垂直

D.P。〃平面ABC

【答案】B

解析：：/]4=P8,AQ=DB,，PO_LA8.又•..平面ABUL平面PAB,平面ABCCl平面PAB

=AB,，尸。，平面ABC.

4.如图，在斜三棱柱ABC-AiBG中，ZBAC=90。，BC\LAC,则点Ci在平面ABC上的射

影H必在（）

A.直线AB上

B.直线BC上

C.直线AC上

D.△ABC内部

【答案】A

解析：连接AG,如图所示,

：/区4c=90。，：.AB±AC.

VBC\A-AC,ABC\BC}=B,

；.AC_L平面ABCs.

又；ACu平面ABC,

二平面A8GJ_平面ABC,

又・平面A8CC平面ABC=AB,

...点G在底面A8C上的射影点”必在A8上.故选A.

jrTT

5.如图，平面a，平面夕，AGa,Be/?,AB与两平面a、夕所成的角分别为]和4.过A、B

分别作两平面交线的垂线，垂足为A'、B',则AB：A'B'等于（）

A.2:1B.3：1C.3：2D.4：3

【答案】A

7T

解析：由已知条件可知

ZABA'—^,设AB—2a,

则88'=2，与（=啦"，A'B—2aco^—y[3a,

...在RtA中，得A'B'=a,：.AB-.A'B'=2：1.

6.（多选）如图，在梯形ABCD中，AD//BC,ZABC=90°,AD:BC:AB=2：3：4,E,F

分别是A8,CD的中点，将四边形AOFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论，在翻折过程

中，可能成立的结论的为（）

A.DFVBC

B.BDLFC

C.平面QBF_L平面BFC

D.平面。CF_L平面BFC

【答案】BC

解析：如图，因为8C〃AD,A。与。尸相交不垂直,

所以BC与OF不垂直，则A错误；

设点。在平面BCF上的射影为点P,

当8PJ_C/时，有8DJ_FC,而AOBCAB=234,可使条件满足，所以B正确;

当点?落在BF上时，QPu平面8DP,

从而平面跳开，平面8FC,所以C正确；

因为点。的投影不可能在尸C上，

所以平面OCF1■平面8FC不成立，即D错误.

二、填空题

7.如图，把RtaABC沿斜边上的高CD折起，使平面ADCJ_平面BOC,如图所示，互相

垂直的平面有对，其中］对是-

【答案】3平面AOC与平面8CC（【答案】丕唯二）

解析：由已知得C£>_LA8,所以平面AOCJ_平面ABO,平面AO8_L平面8QC,又因为

平面ADC_L平面BDC,综上可知，互相垂直的平面有3对.

8.已知直二面角a-//,点Ada,ACLl,C为垂足，Be夕，BDLI,。为垂足，若A8=2,

AC=BD=1,则CD的长为.

【答案】yj2

解析：如图，连接8C,；二面角a-//为直二面角，ACua,且ACL/,，ACJ•夕，又

BCup,：.AC±BC,：.BC2=AB2-AC2=3,又BDLCD,：.CD=yjBC2~BD2=y[2.

9.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cosa:cos£

【答案】<5：2

解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2小，所以cosa=

2^5

啊所以cosa：cos^=\5：2.

三、解答题

10.把一副三角板如图拼接，设BC=6,ZBAC=90°,AB=AC,ZBCD=90°,ZD=60°,

使两块三角板所在的平面互相垂直.求证：平面ABOJ_平面ACD

A

证明：•.•平面4BCJ_平面8C。，CDIBC,二CD_L平面ABC.

又A8u平面ABC,：.CDLAB,

XAB±AC,CDC\AC=C,

平面ACD.又A8u平面ABD,

，平面ABD_L平面ACD.

11.如图，在三棱锥P-ABC中，E,尸分别为AC,BC的中点.

⑴求证：EF〃平面R48；

(2)若平面以C_L平面ABC,且朋=PC,ZABC=90°.

求证：平面PErJ_平面P8C.

证明：(1)：E,F分别为AC,8c的中点，，E尸〃AB.又EFC平面/MB,A8u平面以8,

.♦.EF〃平面PAB.

(2)VM=PC,E为AC的中点,：.PELAC.

又；平面以CJ_平面ABC,

，PE_L平面ABC,：.PELBC.

又•尸为8c的中点，：.EF//AB.

VZABC=90°,：.BC±EF.

,：EFCPE=E,：.BC_L平面PEF.

又,?BCu平面PBC,：.平面PBC1.平面PEF.

