高中数学-复数代数形式的加减运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思

《复数代数形式的加减运算及其几何意义》教学设计

教学目标：

1、知识与技能目标：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运

算的几何意义。

2、过程与方法目标：在问题探究过程中，体会和学习类比，数形结合等数学思

想方法，感悟运算形成的基本过程。

3、情感、态度与价值观目标：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、

虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，

不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用。

教学重点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，准确进行加

减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题。

教学难点：复数加减法的几何意义及其应用。

一、引入新课

复习引入

1.虚数单位i：它的平方等于-1,即i2=-l；

2.对于复数z=a+Z?i(a/eR)：

当且仅当。=0时一，z是实数*

当匕时，z为虚数；

当。=0且时，z为纯虚数；

当且仅当a=>=0时，z就是实数0.

3.复数集与其它数集之间的关系：NMZ&Q&R爰C.

____.又J

复数z=a+6i(a/eR)v———►复平面内的点Z(。㈤

4.复数几何意义:

复数z=a+为GR)^----妈平面内的向量OZ=(a,。)

我们把实数系扩充到了复数系，那么复数之间是否存在运算呢？答案

是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算.

【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识，使学生

对这一知识结构有个清醒的初步认知，逐渐过渡到对复数代数形式的

加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫.

二、探究新知

探究一:复数的加法

1.复数的加法法则

我们规定，复数的加法法则如下：

设Z]=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dGR)是任意两个复数,那么：

+z2=(a+bi)+(c4-di)=(a+c)+S+d)i

提出问题：

⑴两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？

(2)当b=O,d=0时，与实数加法法则一致吗？

(3)它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？

学生明确：

⑴仍然是个复数，且是一个确定的复数；

(2)一致；

(3)实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合

并同类项.

【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比，了解规定的

合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习

兴趣和创新精神.

2.复数加法的运算律

实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗？

对任意的Z],Z2,Z3£C,有

z1+z2=z2+Z](交换律)，

(Z)+z2)+z3=Zi+(z,+z3)(结合律).

【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复

数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能

力及主动发现问题,探究问题的能力.

3.复数加法的儿何意义

复数与复平面内的向量有一一对应关系，那么请同学们猜想一下,

复数的加法也有这种对应关系吗？

设鬲西分别与复数a+/，i,c+Ji对应，则有鬲=(%鬲'=(c,d),由平面向

量的坐标运算有

0Z1+0Z1=(。+c,Z?+d)•

这说明两个向量国与国的和就是与复数(a+c)+S+d)i对应的向量.因此

复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数

加法的几何意义.如图所示：

)1

4(。,加

X

由图可以看出，以。4、oz2为邻边画平行四边形%zzj其对角线oz所

表示的向量应就是复数(a+c)+S+d)i对应的向量.

【设计意图】通过向量的知识,让学生体会从数形结合的角度来认识

复数的加减法法则，训练学生的形象思维能力，也培养了学生的数形

结合思想.另外，当两复数的对应向量共线时.，可直接运算；当不共线

时，可类比向量加法的平行四边形,也培养了学生的类比思想.

探究二:复数的减法

类比复数的加法法则，你能试着推导复数减法法则吗？

1.复数的减法法则

我们规定,复数的减法是加法的逆运算，即把满足

(c+i/i)+(x+yi)=a+bi

的复数x+yi叫做复数a+加减去c+d\的差，记作(“+〃i)-(c+M).根据复数

相等的定义，有

c+x=a,d+y=by

因此

X-a-c,y-b-d

所以

尢+yi=(。-c)+(b—d)\,

即

(a+抚)-(c+M)=(〃-c)+(。-d)1・

这就是复数的减法法则,所以两个复数的差是一个确定的复数.

【设计意图】复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,

渗透了转化的数学思想方法，是学生体会数学思想的素材.让学生自

己动手推导减法法则，有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习

习惯.考查学生的类比思想,提高学生主动发现问题,探究问题的能力.

2.复数减法的几何意义

设西西分别与复数〃+垃c+5对应，则这两个复数的差4一4与向

量鬲一再(即衣)对应,这就是复数减法的几何意义.如图所示.

【设计意图】两个复数的差z-Z2(即死一再)与连接两个终点4,Z2,

且指向被减数的向量对应，这与平面向量的几何解释是一致的；它不

仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能,也使数和形得到了有机

的结合.注意：只有将差向量平移至以原点为起点时，其终点才能对

应该复数.

三、理解新知

1.复数的加减法法则：

设Z1=a+bi,z2=c+di(a,8,c,deR)是任意两个复数，规定：

4+z2=(。+c)+(b+d)\；

4-z2=(a-c)+(b-d)i・

2.复数加、减法的几何意义:

⑴复数的加法按照向量加法的平行四边形法则；

（2）复数的减法按照向量减法的三角形法则.