B组能力提升

一、选择题

1.如图，在四边形A8C。中，AD//BC,AD^AB,ZBCD=45°,ZBAD=90°,将△48。

沿折起，使平面AB。，平面BCD,构成三棱锥A—BCC,则在三棱锥A-BCQ中，下

列命题正确的是（）

AD

A.平面ABOJ_平面ABC

B.平面ADC_L平面BOC

C.平面ABC_L平面BDC

D.平面AOCJ■平面ABC

【答案】D

解析如图，在平面图形中CDJ_8。,折起后仍然满足CO_L8D由于平面平面BCD,

平面ARDC平面BCD=2£>,故CD_L平面ABD,CD±AB.^AB1AD,故A8_L平面ADC,

所以平面AOCJ_平面ABC.

:A

c

2.如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面a内，平面a,且AC_LPC,平面必。，平

面PBC,点P,A,8是定点，则动点C的轨迹是（）

/A^^B/

aC

A.一条线段

B.一条直线

C.一个圆

D.一个圆，但要去掉两个点

【答案】D

解析：：平面小C_L平面PBC,ACLPC,平面以CCI平面PBC=PC,ACu平面以C,

；.AC_L平面PBC.

又平面PBC,：.AC±BC.：.ZACB=90°.

二动点C的轨迹是以A8为直径的圆，除去4和8两点.

3.如图，在四边形ABCD中，AB=AO=CD=1,BD=-^2,8。_LCD将四边形ABC。沿对

角线80折成四面体A'-BCD,使平面4'8。，平面8（7。，则下列结论正确的是（）

A.A'C1.BD

B.NBA'C=90°

C.CA'与平面4'8。所成的角为30。

D.四面体4'-BC。的体积为g

【答案】B

解析：取的中点0,连接40,0C,'：A'B=A'D,：.A'01.BD,又平面平面BCD,

平面A'BDD平面8c£>=84，；.40_L平面BCD,；CO，0C不垂直于8D假设4CJ_8。,

又4CrM'O=A,，8。_£平面4。。，.•.8£>J_0C与0C不垂直于8。矛盾，二“。不垂直

于8DA错误.•.,CO_L8D平面48。，平面BCD,.*.CO_L平面48D,，。。，人，。，

=巾,；A'8=1,BC=、BD2+C》=/,：.A'B2+A'C2^BC2,A'BLA'C,B正确.ZCA'D

为直线CA与平面ABO所成的角，ZCA'D=45°,C错误.以皿=乱D错误，

故选B.

二、填空题

4.如图所示，AB为圆。的直径，点C在圆周上（异于点A,B）,直线以垂直于圆。所在

的平面，点M为线段P8的中点.有以下四个命题：①以〃平面M08；②M0〃平面以C；

③0。_1_平面PAC；④平面FC，平面P8C.其中正确的命题是.（填上所有正确命

题的序号）

【答案】②④

解析因为用U平面MOB,所以①不正确；因为〃办，而且MOC平面以C,所以②正

确；OC不垂直于AC,所以③不正确；因为8CLAC,BCLPA,ACQPA=A,所以BCL平

面H1C,所以平面用C_L平面P8C,所以④正确.

5.〃?、〃是两条不同的直线，a、夕、y是三个不同的平面，给出如下命题：

①若a_L"aC£=m,〃Ua,nVm,则〃J_£；

②若a，y,皿，贝Ua〃尸；

③若a_L夕，且〃_L£,n^m,则

④a_L£,tn邛,mda,则m//a；

⑤若a邛,m//a,则mA.fi.

其中正确命题的序号为.

【答案】阪

解析：根据平面与平面垂直的性质定理知①正确；②中，a、P可能平行，也可能相交，不

正确；③中，"Z还可能在a内或/w〃a,或"［与a斜交，不正确；④中，a邛,ml。,mCa

时，有m//a,正确；⑤中，，"与6的位置关系可能是m//P或"口3或与£相交，不正确.

三、解答题

6.如图，已知%_L平面ABC,AD1.PB,垂足为。，AE1PC,垂足为E,ZABC=90°.

(1)证明：平面4OE_L平面以C.

(2)作出平面4OE与平面ABC的交线/,并证明NE4C是二面角E-/-C的平面角.(在图中体

现作图过程不必写出画法)

解：(1)证明：在三棱锥P-ABC中，BC1.AB,

BCA-PA,ABHPA=A,所以8C_L平面用8,

又AQu平面以8,所以8C_LAO,

又