3.几点说明：

⑴复数的加（减）法法则规定的合理性:它既与实数运算法则，运算律

相同，又与向量完美地结合起来；

（2）复数的加（减）法实质是：复数的实部与实部、虚部与虚部分别相

加减；

（3）多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相

加减.

（4）复平面内的两点间距离公式：”由「‘I.

其中z,Z2是复平面内的两点乙和Z2所对应的复数，。为点Z,和点Z2间

的距离.即两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的两个点

之间的距离.

【设计意图】加深对复数加（减）法法则的理解,从不同的角度总结，

既学到知识,又学到了数学方法,使知识更加系统化,学生的思维将上

升到一个更高的层面,为准确地运用新知，作必要的铺垫.培养学生的

归纳概括能力，使学生对所学的知识有一个整体的认识,解决问题时

可以信手拈来.

四、运用新知

例1.计算：

（1）（-2+3i）+（5-i）；⑵（-1+近i）+（l-&i）；

(3)(2-3i)-(5+2i)；(4)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)；

解：(1)(-2+3i)+(5-i)=(-2+5)+(3-l)i=3+2i；

(2)(-1+>/2i)+(I-V2i)=(-1+1)+(V2-V2)i=0；

(3)(2-3i)-(5+2i)=(2-5)+(-3-2)i=-3-5i；

(4)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-l-4)i=-lli.

【设计意图】直接运用复数的加、减法运算法则进行,就是将它们的

实部、虚部分别相加、减，实数范围的运算律在复数范围内仍然成立.

变式训练：

(1)(8-句+5(2)(5-4/)-3/

(3)等+(一2一幼一

【设计意图】复数的加减法,相当于多项式加减中的合并同类项的过

程;如果根据给出复数求和的特征从局部入手，抓住了式子中相邻两

项之差是一个常量这一特点,适当地进行组合,从而可简化运算.进一

步巩固复数加减运算,并带有一定的规律性.

例2已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0,

3+凡-2+4/,试求：

(1)而表示的复数；(2)再表示的复数；

(3)B点对应的复数.

图1图2

变式2：若平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C分别对应复数3i,2-i,

4+2i,求第四个顶点D对应的复数？

【设计意图】由复数的几何意义知，复数4，z所对应的的点分别为z“z”鬲-西就是表

示向量在，而西+西可利用平行四边形法则作出.

五、课堂小结

㈠知识：

1.复数代数形式的加法、减法的运算法则；

2.复数加法、减法的几何意义.

3.几点说明：

⑴复数的加（减）法法则规定的合理性:它既与实数运算法则，运算律

相同，又与向量完美地结合起来；

（2）复数的加（减）法实质是：复数的实部与实部、虚部与虚部分别相

加减；

（3）多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相

加减.

（4）复平面内的两点间距离公式：d书：小

其中Z1,Z2是复平面内的两点4和Z2所对应的复数，d为点、Z1和点Z2间

的距离.即两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的两个点

之间的距离.

（二）思想方法:类比的思想、转化的思想、数形结合的思想.

【设计意图】通过课堂小结，增强学生对复数代数形式的加法、减法

的运算法则及几何意义的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识，

解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用.深

化对知识的理解,完善认识结构，领悟思想方法,强化情感体验,提高

认识能力.引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华,

使知识系统化.让学生学会学习，学会内化知识的方法与经验，促进学

习目标的完成.

六、布置作业

必做题：

1.计算：(l)(2+4i)+(3-4i)；(2)(-3-4i)+(2+i)-(l-5i).

2.复数6+5i与-3+4i对应的向量分别是次与。耳，其中。是原点，求向

量而，丽对应的复数,并指出其对应的复数位于第几象限.

3.复平面上三点A,8,C分别对应复数l,2i,5+2i,则由A,8,C所构成的三角

形△A8C是三角形.

4.求复数2+i,3-i所对应的两点之间的距离.

5.已知复数z满足z+|z|=2+8i,求复数z.

6.已知平行四边形Q钻C的三个顶点O,A,C对应的复数分别为

0,3+2i,-2+4i,试求：

⑴4万表示的复数；⑵且表示的复数；⑶6点对应的复数.

答案：l.(l)5；(2)-2+2i.

2.-9-i,位于第三象限；9+i,位于第一象限.

3.直角三角形.4.y[5.5.z=-15+8i.

6.(1)-3-2i;(2)5-2i;(3)l+6i

选做题：

1.在复平面内，求满足方程|z+i|+|z-i|=4的复数z所对应的点的轨迹.

2.复数42满足团=%|=1,|Z[+Z2|=后,求％-Z2卜

答案：

1.提示:方程可以变形为忆-（-必+,-卜4|,表示到两个定点。-1）和

（0,1）距离之和等于4的点的轨迹，故满足方程的动点轨迹是椭圆.

2.提示：法一：数形结合思想，构造边长为1的正方形，则其中一条对

角线的长度为0,则所求的另一条对角线的长度也等于行.

法二：（向量法）设4久所对应的向量分别是九将|Z1+Z2|=0两边平

方得£石=0,贝！J（Z|-2）2=2,所以忆|-Z2|=0.

【设计意图】设计必做题是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的

学习习惯,是让学生会用复数代数形式的加法、减法的运算法则进行

计算;设计选做题意在培养学生深刻理解复数差的模的几何意义，增

加问题的多样性、趣味性，训练学生思维的发散性、深刻性.让学生理

解知识之间的联系，培养学生用整体的观点看问题，起到巩固旧知的

作用.

七、教后反思

1.本教案的亮点是：

⑴本节中由于复数的加法法则是规定的，从问题入手，引导学生思考,

让学生理解这种规定的合理性.在复数加法的运算律及几何意义的处

理上，都是让学生自主探究，使学生在参与中学会学习，学会合作，突

出体现以学生为主,教师为辅的新课程理念.

（2）对于复数减法的处理，采用了类比的数学思想方法，让学生自主

探究，自己总结,且法则可以用已学的知识推导,使学生体会其中的思

想方法，培养学生的创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力.

（3）例题和练习的设计遵循由浅入深，循序渐进的原则，低起点，多落

点，高终点,尽可能地照顾到各个层次的学生.

2.本节课的弱项是：复数的几何意义的例题没能体现学生的动手能

八、板书设计

3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义

一、复习引入例2

二、探究新知变式训练

三、理解新知五、课堂小结

四、运用新知六、作业

例1

变式训练

《复数代数形式的加减运算及其几何意义》学情分析

学生是学习的主体，教师只有全面了解学生，关注学生的需求,

才能在教学上做到有的放矢，游刃有余。

一、班级情况分析

本班共有70名学生，男女生人数分别是43名,27名，学生有一部

分是城镇的，一部分是农村的，父母基本上在学习上帮不了孩子，所

有的希望都寄托到老师身上，这对教学工作有一定的影响。另外，一

部分学生本身自制力差，学习习惯不好，学习兴趣不浓，这也对老

师的教学管理增加了困难。学生层次明显，两极分化严重。

二、学生情况分析

1、学习兴趣与基础

经过一段时间的观察，我发现班上有一大半学生对数学学习没有

兴趣，问其原因，大部分都说数学太难，学不懂，老师讲的都不明白，

基础太弱，导致课堂上无所事事。这样越来越对数学没有兴趣。

2、学习习惯

少部分学生有主动学习的行为，比较喜欢上数学课，学习热情也

很高，和老师讲常交流。但仍有大部分学生学习懒散、学习习惯差,

粗心大意、书写不认真，不愿思考问题，上课开小差，依赖老师讲解，

依赖同学的帮助，作业抄袭等等不良现象。

3、学习成绩

由于两级分化严重，导致成绩差异明显，高分很高，低分太低，

相差近70分。有的学生很多初中的知识都不会，甚至在计算上都经

常出现错误，一部分学生主要是粗心造成的。

三、教师的应对措施

1、抓学习习惯。帮助学生培养良好的学习习惯和学习方法。让学

生先认识数学的重要性，数学会提高大家对问题思维能力，分析判断

能力，解决问题的能力。再教学生怎样学习数学，一次慢慢提高数学

学习能力。激发学习兴趣，养成自主学习的习惯和方法。平时在教学

中，注意抓好学生的书写、审题与检查等良好的学习习惯。

2、加强基础知识教学。了解到学生目前的学习情况，大部分学生

对初中的相关知识掌握不好，利用自习课或课余时间为他们补充初中

知识的盲点，加强基础知识。同时在上课的时候，以基础简单题目为

主，争取让大部分学生在课堂上有所收获。

3、加强合作学习。对于班级出现的两极分化情况，发动成绩好的

学生带动基础薄弱的学生，促使大家共同进步。

4、注重情感交流。在教学的同时•，多了解学生的兴趣，投其所好，

培养感情，让学生先喜欢你这位老师，才能喜欢你这门课程。古人云

“亲其师，信其道”；也有人说，一个好老师，成就孩子的一生。

5、分层教学、因材施教。主要方法是对作业也要分层次布置，基

础不同，要求不同。

6、多表扬、多鼓励。对于课堂上踊跃发言和积极进步的学生要及

时表扬。并鼓励其他同学向他学习，增加自信心。

《复数代数形式的加减运算及其几何意义》效果分析

今天我在高二（4）班上了一节公开课，题目是《复数代数形式的

加减运算及其几何意义》，本节内容是在学习了复数的几何意义的基

础上的加深学习。

这一节课我是以黑板上课的形式体现的，充分利用多媒体。本

节课的闪光之处有：

1、首先复习旧知，再引入新课，复习知识点为新课作充分的准

备；

2、从特殊到一般引入复数的加法运算；

3、注重讲练结合，充分发挥学生的学习主动性；

4、渗透数形结合思想，引入复数的加减法的几何意义；

5、强调步骤，注重解题步骤；

6、对复数减法的几何意义进一步拓展，寻找其中的奥妙。

不足之处有：

1、在语言表达上有待加强；

2、在探索复数加减法的几何意义的时候应先复习有关向量的加

减法，高估了学生的能力；

3、在时间的安排上可以恰当的调整，可以把更多的时间放在后

面的几何意义上；

总之，在教学过程中出现的这些问题提醒我还要更深入地了解研

究教材，寻找互相之间的联系，本组老师对我的帮助使我受益匪浅。

《复数代数形式的加减运算及其几何意义》教材分析

一、教学内容分析：

本课是高中数学选修1—2第三章《复数》第二节《复数代数形式的加减运

算及其几何意义》，主要内容是复数的加减运算及其几何意义，是学生首次接触

复数集中的运算。学生的知识基础是已经学习的复数的概念和坐标表示以及实

数与平面向量加减运算，在这节内容中，借助向量的加减法解释和“形化”了

复数的加减法，充分体现了复数的“数”和“形”的双重特征，揭示了复数的

加减运算与平面向量的加减法具有完全等价的法则。在教学中，既要求学生掌

握复数代数形式的加减运算法则，又要理解和初步应用加减法的几何意义，为

进一步运用复数运算几何意义奠定基础。

三、教学目标：

1、知识与技能目标：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运

算的几何意义。

2、过程与方法目标：在问题探究过程中，体会和学习类比，数形结合等数学思

想方法，感悟运算形成的基本过程。

3、情感、态度与价值观目标：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、

虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，

不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用。

四、教学重点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，准确进

行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题。

五、教学难点：复数加减法的几何意义及其应用

《复数代数形式的加减运算及其几何意义》评测练习

1.计算：(l)(2+4i)+(3-4i)；(2)(-3-4i)+(2+i)-(l-5i).

2.复数6+5i与-3+4i对应的向量分别是。/与。耳，其中。是原点，求向

量而，丽对应的复数,并指出其对应的复数位于第几象限.

3.复平面上三点A,8,C分别对应复数l,2i,5+2i,则由A,8,C所构成的三角

形aABC是三角形.

4.求复数2+i,3-i所对应的两点之间的距离.

5.已知复数Z满足z+|z|=2+8i>求复数z.

6.已知平行四边形。记。的三个顶点o,AC对应的复数分别为

0,3+2i,-2+4i,试求：

⑴表示的复数；⑵场表示的复数；⑶B点对应的复数.

7.在复平面内，求满足方程|z+i|+|z-i|=4的复数z所对应的点的轨迹.

8.复数Z1*2满足㈤=%|=1,|Z1+Z21=正，求3-Z2,

答案：l.(l)5；(2)-2+2i.

2.-9-i,位于第三象限；9+i,位于第一象限.

3.直角三角形.4.V5.5.z=-i5+8i.

6.(1)-3-2i；(2)5-2i；(3)l+6i

7.提示:方程可以变形为|z-(-i)|+|z-i|=4|,表示到两个定点(0,-1)和

(0,1)距离之和等于4的点的轨迹，故满足方程的动点轨迹是椭圆.

8.提示:法一：数形结合思想，构造边长为1的正方形，则其中一条对角

线的长度为五，则所求的另一条对角线的长度也等于血.

法二：(向量法)设42所对应的向量分别是将％+z2|=0两边平

方得就=0,则(Z「Z2)2=2,所以％-Z2|=&.

《复数代数形式的加减运算及其几何意义》课后反思

今天我在高二(4)班上了一节公开课，题目是《复数代数形式

的加减运算及其几何意义》，本节内容是在学习了复数的几何意义的

基础上的加深学习。教学目标是1、掌握复数代数形式的运算法则,

能进行复数代数形式的加法、减法运算；2、理解复数加减法的几何

意义，进一步体会“化虚为实”的化归思想.3、能正确地进行复数

的向量运算.4、理解两复数差的模的几何意义

教学重点是复数的加减法运算及其加减法的几何意义；教学难点

是复数加减法的几何意义的应用以及减法模的几何意义。

这一节课我是以黑板上课的形式体现的，充分利用多媒体。本

节课的闪光之处有：

1、首先复习旧知，再引入新课，复习知识点为新课作充分的准

备；

2、从特殊到一般引入复数的加法运算；

3、注重讲练结合，充分发挥学生的学习主动性；

4、渗透数形结合思想，引入复数的加减法的几何意义；